黑龙江省齐齐哈尔市八中2020_2021学年高二数学下学期4月月考试题理PDF.pdf

1、试卷第 1 页，总 13 页 数学（理科）试卷 注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题）请点击修改第 I 卷的文字说明 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.1已知命题:p“xR，10 x”，则p为 （）A xR，10 x B xR，10 x C xR，10 x D xR，10 x 【答案】B【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出p【详解】:p“xR，10 x”，p：xR，10 x 故选：B【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（

2、存在）量词命题的否定是全称量词命题 2“已知对数函数logayx（0a 且1a）是增函数，因为2logyx是对数函数，所以2logyx为增函数”，在以上三段论的推理中 （）A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论错误【答案】A【分析】根据对数函数的单调性判断即可.【详解】试卷第 2 页，总 13 页 当01a 时，函数logayx为减函数，所以，在这个推理中，大前提错误.故选：A.【点睛】本题考查演绎推理，属于基础题.3在曲线 yx21 上取一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则yx为 （）Ax12x Bx 1x2 Cx2 D2x 1x【答案】C【分析】根据平均变化率的定义计算【

3、详解】解：yf(1x)f（1）(1x)21(121)(x)22x，yxx2 故选：C 4函数xye的导函数为 （）Axye Bxye Cxye Dxye【答案】B【分析】利用复合函数求导法则即可求导.【详解】1xxxxyeexee ，故选：B.5复数 z 满足：122zzi，z （）A 21515i B 21155i C 21515 i D 21155i【答案】A 试卷第 3 页，总 13 页【分析】设 zabi，带入122zzi，根据复数相等列方程求解即可【详解】解：设 zabi，则 zabi，由122zzi得1221222255iabiabiabiabiiii，225125aabb ，解得

4、25115ab ，21515zi 故选：A【点睛】方法点睛：复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值 6已知 ABC 的边长分别为a、b、c，ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则2Srabc，类比这一结论可知：若三棱锥 ABCD的四个面的面积分别为1S、2S、3S、4S，内切球半径为 R，三棱锥ABCD的体积为V，则 R （）A1234VSSSS B12342VSSSS C12343VSSSS D12344VSSSS 【答案】C【分析】由三角形类比三棱锥，则三角形的面积类比三棱锥的体积，由内切圆类比内切球

5、，可得出结论.【详解】ABC 的边长分别为a、b、c，ABC 的面积为 S，内切圆半径为r，由等面积法可得12Sr abc，2Srabc.类比这个结论：试卷第 4 页，总 13 页 三棱锥 ABCD的四个面的面积分别为1S、2S、3S、4S，内切球半径为 R，三棱锥 ABCD的体积为V，由等体积法可得123413VR SSSS，12343VRSSSS.故选：C.【点睛】易错点点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直

6、，边相等对应面积相等 7函数 3244f xxxx 的单调增区间是 （）A22,3 B22,3 C 2,23 D2,23【答案】C【分析】对函数求导，解不等式 0fx，即可得出单调递增区间.【详解】由 3244f xxxx 得 2384fxxx，由 23840fxxx 得23840 xx，解得 223x，因此函数 3244f xxxx 的单调增区间是 2,23.故选：C.8命题:p 若()f xx，则1()2fxx，命题:q 存在 xR，使210 xx，则下列结论正确的是 （）Aq 为真命题 B()pq 为假命题Cp 为假命题 D pq为真命题【答案】D【分析】先判断命题 p 和 q 的真假，

7、再逐一判断选项中的复合命题的真假即可.【详解】试卷第 5 页，总 13 页 由()f xx时，求导得1()2fxx，故命题 p 是真命题；因为221331244xxx，故不存在 xR，使210 xx，即命题 q 是假命题.故选项 D 中，pq为真命题，故正确；选项 B 中，q 是真命题，()pq 为真命题，故错误；选项 C 中，p 为假命题，错误；选项 A 中，q 为真命题，错误.故选：D.9若直线l：2yexb是曲线2lnyx的切线，则实数b （）A-4 B-2 C 2e De 【答案】A【分析】设切点00,2lnxx，写出切线方程0022ln2xyxx，从而可得01xe，代入切线方程即可求

