福州格致中学2023届高三数学第二次月考(10月)答案.pdf

1、1福州格致中学 2023 届高三数学第二次月考（10 月）命题：陈怡 黄锦绣 审题：高三数学集备组(满分：150 分考试时间：120 分钟)一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合2Z4Axx，21,1,ZBx xkkk，则 AB（）A1,1B1,3C1,1,3D1,0,1,3【答案】D【详解】因为1,0,1A ，1,1,3B ，所以1,0,1,3AB .2已知数列 na满足26nnan，n为正整数，则该数列的最大值是（）A 12B 15C 16D 531【答案】B【详解】解：由26nnan，16nann，*N

2、n，又因为16yxx在0,6 上单调递增，在6,上单调递减，又215a，315a 所以 na的最大值为2315aa3已知直线420mxy与直线250 xyn互相垂直，垂足为1,p，则 mnp等于（）A 24B20C 4D 0【答案】D【详解】由两直线垂直得24(5)0m ，解得10m，所以原直线直线420mxy可写为10420 xy，又因为垂足为1,p 同时满足两直线方程，所以代入得10 14202 1 50ppn ，解得212pn ，所以-10-1220mn p，4已知函数(sincos0,0,)2fxaxxa的最小正周期为 ，其最小值为 2，且满足 2f xfx，则（）2A3B6C 3D

3、6【答案】C【详解】22211sincosno1sic1saf xaxxaaxax 21 sinaxt，其中221cos,sin11attaa.依题意20,2T；20,12,3aaa.所以31cos,sin22tt，不妨设6t.所以 2sin 26fxx，由 2f xfx，令4x，得,0444fff，所以2sin2cos04266f，,Z62kk，由于2，所以3.5如图，在三棱柱111ABCA B C中，1AA 平面 ABC，90ACB，13BCAA，1AC ，则异面直线1AC 与1CB 所成角的余弦值为（）A23B64BC32D 2 55【答案】B【详解】把三棱柱补成如图所示长方体，连接1B

4、 D，CD，则11B DAC，所以1CB D即为异面直线1AC 与1CB 所成角（或补角）由题意可得22132CDABACBC，221112B DACACCC，1336CB，所以22211111cos2CBB DCDCB DCB B D644642 6 236已知函数 sincosxfxax在区间,上的图象如图所示，则a（）A52B52C2D 2【答案】B【详解】法一：当0,x时，222coscossincos1coscosx axxaxfxaxax设01cos xa，其中00,x，则00fx，另外0sin0 x，所以021sin1xa，故200011sin21cosxafxaxaa，解得：5

5、2a ，又因为0102faa，所以52a ，法二：由0102faa，2sinsincos1sincosxmxmxmamxmaax，从而2sin1maxm，由于sin1x，所以211mam，解得：211ma，又从图象可以看出 sin2cosxf xax，即2m，从而2121a，解得：52a ，由于0a，故52a .7设15ln13a，14ln14b，13ln15c，则（）A abcBcbaCbacDacb【答案】A【详解】令 14ln 14f xxx，11x ，因为 14=ln 1414xfxxx在11x ，上单调递减，所以 1415=ln 14ln1301413xfxxx，所以 14ln 14

6、f xxx在11，上单调递增，所以 101fff，即13ln1514ln1415ln13，所以，abc8在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 为圆229xy上两动点，点1,1P，且 PAPB，则 AB 的最4大值为（）A32 2B32C52D42【答案】D【详解】由 PAPB，要使 AB 最大只需 P 到 AB 中点C 距离最大，又|PCACBC且2222|9OCACOCPC，令(,)C x y，则2222(1)(1)9xyxy，整理得2211()()422xy，所以C 轨迹是以 1 1(,)2 2 为圆心，2 为半径的圆，又2211(1)(1)422，即 P 在圆内，故max2|22P

7、C，而|2|ABACBCPC，故max|42AB.二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、岸度、颜色等的变化总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“日落云里走，雨在半夜后”小波同学为了验证“日落云里龙，雨在半夜后”，观察了 A 地区的 100 天日落和夜晚天气，得到如下 22 列联表，并计算得到219.05，下列小波对 A 地区天气的判断正确的是（）A夜晚下雨的概率约为 12B未出现“日

