2023届高考数学 易错题专项突破——易错点20 等差数列（含解析）.docx

1、易错点20 等差数列一、单选题1. 已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，若anbn=5n+23n+1，则使得SnTn为整数的正整数n共有()个A. 3B. 4C. 5D. 62. ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=(3cosA+sinA)cosB”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设非零等差数列an的公差为d，则使得数列1an也为等差数列的d有A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个4. 已知数列an是等差数列，其公差为d,a1=1，且对任意的nN*，均有anan+12-an20,Sn是数列an前n项的和，若

2、Sn取得最大值，则n=_11. 若两个等差数列an，bn的前n项和分别为An，Bn且满足AnBn=4n+25n-5，则a5+a13b5+b13的值为_ 12. 在数列an在中，an=4n-52，a1+a2+an=an2+bn，nN*，其中a,b为常数，则ab=_三、解答题13. 已知数列an中，a1=1，an0，前n项和为Sn，an=Sn+Sn-1(nN*，且n2).(1)求数列an的通项公式；(2)记cn=3-an2n+1，求数列cn的前n项和Tn14. 已知等差数列an的公差d0，若a6=11，且a2，a5，a14成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=1anan+1，求数列b

3、n的前n项和Sn15. 设等比数列an的前n项和为Sn，若a5=-32，且S2，S1，S3成等差数列()求an的通项公式；()比较2Sn与Sn+1+Sn+2的大小16. 已知等差数列an的前n项和为Sn，且a5=6，a3+a9=14()求an、Sn；()设1bn=Sn-n，bn的前n项和为Tn，若Tnm恒成立，求实数m的取值范围一、单选题1. 已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，若anbn=5n+23n+1，则使得SnTn为整数的正整数n共有()个A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】解：anbn=5n+23n+1，可设an=5n+23,bn=n+1，则Sn=n28+

4、5n+232,Tn=n2+n+12则SnTn=5n+51n+3=5n+3+36n+3=5+36n+3要使SnTn为整数n+3是36的大于等于4的奇约数，即n+3=4或n+3=6或n+3=9或n+3=12或n+3=18或n+3=36，n=1，3，6，9，15，33使得SnTn为整数的正整数n的个数是6故选D2. ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=(3cosA+sinA)cosB”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，B=60，若sinC=(3cosA+sinA)cosB，则s

5、in(A+B)=3cosAcosB+sinAcosB，即sinAcosB+cosAsinB=3cosAcosB+sinAcosB，cosAsinB=3cosAcosB，若cosA=0或tanB=3，即A=90或B=60，角A，B，C成等差数列是sinC=(3cosA+sinA)cosB成立的充分不必要条件故选：A3. 设非零等差数列an的公差为d，则使得数列1an也为等差数列的d有A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个【答案】A【解析】解：由非零等差数列an的公差为d(常数)，则an+1-an=d，要使得数列1an也为等差数列，设公差为d1(常数)，则1an+1-1an=d1，即an-an

6、+1an+1an=-dan+1an=-d1，可得非零数列an是常数数列，故公差为0，只有1种情况，故选A4. 已知数列an是等差数列，其公差为d,a1=1，且对任意的nN*，均有anan+12-an20,Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n=_【答案】11【解析】解：等差数列an中，满足3a1=7a7，由等差数列通项公式可知3a1=7a1+6d，即d=-2a121，由等差数列前n项和公式可得Sn=na1+nn-12d=na1+nn-12-2a121=-a121n-112+121a121，因为a10,所以当n=11时，Sn取得最大值，故答案为：1111. 若两个等差数列an，bn的前

7、n项和分别为An，Bn且满足AnBn=4n+25n-5，则a5+a13b5+b13的值为_ 【答案】78【解析】解：由等差数列的求和公式和性质可得：a5+a13b5+b13=a1+a17b1+b17=17a1+a17217b1+b172=A17B17=417+2517-5=78，故答案为：7812. 在数列an在中，an=4n-52，a1+a2+an=an2+bn，nN*，其中a,b为常数，则ab=_【答案】-1【解析】解：an=4n-52，数列an为等差数列，a1=32,d=4，Sn=n(32+4n-52)2=2n2-12n，a=2,b=-12，ab=-1故答案为-1三、解答题13. 已知数

8、列an中，a1=1，an0，前n项和为Sn，an=Sn+Sn-1(nN*，且n2).(1)求数列an的通项公式；(2)记cn=3-an2n+1，求数列cn的前n项和Tn【答案】解：(1)在数列an中，an=Sn-Sn-1(n2)，an=Sn+Sn-1且an0，式式得：Sn-Sn-1=1(n2)，数列Sn是以S1=a1=1为首项，公差为1的等差数列，Sn=1+(n-1)=n，Sn=n2，当n2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，当n=1时，a1=1，也满足上式，数列an的通项公式为an=2n-1;(2)由(1)知，an=2n-1，cn=2-n2n，则Tn=12+022+-12

9、3+2-n2n12Tn=122+023+-124+3-n2n+2-n2n+1两式相减得，12Tn=12+-122+-123+-12n-2-n2n+1，=12-122+123+12n-2-n2n+1，=12-122-12n121-12-2-n2n+1=n2n+1，Tn=n2n14. 已知等差数列an的公差d0，若a6=11，且a2，a5，a14成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Sn【答案】解：(1)a6=11，a1+5d=11，a2，a5，a14成等比数列，(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，化简得d2=2a1d，又因为d0，且由

10、可得，a1=1，d=2，数列的通项公式是an=2n-1(2)由(1)得bn=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)， Sn=b1+b2+bn=12(1-13+13-15+12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1，所以Sn=n2n+115. 设等比数列an的前n项和为Sn，若a5=-32，且S2，S1，S3成等差数列()求an的通项公式；()比较2Sn与Sn+1+Sn+2的大小【答案】解：()因为S2，S1，S3成等差数列，所以2S1=S2+S3，即2a1=a1+a2+a1+a2+a3，整理可得a3=-2a2，所以an的公比为-2又a5=a

11、1-24=-32，得a1=-2，所以an=-2n，nN*()因为an=-2n，nN*，所以Sn=(-2)1-(-2)n1-(-2)=-2-(-2)n+13于是2Sn=-4+(-2)n+23，又因为Sn+1+Sn+2=-2-(-2)n+2-2-(-2)n+33=-4+(-2)n+23，所以2Sn=Sn+1+Sn+216. 已知等差数列an的前n项和为Sn，且a5=6，a3+a9=14()求an、Sn；()设1bn=Sn-n，bn的前n项和为Tn，若Tnm恒成立，求实数m的取值范围【答案】解：()设等差数列an的公差为d由题意可得a5=a1+4d=6a3+a9=2a1+10d=14，解得a1=2d=1,所以an=a1+(n-1)d=n+1，Sn=n(a1+an)2=n(n+3)2；()由1bn=Sn-n，得bn=1Sn-n=2n(n+1)=2(1n-1n+1)所以Tn=b1+b2+bn=2(1-12+12-13+1n-1n+1)=2-2n+1因为nN*，所以Tn2，若Tnm恒成立，需m2故m的取值范围为2,+