2024中考数学第一轮专题复习： 四点共圆.pdf

1、 yang451989 1 四点共圆 判定方法 判定 1：若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。判定 2：若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆。判定 3：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。判定 4：若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。判定 5：同斜边的直角三角形的顶点共圆。判定 6：若 AB、CD 两线段相交于P 点，且 PAPB=PCPD，则 A、B、C、D 四点共圆（相交弦定理的逆定理）。yang451989 2 判定 7：若 AB、CD 两线段延长后相交于 P。且 PAPB=

2、PCPD，则 A、B、C、D 四点共圆（割线定理）。判定 8：若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆（托勒密定理的逆定理）。【学以致用】1.（1）已知 AB 是O的弦，且2AB=，点 C 是O上的点，45ACB=，则O的半径=_：（2）如图 1，在四边形 ABCD 中，90ABCADC=，对角线6AC=，60BCD=，求 BD 的长；（3）如图 2，ABC三个顶点坐标分别为()4,0A，()8,0B，()6,5C，M、N 分别是边AB，AC 上的动点，在变化过程中 MN 的长度始终等于 3，过点 M、N 分别作 MPAB，NPAC直线 MP 与 NP 交于点 P，连接

3、 PB，PC，求 PBC面积的最小值 yang451989 3 2.如图，等边三角形 ABE和矩形 ABCD 有共同的外接圆O，且30AB=.（1）求证：120CED=；（2）在劣弧 AB 上有动点 F，连接 DF、CF、BF，DF 分别交 AE、AB 于点 M、P，CF交 BE 于点 N 设 MNF与 CDF的周长分别为1C 和2C，试判断21CC的值是否发生变化，若 不变则求出该值；若变化请说明理由；若5 3PN=，求 BF 的长 3.如图 1，点 E，F 在正方形 ABCD 的边 AD，DC 上，且 AEDFkAD=，BE 与 AF 交于点 G （1）图 1 中与FAD相等的角是_；（2

4、）如图 2，当12k=时，连接 DG，求EGD的度数；过点 G 作 DG 的垂线分别交 AD，BC 于 M，N，求:EM MN 的值 yang451989 4 4.（1）问题发现 如图 1，ACB和 DCE均为等边三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE.线段 AD，BE 之间的数量关系为_；AEB的度数为_；（2）拓展探究 如图 2，ACB和 AED均为等腰直角三角形，90ACBAED=，点 B，D，E 在同一直线上，连接 CE，求 BDCE 的值及BEC的度数；（3）解决问题 如图 3，在正方形 ABCD 中，10CD=，若点 P 满足2PD=，且90BPD=，请直接写出点 C 到

5、直线 BP 的距离.5.（1）（问题发现）如图 1，ABC和 ADE均为等边三角形，点 B，D，E 在同一直线上填空：线段 BD，CE 之间的数量关系为_BEC=_（2）（类比探究）如图 2，ABC和 ADE均为等腰直角三角形，90ACBAED=，ACBC=，AEDE=，点 B，D，E 在同一直线上请判断线段 BD，CE 之间的数量关系及BEC的度数，并给出证明（3）（解决问题）如图 3，在 ABC中，90ACB=，30A=，5AB=，点 D 在 AB边上，DEAC于点 E，3AE=将 ADE绕点 A 旋转，当 DE 所在直线经过点 B 时，点 C 到直线 DE 的距离是多少？（要求画出示意图

6、并直接写出答案）yang451989 5 6.已知如图，在平面直角坐标系中，点(),0B m，(),0A n分别是轴上两点，且 m，n 满足()2310mn+=，点()0,Ph 是 y 轴正半轴上的动点.（1）求三角形 ABP的面积（用含 h 的代数式表示）；（2）过点 P 作 DPPB，CPPA，且 PDPB=，PCAP=.连接 AD，BC 相交于点 E，再连 PE，求BEP的度数；连 CD 与 y 轴相交于点 Q，当动点 P 在 y 轴正半轴上运动时，直接写出 PQ 的长度.7.（1）如图 1 所示，ABC和 DEC均为等腰直角三角形，且90BACCDE=，3ABAC=，1DECD=，连接

7、 AD、BE，求 ADBE 的值；（2）如图 2 所示，在 Rt ABC中，90ACB=，30B=，4BC=，过点 A 作 AMAB，点 P 是射线 AM 上一动点，连接 CP，做CQCP交线段 AB 于点 Q，连接 PQ，求 PQ的最小值 8.如图，菱形 ABCD 的边长为 1，60ABC=，点 E 是边 AB 上任意一点（端点除外），线段 CE 的垂直平分线交 BD，CE 分别于点 F，G，AE，EF 的中点分别为 M，N（1）求证：AFEF=；（2）求 MNNG+的最小值；yang451989 6 （3）当点 E 在 AB 上运动时，CEF的大小是否变化？为什么？9.如图，将一副斜边相等

8、的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中30CAB=，45DAB=，点 O 为斜边 AB 的中点，连接 CD 交 AB 于点 E（1）求证：A，B，C，D 四个点在以点 O 为圆心的同一个圆上；（2）求证：CD 平分ACB；（3）过点 D 作 DFBC交 AB 于点 F，求证：22BOOFEF BF+=yang451989 7 10.【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线【理解运用】（1）如图，对余四边形 ABCD 中，5AB=，6BC=，CD=4，连接 AC若 ACAB=，求sinCAD的值；（2）如图，凸四边形 ABCD 中，ADBD=，