8、落云里走”，夜晚下雨的概率约为 514C依据0.005 的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关D依据0.005 的独立性检验，若出现“日落云里走”，则认为夜晚一定会下雨【答案】ABC5【详解】对于 A，根据列联表，100 天中有 50 天下雨，50 天未下雨，所以夜晚下雨的概率约为 5011002，故 A 正确；对于 B，未出现“日落云里走”夜晚下雨的有 25 天，未出现“日落云里走”的一共 254570天，所以未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为 2557014，故 B 正确；对于 C，由题意可知219.057.897，因此依据0.005 的独立性检验，认为“日落云里走”是

9、否出现与夜晚天气有关，故 C 正确，对于 D，由选项 C 知，有关只是说可能性，不代表一定下雨，故 D 错误.10已知直线:20l xy与圆22:4C xy交于 A，B 两点，点 M 为圆 C 上的一动点，点2,2N，记 M 到 l 的距离为 d，则（）A|2 2AB Bd 的最大值为 2 2C ABN是等腰三角形D MNd的最小值为3 2【答案】ACD【详解】对于 A，由圆22:4C xy，可得0,0C，半径为 2，点C 到直线l 的距离为221 1，则2 422 2AB，故 A 正确；对于 B，由题意，可作下图：点 D 为弦 AB 的中点，直线CDAB，则max22 2dMD，故 B 错误

10、；对于 C，由选项 B 与题意，如下图：6易知2,0A，0,2B，则直线 AB 的斜率02120ABk，由CDAB，则直线CD 的斜率11MDABkk ，由1,1D，则直线CD 的方程为()111yx-=-，则 yx，即点2,2N 在直线CD 上，CD为 AB 的中垂线，ABN是等腰三角形，故 C 正确；对于 D，由题意，可作图：则 dME，显然 dMNMEMNND，则2223 21 1MD，故 D 正确；11已知,a b e 是平面向量，e是单位向量，非零向量 a 与 e的夹角为 3，向量b 满足2680be b rr r，则 abrr可能取到的值为（）A 3 312B 3 32C31D31

11、【答案】ABD【详解】将向量,a b e 平移到共起点 O，以点 O 为原点，单位向量 e 的方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图，由2680be b rr r得：22691be be ，即2(3)1be，则|3|1be，因此b 的终点轨迹是以点(3,0)C为圆心，1 为半径的圆，因非零向量 a 与 e 的夹角为 3，则向量 a 的终点在射线3(0)yx x或3(0)yx x 上，点(3,0)C到射线3(0)yx x或3(0)yx x 的距离3 32d，7因此圆 C 上的点到射线3(0)yx x或3(0)yx x 距离的最小值为3 3112d ，abrr表示圆 C 上的点与射线3(0

12、)yx x或3(0)yx x 上的点的距离，即有3 312ab，A 满足，而3 33 331122 ，3 33112 ，因此，BD 都满足，C 不满足.12已知函数 lnf xxxax有两个极值点1x，2x，则下列选项正确的有（）A102aB函数 fx 有两个零点C122xxD12122xxx x【答案】ACD【详解】由题设，()ln21fxxax 在,()0 x 上有两个变号零点，令()ln21g xxax，则1()2g xax，若0a，则()0g x，即()g x 在,()0 x 递增，此时不可能存在两个零点；所以0a，则102xa时()0g x，()g x 递增；12xa时()0g x，

13、()g x 递减；故1()()ln 22g xgaa，而12()1 ln3033ag，要()g x 存在零点，则ln 20a，可得12a，则102a，此时 x 趋向于正无穷时()g x 趋于负无穷，则()fx 在 111(,),(,)3 22aa 各有一个零点，满足题设，A 正确；由上，不妨设1211132xxa，在12(0,),(,)xx 上()0fx，()f x 递减；在12(,)x x上()0fx，()f x 递增，且1122ln21ln21xaxxax，所以 x 趋向于+0 时()f x 趋于 0，111()(1)0f xx ax，2221()(1)2f xx ax，故1(0,)x 上

14、()f x 无零点，12(,)x x上不一定存在零点，B 错误；由对数均值不等式21121221lnln2xxxxx xxx，证明如下：令211xtx，要证211221lnlnxxx xxx，即证12lnttt ，若12lnyttt，则222111()0tyttt ，故 y 在(1,)上递减，所以1|0tyy，即12ln ttt，故211221lnlnxxx xxx得证；8令211xmx 要证211221lnln2xxxxxx，即证2(1)ln1mmm，若2(1)ln1mymm，则22214(1)0(1)(1)mymmm m，故 y 在(1,)上递增，所以1|0tyy，即2(1)ln1mmm，

