2022新教材高中数学 第二章 函数 4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.docx

1、第二章44.1A组素养自测一、选择题1下列说法正确的是(B)A偶函数的图象一定与y轴相交B奇函数yf(x)在x0处有定义，则f(0)0C奇函数yf(x)的图象一定过原点D图象过原点的奇函数必是单调函数解析A项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，C项中定义域不含0，则图象不过原点，D项中奇函数不一定单调，故选B2对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有(C)Af(x)f(x)0Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)0Df(x)f(x)0解析f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)，且f(0)0，f(x)f(x)f2(x)0，故选C3若yf(x)(xR)是奇函数，则下面坐标表示的点一定在函

2、数yf(x)的图象上的是(C)A(a，f(a)B(a，f(a)C(a，f(a)D(a，f(a)解析yf(x)是奇函数，f(a)f(a)，(a，f(a)在yf(x)图象上4下列函数中既是奇函数又是偶函数的是(A)Af(x)Bf(x)Cf(x)Df(x)解析选项A中定义域为1，1，函数解析式为y0，所以函数既是奇函数又是偶函数，选项B为偶函数，选项C为偶函数，选项D为非奇非偶函数，故选A5若函数f(x)x2(aR)，则下列结论正确的是(C)A对任意实数a，f(x)在(0，)上是增函数B对任意实数a，f(x)在(0，)上是减函数C存在实数a，使f(x)是偶函数D存在实数a，使f(x)是奇函数解析对于

3、A，取a4.5，则f(1)5.5，f(1.5)1.525.25，f(1)f(1.5)，A错；对于B，取a0，则f(x)x2在(0，)上为增函数，B错；对于C，取a0，则f(x)x2，定义域为(，0)(0，)且f(x)f(x)x2，C对；对于D，假设存在实数a使f(x)为奇函数，则f(1)f(1)，又f(1)1a，f(1)1a，f(1)1a，显然f(1)f(1)，即假设不成立，D错6已知定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)x2|x|1，则当x0时，f(x)的解析式为f(x)(D)Ax2|x|1Bx2|x|1Cx2|x|1Dx2|x|1解析若x0，则x0，f(x)x2|x|1，f(x)f

4、(x)，f(x)x2|x|1，f(x)x2|x|1二、填空题7设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x21，则f(2)f(0)_5_解析由题意知f(2)f(2)(221)5，f(0)0，f(2)f(0)58(2021全国新高考卷)已知函数f(x)x3(a2x2x)是偶函数，则a_1_解析因为f(x)x3(a2x2x)，故f(x)x3(a2x2x)，因为f(x)为偶函数，故f(x)f(x)时x3(a2x2x)x3(a2x2x)，整理得到(a1)(2x2x)0，故a1，故答案为1三、解答题9已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x2x2，求f(x)，g(x)的表达式

5、解析f(x)g(x)x2x2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)g(x)x2x2又f(x)g(x)x2x2，两式联立得：f(x)x22，g(x)x10已知f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x23x2若当x1，3时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求mn的值解析当x0时，f(x)x23x2，且f(x)是奇函数，当x0时，x0，则f(x)x23x2故当x0时，f(x)f(x)3xx22当x时，f(x)是增函数；当x时，f(x)是减函数因此当x1，3时，f(x)maxf，f(x)minf(3)2m，n2，从而mnB组素养提升一、选择题1(2021全国高考乙卷理科)设函数f(x)，

6、则下列函数中为奇函数的是(B)Af(x1)1Bf(x1)1Cf(x1)1Df(x1)1解析由题意可得f(x)1，对于A，f(x1)12不是奇函数；对于B，f(x1)1是奇函数；对于C，f(x1)12，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x1)1，定义域不关于原点对称，不是奇函数故选B2如果奇函数f(x)在区间7，3上单调递减且最大值为5，那么函数f(x)在区间3，7上(C)A单调递增且最小值为5B单调递增且最大值为5C单调递减且最小值为5D单调递减且最大值为5解析f(x)为奇函数，所以f(x)在3，7上的单调性与7，3上一致，且f(7)为最小值又已知f(7)5，所以f(7)f(7)5

7、3(多选题)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x2)f(x)，若f(x)在1，0上单调递减，则f(x)在(AC)A0，1上单调递增B0，1上先增后减C2，3上单调递增D2，3上先减后增解析因为f(x)在1，0上单调递减，又f(x)为偶函数，所以f(x)在0，1上单调递增由f(x2)f(x)，得f(x2)f(x)，设x2，3，则x20，1，又f(x2)f(x)，从而f(x)在2，3上单调递增故选AC4(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(BD)A|f(x)g(x)|是奇函数Bf(x)|g(x)|是奇函数Cf(x)|

8、g(x)|是偶函数D|f(x)|g(x)是偶函数解析A中，令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，A中函数是偶函数，A错误；B中，令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，B中函数是奇函数，B正确；C中，由f(x)是奇函数，可得f(x)f(x)，由g(x)是偶函数可得g(x)g(x)，由f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|知C错误；D中，由|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，知D正确，故选BD二、填空题5偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(

9、3)3，则f(1)_3_解析f(x)为偶函数，f(1)f(1)又f(x)的图象关于直线x2对称，f(1)f(3)f(1)36已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a1)f(1)0，则实数a的取值范围是_(，0)_解析f(a1)f(1)0，f(a1)f(1)f(x)是奇函数，f(1)f(1)f(a1)f(1)又f(x)在R上是减函数，a11，即a0三、解答题7判断函数f(x)的奇偶性解析本题是求分段函数的奇偶性，则只需分段讨论即可函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，并且当x0时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)(x0)；当x0时，x0，f(x)x(1x)f(x

10、)(x0)综上可得，f(x)为奇函数8已知偶函数f(x)的定义域是x|x0，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0，f(2)1(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)解不等式f(2x1)2解析(1)证明：设x2x10，则f(x2)f(x1)ff(x1)f(x1)ff(x1)fx2x10，1f0，即f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)f(x)在(0，)上是增函数(2)f(2)1，f(4)f(2)f(2)2f(x)是偶函数，不等式f(2x1)2可化为f(|2x1|)f(4)又函数在(0，)上是增函数，|2x1|4，且2x10，解得x，且x，不等式解集为