8、解.【详解】设l：2yexb与曲线2lnyx相切于点00,2lnxx，则002fxx，所以的方程为00022lnyxxxx，则0022ln2xyxx，故022ex，解得01xe，则直线l：24yex，所以4b ，故选：A.10下面四个图象中，有一个是函数 3221113f xxaxax (aR)的导函数 yfx的图象，则1f 等于 （）试卷第 6 页，总 13 页 A 1-3 B23 C 73 D13或 53【答案】D【分析】根据函数解析式，先求得 fx，由各图象形式确定 fx的图象，并确定a 的值，即可求得1f.【详解】函数 3221113f xxaxax（aR），则 2221fxxaxa，

9、可知 fx为开口向上的二次函数，则排除.若 fx的图象为，则对称轴为0 xa ，即0a，此时 3113f xxx，则1511 133f 若 fx的图象为，则对称轴为0 xa ，即0a，由图象可知，fx过坐标原点，则 2010fa，解得：1a 或1a （舍去）此时 32113f xxx，则1111 133f ，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查了导函数图象与函数图象关系，由导函数图象确定参数，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键，属于一般题.第 II 卷（非选择题）三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.11已知函数 sincosf xxxx，f x 的导函数为 fx，

10、则2f的值为_.【答案】0 试卷第 7 页，总 13 页【详解】sincosf xxxx，sincossincosfxxxxxxx，因此，02f.故答案为：0.12观察图中 5 个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第 n 个图中有_小圆圈.【答案】2nn1 【分析】仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系，从而归纳出第 n 个图形中小圆圈的个数.【详解】观察图中 5 个图形小圆圈的个数分别为 1，12+1，23+1，34+1，45+1，故第 n 个图中小圆圈的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.故答案为：n2-n+1 13已知函数 f x 的导函数 fx,且满足 21lnf xx

11、fx，则 1f _;【答案】1【详解】对函数进行求导，得1()2(1)fxfx把1x 代入得，(1)2(1)1ff 直接可求得(1)1f 14若函数cossinf xxax 在区间 ,4 2 是单调函数，则实数 a 的取值范围是_.【答案】(,1【详解】因为函数cossinf xxax 在区间,4 2 是单调函数，若函数cossinf xxax 在区间,4 2 是单调递增函数，则 sincos0fxxax 在区间,4 2 上恒成立；所以tanax在区间,4 2 上恒成立，又当,4 2x 时，tan1,x，试卷第 8 页，总 13 页 所以a；若数cossinf xxax 在区间,4 2 是单调

12、递减函数，则 sincos0fxxax 在区间,4 2 上恒成立；所以tanax在区间,4 2 上恒成立，又当,4 2x 时，tan1,x，所以1a ；综上所述，(,1a.二、解答题：本大题共 4 小题，共 50 分.15（本小题共 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设曲线C 的参数方程为2cossinxy（为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为2cos3sin8.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设 P 是曲线C 上的动点，求点 P 到直线l 的距离的最小值，并求出此时点 P 的坐标.【答案】（1）2214xy，

13、2380 xy；（2）3 1313，8 3,5 5P.【分析】（1）利用消参法得到曲线C 的普通方程，利用极坐标公式求出直线l 的直角坐标方程；（2）设点2cos,sinP，求出点 P 到直线l 的距离为85sin13d即得解.【详解】（1）由曲线C 的参数方程得cos2sinxy，两式平方相加得曲线C 的普通方程为2214xy；由题得2 cos3 sin8，所以直线l 直角坐标方程为2380 xy.试卷第 9 页，总 13 页（2）由参数方程设点2cos,sinP，则点 P 到直线l 的距离为8 5sin4cos3sin81313d 其中4tan3,所以3 1313d，此时3sin5，4co

14、s5.所以点 P 到直线l 的距离的最小值为 3 1313.所以点 P 的坐标为8 3,5 5P.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用参数方程设点2cos,sinP，从而建立三角函数的模型，优化解题，提高了解题效率.16（本小题共 12 分）某大学有国防生50名，学校在关注国防生文化素养的同时也非常注重他们的身体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动(下面简称“活动”)并记录成绩.10月份某次活动中同学们的成绩统计如图所示：（1）根据图表，估算学生在活动中取得成绩的中位数(精确到0.1)；（2）根据成绩从 50,6090,100，两组学员中任意选出两人为一组，若选出成绩分差大于10，则称该组