15、故211221lnln2xxxxxx得证；综上，1212122xxx xa，故1212xxa，C 正确；要证12122xxx x，只要证21121 xx，由于xxa1ln2，所以22111ln1lnxxxx，即 22111ln111ln11xxxx，令 tttln1，ttln，所以 t在1,0上单调递增，在,1上单调递减，要证21121 xx，即证221 tt，即证212tt，由1211132xxa，即10,121tt，只要证 212tt，即证 222tt，102 t，令 tttH2，10 t，只需证 0tH，)2ln()2ln(ln2tttttH，因为10 t，故 0tH，所以 tH在1,0

16、上单调递增，所以 01 HtH，所以12122xxx x得证.D 正确.三、填空题13若i1 im 为纯虚数（i 为虚数单位），则实数 m _【答案】-1【详解】i1 i11i1i1 i2mmm，因为i1 im 为纯虚数，所以10m ，解得：1m ，此时ii1im ，符合要求，故答案为：-114设函数 12lnxf xx，11a ，*21N1,23nnaffnffnnnnn 则数列 na的前 n 项和nS _【答案】21nn【分析】由题设11()()4nffnn，讨论 n 的奇偶性求 na的通项公式，再求nS.9【详解】由题设，111()()4ln(1)ln41nffnnnn，所以*14121

17、,2,N221421,21,N2nnfnnk kannnkk ，即2(1)nan且 n 2，当1n 时，11S ，当2n 时，21242(1)1nSnnn ，所以21nSnn，nN15已知锐角 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sinsin2ACabA，2c，则 B=_；ABC面积的取值范围为_【答案】3；3(,2 3)2【详解】法一：由题意，sinsincossin222BBabAabA，由正弦定理可得sincossinsin2BABA，易知sin0A，则cossincos2sincos2222BBBBB，因为0B，所以1sin 22B，则3B.易知23AC，而该三角形是锐

18、角三角形，则02262032CCC，因为,2sinsinaccAC，所以22111sinsinsinsin222sinABCaASacBcBcBcC23sin1sin33sin342sin2sinsinCAACCC 313cossin2233sin2tan2CCCC，由3tan,623CC，于是13330,3,2 3tan2tan22CC，即该三角形面积的取值范围是3,2 32.法二：数形结合，也可得到答案故答案为：3；3,2 32.16九章算术中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直10角三角形的直棱柱在堑堵111ABCA B C中，ABAC，M 是1

19、1AC 的中点，1214ABAAAC，N，G 分别在棱1BB，AC 上，且113BNBB，13AGAC，平面 MNG 与 AB 交于点 H，则 AH _【答案】12【详解】解：如图，延长 MG，交1A A 于 K，连接 KN，交 AB 于 H 则1KAGKA M，则11123132KAAGKAA M，则12KAAA，又111133BNBBAA，所以6KABN，则6AHKABHNB，所以6127AHAB故答案为：12.四、解答题17已知函数()ln()f xxax aR(1)当1a 时，求()f x 在点 22,efe处的切线方程；(2)若()f x 在20e，上有两个不同的零点，求实数 a 的

20、取值范围【详解】解：(1)1a 时，()lnf xxx，1()1fxx22()2f ee，221()1f ee，所以切线方程为22211)2(exeey，即1112xey(2)11()(0)axfxaxxx当0a 时，1()0axfxx，函数()lnf xxax在(0,)上单调递增，从而()f x 至多有一个零点，不符合题意11当0a 时，1()(0)a xafxxx，()f x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减由11ln10faa 得10ea由 22e2e0fa得22ea 当212eea 时，(1)0fa，满足()f x 在20,e上有两个不同的零点a 的取值范围是212,ee 18近

