2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第三册） 7.4 二项分布与超几何分布（精讲）（教师版含解析）.docx

1、7.4 二项分布与超几何分布(精讲)思维导图常见考法考点一 超几何与二项分布概念的辨析【例1-1】(2021全国高二课时练习)下列随机变量中，服从超几何分布的有_(填序号)在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X.【答案】【解析】根据超几何分布模型定义可知中随机变量X服从超几何分布中随机变量X服从超几何分布而中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布故答案为：.【例1-2】(2021全国全

2、国)下列例子中随机变量服从二项分布的有_随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数(MN)；有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数【答案】【解析】对于，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，则P(A).而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k0、1、2、n)的概率，符合二项分布的定义对于，的取值是1、2、3、n，P(k) (k1、2、3、n)，显然不符合二项分布的定义

3、，因此不服从二项分布和的区别：是“有放回”抽取，而是“无放回”抽取，显然中n次试验是不独立的，因此不服从二项分布，对于有B .故应填.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：X表示取出的最大号码；X表示取出的最小号码；取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；X表示取出的黑球个数这四种变量中服从超几何分布的是()ABCD【答案】B【解析】对于，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球，而表示从6个黑球和编号为的白球共

4、7个球中取3个球，故该随机变量不服从超几何分布，同理中的随机变量不服从超几何分布.对于，的可能取值为，表示取出4个白球；表示取出3个白球1个黑球；表示取出2个白球2个黑球；表示取出1个白球3个黑球；表示取出4个黑球；因此服从超几何分布.由超几何分布的概念知符合，故选：B.2(2021全国高二课时练习)下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是( )A将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为B从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为C某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为D盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取

5、的次数为【答案】B【解析】由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布.故选：B.3(2021全国高二课时练习)下列例子中随机变量服从二项分布的个数为( )某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数；某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数；有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数A0B1C2D3【答案】B【解析】满足独立重复试验的条件，是二项分布；的取值是1，2，3，()，显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布；虽然

6、是有放回地摸球，但随机变量的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义；次试验是不独立的，因此不服从二项分布所以只有1个服从二项分布.故选：B4(2021全国)下列选项中的随机变量不服从两点分布的是( )A抛掷一枚骰子，所得点数B某射击手射击一次，击中目标的次数C从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设D某医生做一次手术，手术成功的次数【答案】A【解析】对于选项A，抛掷一枚骰子，所得点数的取值范围为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布； 对于选项B，射击手射击一次，有击中或者不击中目标两种可能的结果，B

7、中的随机变量服从两点分布；对于选项C，袋中只有红球和白球，取出1个球，可能取到红球或者白球，C中的随机变量服从两点分布；对于选项D，医生做一次手术，手术可能成功，也可能失败，D中的随机变量服从两点分布.故选A.考点二 二项分布的均值与方差【例2】(2021山东高三月考)已知随机变量满足，且，则分别是( )A5，3B5，6C8，3D8，6【答案】B【解析】由已知，所以，又由得，所以，故选：B【一隅三反】1(2021江苏启东高二期中)设随机变量X，Y满足：Y3X1，XB，则V(Y)()A4B5C6D7【答案】A【解析】因为XB(2，)，则V(X)2，又Y3X1，所以V(Y)V(3X1)，所以选项A

8、正确，选项BCD错误故选：A.2(2021全国高二课时练习)设随机变量，若，则的值为( )ABCD【答案】B【解析】因为随机变量，所以，解得，所以，则故选：B3(2021山东威海高二期末)已知随机变量，随机变量，则( )ABCD【答案】C【解析】因为，所以，又因为，所以，故选：C考点三 二项分布【例3】(2021吉林长春外国语学校高三期中(理)很多新手拿到驾驶证后开车上路，如果不遵守交通规则，将会面临扣分的处罚，为让广大新手了解驾驶证扣分新规定，某市交警部门结合机动车驾驶人有违法行为一次记12分6分3分2分的新规定设置了一份试卷(满分100分)，发放给新手解答，从中随机抽取了12名新手的成绩，

9、成绩以茎叶图表示如图所示，并规定成绩低于95分的为不合格，需要加强学习，成绩不低于95分的为合格.(1)求这12名新手的平均成绩与方差；(2)将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该市新手中任选4名参加座谈会，用X表示成绩合格的人数，求X的分布列与数学期望.【答案】(1)平均数92分，方差(2)分布列答案见解析，数学期望为3【解析】(1)这12名新手的成绩分别为68，72，88，95，95，96，96，97，98，99，100，100，则平均成绩为，其方差为.(2)抽取的12名新手中，成绩低于95分的有3个，成绩不低于95分的有9个，故抽取的12名新手中合格的频率为，故从该市新手中任选1

10、名合格的概率为.X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则，.所以X的分布列为X01234P.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素.学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因.为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图.(1)写出这组数据的众数和中位数.(2)若视力测试结果不低于5

