2022版新教材高中数学 第五章 三角函数 5.docx

1、简单的三角恒等变换基础达标练 1.设34,cos2=m ,则cos4= ( )A.m+12 B.-m+12C.-1-m2 D.1-m2答案：B2.（2020河南安阳林州一中高一月考）设a=12cos6-32sin6,b=2sin13cos13,c=1-cos502 ,则( )A.cba B.abcC.acb D.bca答案：C3.（2021河北邢台高一检测）已知f(x)=sin(3x+3)-3cos(3x+3) ,则f(1)+f(2)+f(2022) 的值为( )A.23 B.3C.1D.0答案：D解析： f(x)=sin(3x+3)-3cos(3x+3)=2sin(3x+3)-3=2sin3

2、x ,则函数f(x) 的最小正周期为23=6 ,且f(1)+f(2)+f(6)=0 ，所以f(1)+f(2)+f(2022)=3370=04.已知24 ,且sin=-35,cos0 ,则tan2= ( )A.-45 B.9C.-3D.3答案：C解析：由sin=-35,cos0 ,得cos=-45 ,所以tan2=sin2cos2=2sin2cos22cos22=sin1+cos=-351+(-45)=-3 .5.（多选）（2020山东高唐第一中学高一检测）已知函数f(x)=sinxcosx+sin2x ,则下列说法中正确的有( )A.f(x) 的最大值为2B.f(x) 的最小正周期为C.f(x

3、) 的图象关于直线x=-8 对称D.f(x) 在(0,4) 上单调递增答案： B ; C ; D解析：因为f(x)=12sin2x+1-cos2x2=12(sin2x-cos2x)+12=22sin(2x-4)+12 ,所以f(x)max=22+12=2+12 ,函数f(x) 的最小正周期T=22= .故A中说法错误,B中说法正确.当x=-8 时,sin(2x-4)=-1 ,所以直线x=-8 为f(x) 图象的一条对称轴.故C中说法正确.当x(0,4) 时,2x-4(-4,4) ,所以f(x) 在(0,4) 上单调递增.故D中说法正确.故选BCD.6.（2020吉林延边第二中学高一月考）在AB

4、C 中,若cosA=13 ,则sin2B+C2+cos2A= ( )A.-19 B.19C.-13 D.13答案：A解析：sin2B+C2+cos2A=1-cos(B+C)2+2cos2A-1=1+cosA2+2cos2A-1=-19 .7.（2021江西上饶高一期中）已知函数f(x)=sinx+acosx ,当x=4 时,f(x) 取得最大值,则a 的值为 .答案：1解析：因为f(x)=sinx+acosx=1+a2sin(x+) ,其中tan=a ,所以f(x)max=1+a2, 依题意f(4)=22+22a=1+a2 ，解得a=1 .8.若cosxcosy+sinxsiny=12,sin

5、2x+sin2y=23 ,则sin(x+y)= .答案：23解析：由题意得cos(x-y)=12 ,sin2x+sin2y=2sin(x+y)cos(x-y)=23 ,故sin(x+y)=23 .9.已知cos(-)=223,(-,0) .（1）求sin ;（2）求cos2(4-2)+sin(3+2)sin(32-2) 的值.答案：（1）因为cos(-)=-cos=223 ,所以cos=-223 ，又因为(-,0) ,所以(-,-2) ,所以sin=-1-cos2=-13 .（2）cos2(4-2)+sin(3+2)sin(32-2)=121+cos(2-)+(-sin2)(-cos2)=12

6、+12sin+sin2cos2=12+12sin+12sin=12+sin=12+(-13)=16 .10.求值：sin42-cos12+sin54 .答案：原式=sin42-sin78+sin54=-2cos60sin18+sin54=sin54-sin18=2cos36sin18=2cos36sin18sin36sin36=sin18sin72sin36=2sin18cos182sin36=sin362sin36=12 .素养提升练11.（2021安徽芜湖高一期末）设函数f(x)=2cos2x+3sin2x+a 在区间0,2 上的最小值为-4,则a 的值等于( )A.4B.-6C.-4D.