21、年来，美国方面滥用国家力量，不择手段打压中国高科技企业，随着贸易战的不断升级，中国某科技公司为了不让外国“卡脖子”，决定在企业预算中减少宣传广告预算，增加对技术研究和人才培养的投入，下表是的连续 7 年研发投入 x 和公司年利润 y 的观测数据，根据绘制的散点图决定用回归模型：21eC xyC来进行拟合.表 I研发投入 x（亿元）20222527293135年利润 y（亿元）711212465114325表 II（注：表中lniity）71iix71iiy71iit721iixx721iiyy18956725.2716278106721iitt71iiixxyy71iiixxtt71iiiyy

22、tt11.06304042.12825.09(1)请借助表 II 中的数据，求出回归模型的方程；(2)试求研发投入为 20 亿元时年利润的残差.（精确到 0.01）参考数据：3.410.261.795.20e0.03,e1.30,e5.46,e181.88，附：回归方程中yx和121|21,niiiniixxyyyxxx，残差 iiieyy【详解】解：（1）由21eC xyC得12lnlnyCC x，令21ln,lnty bC aC，得tabx，由表 II 数据可得：7172142.120.26,162iiiiixxttxx25.271890.263.4177tx，0.263.41tx.所以回

23、归方程为：0.263.41exy.（2）在20 x=时的残差：0.26 20 3.415.23.41117e7ee1.54yy.19已知数列 na的前 n 项和为nS，且12a，132nnSS，数列 nb满足1122,nnnbbbn，其中*nN.(1)分别求数列 na和 nb的通项公式；(2)在na 与1na 之间插入 n 个数，使这2n 个数组成一个公差为nc 的等差数列，求数列nnb c的前 n 项和nT【详解】解：（1）由132nnSS 可得12)3(2nnSSn，两式相减可得13(2)nnaa n，故数列 na是以首项为2a，公比3q 的等比数列.又由已知132nnSS，令1n ，得2

24、13+2SS，即12132aaa，得21226aa，故123aa，故数列 na是以首项为12a，公比3q 的等比数列，数列 na的通项公式为1*(2)3nnanN；由12b，12nnbnbn得：3124123213451,12321nnnnbbbbbnnbbbbnbn，以上 n个式子相乘，可得113451123212nn nbnnbnn，1()2nbn nn，又12b 满足上式，所以 nb的通项公式*)1(nbn nnN（2）若在na 与1na 之间插入 n个数，使这2n 个数组成一个公差为nc 的等差数列，则11nnnaanc，即为12 32 31nnnnc，整理得14 31nncn，所以1

25、43nnnb cn，1 12 23 311nnnnnTb cb cb cbcb c13012214 1 34 2 34 3 341 343nnnn 012214 1 32 33 31 33nnnn 12134 1 32 3+1 33nnnTnn，两式相减得：01211 324 33+3 .33431 3nnnnnTnn ，所*()()1 323121 32nnnnTnnn N20.如图，在平面四边形 ABCD中，120A，ABAD，1BC ，3CD.(1)若6cos3CBD，求 AB 的值；(2)求四边形 ABCD面积的最大值.【详解】解：（1）在BCD中，由余弦定理可得2222cosCDBC

26、BDBC BDCBD，22 6313BDBD，即232 660BDBD，(36)(6)0BDBD，又0BD，6BD.120A，ABAD，30ABDADB，在ABD中，由正弦定理可得 sinsinABBDADBA，即61322AB，2AB.（2）由余弦定理可得：22222212cos232BDABADAB ADAABADAB ADAB，2222cos1 32 3cos42 3cosBDCBCDCB CDCCC ，242 3 cos3CAB，四边形 ABCD的面积21133sinsinsin2242ABDACDSSSAB ADACB CDCABC3 42 3 cos33133sincossinsi

27、n43232263CCCCC.又0C，14当62C，即23C 时，四边形 ABCD的面积取得最大值313.21如图，C 是以 AB 为直径的圆 O 上异于 A，B 的点，平面 PAC 平面,ABCPAC为正三角形，E，F 分别是,PC PB 上的动点.(1)求证：BCAE；(2)若 E，F 分别是,PC PB 的中点且异面直线 AF 与 BC 所成角的正切值为32，记平面 AEF 与平面 ABC 的交线为直线 l，点 Q 为直线 l 上动点，求直线 PQ与平面 AEF 所成角的取值范围.【详解】（1）证明：因为 C 是以 AB 为直径的圆 O 上异于 A，B 的点，所以 BCAC，又平面 PA