11、.0，则称为“好视力”.从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率.若从该地区学生(人数较多)中任选3名，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列.【答案】(1)众数为4.6和4.7，中位数为(2)；分布列见解析【解析】(1)观察茎叶图得这组数据的众数为4.6和4.7，中位数为.(2)从16名学生中随机选取3名学生的试验有个基本事件，它们等可能，令事件表示“所选3名学生中有名是好视力(，1，2，3)”，则事件A2，A3含有的基本事件数分别为，设事件表示“至少有2名学生是好视力”，则，所以至少有2名学生

12、是“好视力”的概率是.因为这16名学生中是“好视力”的频率为，且用频率代替概率，则该地区学生中是“好视力”的概率为，抽取一个学生就是一次试验，有是“好视力”和不是“好视力”两个结果，抽3个学生相当于3次独立重复抽一个学生的试验，于是得从二项分布，则，所以的分布列为：01232(2021全国高二课时练习)甲乙二人进行定点投篮比赛，已知甲乙二人每次投进的概率均为，两人各投1次称为一轮投篮.(1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；(2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望.【答案】(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：【解析】(1)设“乙在前3次投篮中，恰好

13、投进2个球”为事件，则.答：乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率为.(2)的所有可能取值为0，1，2，3.设前3轮投篮中，甲进球个数为，乙进球个数为，则，的取值均为0，1，2，3，.所以，.所以的分布列为0123数学期望为.3(2021山东师范大学附中高三月考)某部门在同一上班高峰时段对甲乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟).将统计数据按，分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立.(1)在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求乘客，乘车等待时

14、间都小于20分钟的概率；(2)在上班高峰时段，从甲站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：【解析】(1)设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”，表示事件“乘客，乘车等待时间都小于20分钟”.由题意知，乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为.乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为.又.故事件的概率为.(2)由(1)可知，甲站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，所以甲站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为.显然，的

15、可能取值为0，1，2，3且.所以；.故随机变量的分布列为0123.考点四 超几何分布【例4】(2021贵州省思南中学)某班利用课外活动时间举行了一次“函数求导比赛”活动，为了解本次比赛中学生的总体情况，从中抽取了甲、乙两个小组的样本分数的茎叶图如图所示.(1)分别求出甲、乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪个小组的成绩更稳定？(2)从甲组同学成绩不低于70分的人中任意抽取3人，设表示所抽取的3名同学的得分在的人数，求的分布列及数学期望.【答案】(1)甲的平均数，方差；乙的平均数，方差；乙小组的更稳定.(2)分布列见解析，.【解析】(1)甲小组的平均数：甲小组的方差：，乙小组的平均数：乙小组的

16、方差：.两个小组成绩的平均数相同，甲的方差比乙的方差要大，所以乙小组的成绩更稳定.(2)甲组同学成绩不低于70分的人有人，从中任意抽取3人，得分在的人数为人.，,的分布列如下：故.【一隅三反】1(2021安徽六安一中)2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了中华人民共和国民法典，自2021年1月1日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习中华人民共和国民法典并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩(单位：分)，绘制成如

17、图所示的茎叶图：根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：测试成绩(单位：分)等级合格中等良好优秀(1)从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2名同学来自同一个年级的概率；(2)现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记为抽到高二年级的人数，求的分布列，数学期望与方差.【答案】(1)；(2)分布列答案见解析，.【解析】(1)记事件为“从样本中任取2名同学的竞赛成绩为优秀”，事件为“这两个同学来自同一个年级”，则，.所以在成绩为优秀的情况下，这2个同学来自同一个年级的概率为.(2)由题意的可能取值为0，1，2，3.，.所以的分布列为：0123数学期望为：.2(2021广西柳

18、州)为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.(1)若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；(2)若从第一五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.【答案】(1)27；(2)分布列见解析，数学期望为【解析】(1)由题意知，共选出50名学生参加预赛，由频率分布直方图可得，成绩在

19、100,120内的人数为：人，所以该班成绩良好的人数为27人；(2)由题意，第一组有3人，第五组有4人，从这两组随机取两个成绩，所以，故X的分布列为：X012P所以.3(2021江苏赣榆高二期中)已知袋中装有5个白球，2个黑球，3个红球，现从中任取3个球.(1)求恰有一个白球的方法种数；(2)求至少有一个红球的方法种数；(3)设随机变量X为取出3球中黑球的个数，求X的概率分布及数学期望.【答案】(1)50；(2)85；(3)分布列见解析，.【解析】(1)从白球中取个，从黑球和红球中取个，取法数有种，所以恰有一个黑球的方法有50种.(2)总的取法数减去没有红球的取法数，即种，所以恰有一个黑球的方

20、法有85种.(3)由题意得，随机变量X的取值为0,1,2，.考点五 二项分布与超几何分布的综合【例5】(2021全国高二课时练习)袋中有6个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X，求X的分布列；(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列【答案】(1)分布列见解析(2)分布列见解析【解析】(1)由题意，每次抽取后都放回，取得黑球的次数的可能取值为，其中每次抽取到黑球的概率均为，所以2次取球可以看成2次的对立重复试验，则，可得，所以随机变量的分布列为：012 (2)若每次抽取后都不放回，取到黑球的个数的可能取值为，可得