9、ADBD，当2222CDCBCA+=时，判断四边形 ABCD 是否为对余四边形证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点()1,0A，()3,0B，()1,2C，四边形 ABCD 是对余四边形，点 E 在对余线 BD 上，且位于 ABC内部，90AECABC=+设 AEuBE=，点 D的纵坐标为 t，请直接写出 u 关于 t 的函数解析式 yang451989 8 11.在 ABC中，90BAC=，ABAC=，点 D 在边 BC 上，DEDA且 DEDA=，AE交边 BC 于点 F，连接 CE（1）特例发现：如图 1，当 ADAF=时，求证：BDCF=；推断：ACE=_；（2）探究

10、证明：如图 2，当 ADAF时，请探究ACE的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图 3，在（2）的条件下，当13EFAF=时，过点 D 作 AE 的垂线，交AE 于点 P，交 AC 于点 K，若163CK=，求 DF 的长 yang451989 9 12.在 ABC中，CACB=，ACB=点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一点连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP（1）观察猜想 如图 1，当60=时，BDCP 的值是_，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是_（2）类比探究 如图 2，当90=时，请写出 BDCP

11、的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数，并就图 2 的情形说明理由（3）解决问题 当90=时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点 C，P，D 在同一直线上时 ADCP 的值 yang451989 10 13.如图 1，在 ABC中，ACBC=，ACB=，D 为 ABC内一点，将 ACD绕点 C按逆时针方向旋转角 得到 BCE，点 A、D 的对应点分别为点 B、E，且 A、D、E 三点在同一直线上（1）若50=，求AEB的度数（2）若 BECD，求 的度数（3）如图 2，在 APB中，90APB=，10AB=，6BP=，点 C 到 A、

12、B 的距离相等，且90ACB=，请直接写出点 C 到 AP 的距离 14.如图，在矩形 ABCD 中，6AB=，8BC=，点 P 是 BC 边上一点，连接 AP 交对角线BD 于点 E，BPBE=，作线段 AP 的垂直平分线交 AP，BD 于点 F，G，交 AB，CD 于点 M，N（1）求证：AP EFBE EG=；（2）求 EF 的长；（3）连接 CF，求CFN的正切值 yang451989 11 15.（1）发现 如图，ABC和 ADE均为等边三角形，点 D 在 BC 边上，连接 CE 填空：DCE的度数是_；线段 CA、CE、CD 之间的数量关系是_.（2）探究 如图，ABC和 ADE均

13、为等腰直角三角形，90BACDAE=，点 D 在 BC 边上，连接 CE请判断DCE的度数及线段 CA、CE、CD 之间的数量关系，并说明理由.（3）应用 如图，在 Rt ABC中，90A=，4AC=，6AB=若点 D 满足 DBDC=，且90BDC=，请直接写出 DA 的长 yang451989 12 16.在平面直角坐标系中，过点()3,4A的抛物线24yaxbx=+与 x 轴交于点()1,0B，与 y 轴交于点 C，过点 A 作 ADx轴于点（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点，连接 PD 交 AB 于点 Q，连接AP，当2AQDAPQSS

14、=时，求点 P 的坐标；（3）如图 2，G 是线段 OC 上一个动点，连接 DG，过点 G 作GMDG交 AC 于点 M，过点 M 作射线 MN，使60NMG=，交射线 GD 于点 N，过点 G 作GHMN，垂足为点 H，连接 BH请直接写出线段 BH 的最小值 yang451989 13 17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点 D 到 x 轴的距离是 4，抛物线与 y 轴相交于点 C，与 x 轴相交于 A，B 两点，已知4AB=，点 A 的坐标为()1,0（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：BCD是直角三角形；（3）在 y 轴上是否存在异于点 C 的一点 E，使得 C，D，B，E

15、四点共圆？如果存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.18.已知正方形 ABCD 的边长为 2，作正方形 AEFG（A，E，F，G 四个顶点按逆时针方向排列），连接 BE，GD.（1）如图，当点 E 在正方形 ABCD 外时，线段 BE 与线段 DG 有何关系？直接写出结论；（2）如图，当点 E 在线段 BD 的延长线上，射线 BA 与线段 DG 交于点 M，且2DGDM=时，求边 AG 的长；（3）如图，当点在正方形 ABCD 的边 CD 所在的直线上，直线 AB 与直线 DG 交于点 M，且4DGDM=时，直接写出边 AG 的长 yang451989 14 19.在学习圆这一单元时

16、，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：已知：ABC是等边三角形，点 D 是 ABC内一点，连接 CD，将线段 CD 绕 C 逆时针旋转60得到线段 CE，连接 BE，DE，AD，并延长 AD 交 BE 于点 F当点 D 在如图所示的位置时：（1）观察填空：与 ACD全等的三角形是_；AFB的度数为_；（2）利用题干中的结论，证明：C，D，F，E 四点共圆；（3）直接写出线段

17、 FD，FE，FC 之间的数量关系_ yang451989 15 20.如图一，在射线 DE 的一侧以 AD 为一条边作矩形 ABCD，5 3AD=，5CD=，点 M是线段 AC 上一动点（不与点 A 重合），连结 BM，过点 M 作 BM 的垂线交射线 DE 于点 N，连接 BN（1）求CAD的大小；（2）问题探究：动点 M 在运动的过程中；是否能使 AMN为等腰三角形，如果能，求出线段 MC 的长度；如果不能，请说明理由 MBN的大小是否改变？若不改变，请求出MBN的大小；若改变，请说明理由（3）问题解决：如图二，当动点 M 运动到 AC 的中点时，AM 与 BN 的交点为 F，MN 的中点为 H，求线段 FH 的长度