7、-3答案： C解析： f(x)=2cos2x+3sin2x+a=1+cos2x+3sin2x+a=2sin(2x+6)+a+1 . 当x0,2 时,2x+66,76 ,所以f(x)min=2(-12)+a+1=-4 ,所以a=-4 .12.（2020湖北黄冈高一检测）在ABC 中,若sinAsinB=cos2C2 ,则下列等式中一定成立的是( )A.A=B B.A=CC.B=C D.A=B=C答案：A解析：因为sinAsinB=cos2C2=1+cosC2=12-12cos(A+B)=12-12(cosAcosB-sinAsinB) ,所以12cosAcosB+12sinAsinB=12 ,所

8、以cos(A-B)=1 .因为0A,0B ,所以-A-B ,所以A-B=0 ,所以A=B .13.（2021北京人大附中高一期末）函数f(x)=15sin(x+3)+cos(x-3) 的最大值为 .答案：26+535解析：因为f(x)=15sin(x+3)+cos(x-3)=15(12sinx+32cosx)+(12cosx+32sinx)=1+5310sinx+5+310cosx=(1+5310)2+(5+310)2sin(x+),其中tan=5+3101+5310=5+31+53 ,因此函数f(x) 的最大值为(1+5310)2+(5+310)2=26+535 .14.tan20-4sin

9、200= .答案： 3解析：tan20-4sin200=tan20+4sin20=sin20+4sin20cos20cos20=sin20+2sin40cos20=sin20+2sin(60-20)cos20=3cos20cos20=3 .15.求证：2sinxcosx(sinx+cosx-1)(sinx-cosx+1)=1+cosxsinx .答案：证明 左边=2sinxcosx(2sinx2cosx2-2sin2x2)(2sinx2cosx2+2sin2x2)=2sinxcosx4sin2x2(cos2x2-sin2x2)=sinx2sin2x2=cosx2sinx2=2cos2x22si

10、nx2cosx2=1+cosxsinx= 右边,所以原等式成立.创新拓展练16.设函数f(x)=sin2x+23sinxcosx-cos2x+(xR) 的图象关于直线x= 对称,其中, 为常数,且(12,1) .（1）求函数f(x) 的最小正周期;（2）若y=f(x) 的图象经过点(4,0) ,求函数f(x) 的值域.解析：命题分析 本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质,函数的值域,考查运算求解的能力,考查直观想象与数学运算的核心素养.答题要领（1）先由二倍角公式,两角差的正弦公式将f(x) 转化为2sin(2x-6)+ ,再根据其图象关于直线x= 对称求 的值,由周期公式求f(x) 的

11、最小正周期.（2）根据y=f(x) 的图象经过点(4,0) ,求 的值,由正弦函数的性质求值域.答案：（1）因为f(x)=sin2x-cos2x+23sinxcosx+=-cos2x+3sin2x+=2sin(2x-6)+ .由直线x= 是y=f(x) 图象的一条对称轴,可得sin(2-6)=1 .所以2-6=k+2(kZ) ,即=k2+13(kZ) .又(12,1),kZ ,所以k=1,=56 ,所以f(x) 的最小正周期是65 .（2）由（1）知,f(x)=2sin(53x-6)+ ,由y=f(x) 的图象过点(4,0) ,得f(4)=0 ,即=-2sin(534-6)=-2sin4=-2 ,故f(x)=2sin(53x-6)-2 ,所以函数f(x) 的值域为-2-2,2-2 .方法感悟 解决三角函数图象与性质的综合问题的方法：先将y=f(x) 化为y=asinx+bcosx 的形式,然后用辅助角公式化为y=Asin(x+) 的形式,再借助y=Asin(x+) 的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.