21、，所以随机变量的分别列为：012 【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的(1)求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率(2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，求随机变量，的期望，和方差，并由此

22、分析由哪个班级代表学校参加大赛更好【答案】(1)(2)，甲班级代表学校参加大赛更好.【解析】(1)解：甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；(2)解：甲班级能正确回答题目人数为，则的可能取值为1，2，则，乙班级能正确回答题目人数为，则的可能取值为0，1，2所以，由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好2(2021全国高二单元测试)是指大气中直径小于或等于的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级；在之间空气质量为二级；在以上空气质量为污染.某市生态环境局从该市年上半年每天的监测数据中随机抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，

23、个位为叶).(1)从这天的数据中任取天，求这天空气质量达到一级的概率；(2)从这天的数据中任取天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列和数学期望；(3)以这天的的日均值来估计一年的空气质量情况(一年按天来计算)，则一年中大约有多少天的空气质量达到一级？【答案】(1)；(2)分布列见解析，数学期望为；(3).【解析】(1)记“从这天的数据中任取天，这天空气质量达到一级”为事件，则；(2)由题意，可知的可能取值有、，.所以的分布列为：P；(3)依题意，可知一年中每天空气质量达到一级的概率约为.设一年中空气质量达到一级的天数为，则，所以.所以一年中约有天的空气质量达到一级.3(2021

24、全国高二课时练习)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495，(495，500，(510，515由此得到样本的频率分布直方图如图(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列【答案】(1)12件；(2)答案见解析；(3)答案见解析.【解析】(1)质量超过505克的产品的频率为50.0550.010.3所以质量超过505克

25、的产品数量为400.312(件)(2)重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件P(X0)，P(X1)，P(X2)，X的分布列为X012P(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且YB，P(Yk)，所以P(Y0)，P(Y1)，P(Y2).Y的分布列为Y012P考点六 二项分布与超几何分布与其他知识综合【例6】(2021山东威海高二期末)某企业为检验某种设备生产的零件质量，现随机选取个零件进行检验，分出合格品和次品.设每

26、个零件是次品的概率为，且相互独立()若个零件中恰有2个次品的概率为，求的最大值点；()若合格品又分为一等品和二等品，每个零件是二等品的概率为是一等品概率的倍. 已知生产一个一等品可获利元，生产一个二等品可获利元，生产一个次品会亏损元，当每个零件平均获利低于元时，需对设备进行技术升级. 当满足什么条件时，企业需对该设备进行技术升级？【答案】()；().【解析】()设次品的个数为随机变量，由题意知， 所以， 当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时，取得最大值，即. ()设生产一个零件可获利元，由题意知，所以. 解得因为，所以.因此，当时企业需对该设备进行技术升级.【一隅三反】1(20

27、21辽宁大连二十四中高二期中)某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.(1)记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；(2)某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买

28、乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.求的通项公式；若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.【答案】(1)；(2) ；甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.【解析】(1)若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，玩偶，则有两种情况：其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，故；若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为， 故；(2)由题可知：，当时，则，即是以为首项，以为公比的等比数

29、列.所以，即；因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，所以，即购买甲系列的人数的期望为，所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.2(2021山东济宁一中 )由于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多.为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中心，老年人每天可以到该活动中心去活动，以增强体质，通过统计

30、每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了以下频率分布直方图.(1)从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人.若将频率视为概率，求至少有3人每周活动时间在8，9)(单位：)的概率；若抽取的5人中每周活动时间在8，11(单位：)的人数为2人，从5人中选出3人进行健康情况调查，记3人中每周活动时间在8，11(单位：h)的人数为，求的分布列和期望；(2)将某人的每周活动时间量与所有老人的每周平均活动时间量比较，当超出所有老人的每周平均活动量不少于0.74时，则称该老人为“活动爱好者”，从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到k人为“活动爱好者”的可能性最大，试求k的值.(每组数据以区间的中点值为

31、代表)【答案】(1)；分布列答案见解析，数学期望：；(2)2.【解析】(1)由图表的直方图可知，事件“到活动中心参加活动的老人任意选取1人，每周活动时间在8，9)内”概率为p=，记“至少有3人每周活动时间在8，9)(单位：h)”为事件A，则；随机变量所以可能的取值为0，1，2，则，的分布列如下：012P故；(2)老人的周活动时间的平均值为：6.50.06+7.50.35+8.50.40+9.50.15+10.50.04=8.26(h)，则老人中“活动爱好者”的活动时间为9，11，参加活动的老人中为“活动爱好者”的概率为P=0.19，若从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到X人为“活动爱好者”

32、，则XB(10，0.19)，若k人的可能性最大，则，由，即且，解得：1.09k2.09，由于，故k=2.3(2021江苏泰州模拟预测)现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为(1)求该组试验只需第一轮注射的概率(用含的多项式表示)；(2)记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】(1)平均每组人，设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，所以，所以该组试验只需第一轮注射的概率为(2)由(1)得，所以，设，则，又，所以，因为，所以，又，因为，所以，所以