15、为“帮扶组”，试求选出两人为“帮扶组”的概率.【答案】（1）76.5；（2）815.【分析】（1）根据由频率分布直方图求中位数的方法，求得中位数.试卷第 10 页，总 13 页（2）求得 50,6090,100、两组学员的人数，利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）成绩在区间50,60 的频率为10 0.0040.04，成绩在区间60,70 的频率为10 0.020.2，0.5 0.040.20.26，设中位数为 x，则0.26700.040.26,706.5,76.50.04xxx.（2）成绩在区间50,60 与90,100 的人数分别为0.04 502，10

16、0.008 504.设成绩在区间50,60 的学员为,a b，成绩在区间90,100 的学员为,c d e f，从中任选两人，有,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef 共15种，其中选出成绩分差大于10的有,ac ad ae af bc bd be bf 共8 种，故选出两人为“帮扶组”的概率为 815.17（本小题共 12 分）在如图所示几何体中，四边形 ABCD 为矩形，且22ADAB，ABE为等腰直三角形，90BAE，且 ADAE （1）求异面直线 AB 与 EC 所成角的余弦值；（2）若 AC 与 BD 交于点 F，求二面角 DEFC

17、的余弦值【答案】（1）66；（2）55【分析】（1）以点 A 为坐标原点，AE、AB、AD 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间试卷第 11 页，总 13 页 向量法可求得异面直线 AB 与 EC 所成角的余弦值；（2）利用空间向量法可求得二面角 DEFC的余弦值.【详解】（1）四边形 ABCD为矩形，则 ADAB，ABAE，ADAE，所以，AE、AB、AD 两两垂直，以点 A 为坐标原点，AE、AB、AD 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则0,0,0A、0,1,0B、0,1,2C、0,0,2D、1,0,0E，0,1,0AB，1,1,2EC ，所以，16

18、cos,616AB ECAB ECABEC，因此，异面直线 AB 与 EC 所成角的余弦值为66；（2）0,1,2BD，1,1,0BE，设平面 BDE 的法向量为111,nx y z，由1111200n BDyzn BExy ，令12y，则12x，11z ，可得2,2,1n，1,0,0AE，0,1,2AC，设平面 ACE 的法向量为222,mxy z，由222020m AExm ACyz，令22y，则20 x，21z ，可得0,2,1m，35cos,55 3m nm nm n，由图可知二面角 DEFC的大小为锐角，则二面角 DEFC的余弦值为55 试卷第 12 页，总 13 页【点睛】思路点睛

19、：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.18（本小题共 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率是 12，椭圆 C 过点31,2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知12,F F 是椭圆C 的左、右焦点，过点2F 的直线l（不过坐标原点）与椭圆C 交于,A B 两点

20、，求11F A F B 的取值范围.【答案】（1）22143xy；（2）73,4.【分析】（1）由离心率及点的坐标列出关于,a b 的方程组，解之可得椭圆标准方程；（2）设 1122,Ax y B x y，设直线l 的方程为1xmy，代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,yy y y，代入11F A F B，利用不等式的性质可得取值范围【详解】（1）由条件知22222141914abaab，解得2243ab，因此椭圆C 的方程为22143xy.（2）设 1122,A x yB xy，试卷第 13 页，总 13 页 则1111221,1,F AxyF Bxy，设直线l 的方程为1xmy，代入椭圆

21、C 的方程消去 x，得2234690mymy，由韦达定理得12122269,3434myyy ymm，11121212121122F A F Bxxy ymymyy y 21212124my ym yy 222222969719124334343434mmmmmmmm 2344m，219190344m，219733344m ，所以1173,4F A F B.【点睛】方法点睛：本题考查由离心率求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题，解题方法是设而不求的思想方法：设交点坐标坐标为1122(,),(,)x yx y，设直线方程为 ykxt，代入椭圆方程消元后（可以消去 x）应用韦达定理得得121 2,xx x x（1212,yy y y），代入所求的量化简变形后利用不等式的知识可得取值范围