28、C 平面 ABC，且平面 PAC 平面,ABCAC BC 平面 ABC，所以 BC 平面,PAC AE 平面 PAC.所以 BCAE（2）由 E，F 分别是,PC PB 的中点，连结,AE EF，所以 BCEF，由（1）知 BCAE，所以 EFAE，所以在 Rt AFE中，AFE就是异面直线 AF 与 BC 所成的角.因为异面直线 AF 与 BC 所成角的正切值为32，所以3tan2AFE，即32AEEF 又 EF 平面,AEF BC平面 AEF，所以/BC平面 AEF，又 BC 平面 ABC，平面EFA平面ABCl，所以 BCl所以在平面 ABC 中，过点 A 作 BC 的平行线即为直线 l

29、.以 C 为坐标原点，,CA CB 所在直线分别为 x 轴，y 轴，过 C 且垂直于平面 ABC 的直线为 z 轴，建立空间15直角坐标系，设2AC.因为PAC为正三角形所以3AE，从而2EF 由已知 E，F 分别是,PC PB 的中点，所以24BCEF则(2,0,0),(0,4,0),(1,0,3)ABP，所以1313,0,2,2222EF，所以33,0,(0,2,0)22 EAFE，因为 BCl，所以可设(2,0)Qt，平面 AEF 的一个法向量为(,)mx y z，则3302220 xzAE mEF my ，取3z，得(1,0,3)m，又(1,3)PQt，则211|cos,|0,2|4

30、PQ mPQ mPQmt.设直线 PQ与平面 AEF 所成角为，则211sin0,24 t.所以直线 PQ与平面 AEF 所成角的取值范围为 0,6.22已知函数()e1,()(ln)xf xxg xaxx(1)若不等式()()f xg x恒成立，求正实数 a 的值；(2)证明：2e(2)ln2sinxxxxx【详解】解：(1)令()()()e(ln)1xh xf xg xxaxx，则(1)e1()(1)e1(0)xxxxah xxaxxx，设()e(0)xxxa a，则()(1)e0 xxx对任意0 x 恒成立，所以()x 在(0,)上单调递增，又(0)0,()ec10aaaaaa ，存在唯

31、一实数00(0,),0 xax，所以当00,xx时，(1)()()0,()xxh xh xx单调递减；当0,xx 时，(1)()()0,()xxh xh xx单调递增；所以00mi00n0()eln1xh xh xxa xx 因为 0000e0 0 xxxaxa，所以00exxa，且00lnln(0)xxa a16所以min()ln10h xaaa，设()ln1(0)F aaaaa，因为()1(1ln)lnF aaa ，所以()F a 在(0,1)上单调递增，(1,)上单调递减所以()(1)0F aF，而依题意必有()0F a，所以()0F a，此时1a ，所以若不等式()()f xg x恒成

32、立，则正实数 a 的值为 1(2)方法一：借助第（1）问结论由（1）得，当1a 时，()e(ln)1xf xxxx 对任意0 x 恒成立所以(0,),eln1xxxxx，（当且仅当1x 时等号成立），则22eln(0)xxxxxx x所以要证明2e(2)ln2sin(0)xxxxx x，只需证2ln(2)ln2sin(0)xxxxxxx x，即证22ln2sin(0)xxxx x设()ln1xxx，则11()1(0),()xxxxxx 在(0,1)上单调递增，(1,)上单调递减所以(0,),()(1)0 xx，即 ln1(0)xxx所以只需证22(1)2sinxxxx，即证222sinxxx当

33、1x 时，22(1)222sinxxx xx，不等式成立当01x 时，2217772,2sin2sin12sin324434xxxx，不等式成立所以22e32(2)ln2sin(0)xxxxxxx x，证毕，方法二：分别放缩设()sinxxx，则()1cos0 xx 恒成立，()x在(0,)上单调递增，(0,),()(0)0 xx，所以sin(0)xx x设()ln1xxx，则11()1(0),()xxxxxx 在(0,1)上单调递增，(1,)上单调递增，(0,),()(1)0 xx，所以ln1(0)xxx，所以lnee1xx，即 e1xx 所以当,()0 x 时，2(2)ln2sin(2)(1)232xxxxxxxx又因为2222e32(1)(1)2(1)(1)(2)0 xxxxxxx xxxx，所以22e32(2)ln2sin(0)xxxxxxx x