2024春新教材高中数学 5.4 三角函数的图象和性质复习课教学设计 新人教A版必修第一册.docx

1、5.4三角函数的图象和性质（复习课）一、教学目标1.能画出三角函数的图象；2.了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性、最大(小)值、对称性；3.理解研究三角函数图象与性质的一般思想和方法；4.培养数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等素养.二、教学重难点1.重点：正弦、余弦、正切函数图象及其主要性质（周期性、奇偶性、单调性、最值或值域、对称性）；研究函数图象与性质的一般思路和方法2.难点：复合函数的图象及其性质；根据函数的性质求参数问题三、教学过程1.知识梳理1.1用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图（1）在正弦函数的图象中，五个关键点是：，（2）在余弦函数的图象中，五个关键点是：，1.2正

2、弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间递减区间最大值最小值对称中心对称轴方程【周期结论】1正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻两个对称中心的距离也是半个周期2为常数，：（1）或周期为；（2）周期为2.探究典例例1.求下列函数的定义域：（1）； （2）；（3）；（4）思考：将（4）换成、，定义域又是多少？【预设答案】（1）由题意知，函数的定义域为.（2）要使函数有意义，必须使.在同一坐标系中画出上和的图象，如图所示：在内，满足时或，结合正弦、余弦函数的周期是，所以原函数的定义域为.（3）函数的解析式为，所以原函数的定义域

3、为且.（4）由题意得，又由前面的知识可知将函数在轴下方的图象翻折到轴上方，并去掉轴原下方图象保留原上方图象，就得到了函数的图象，的图象如下图所示：周期是，在内，时或，所以函数的定义域为.【设计意图】求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），通常是借助三角函数图象来求解.【思考题预设答案】对于，得，结合的图象：周期是，在内，时或，所以原函数的定义域为.对于，得，结合的图象：周期是，在内，时或，所以定义域为或.【设计意图】帮助学生复习翻折变化下三角函数的图象和性质.对于函数仍是周期函数，而函数、不是周期函数，他们的图象如下图所示：例2.已知求下列函数的值域：（1）；（2）【预设答案】（1

4、）根据余弦函数图象知当时，单调递增，当时单调递减，所以当时，当时，所以原函数值域为（2）函数的解析式为，由（1）得，所以当时，当时，所以原函数值域为【设计意图】本题涉及的三角函数求值域的方法有利用、的图象性质直接求解；通过换元，转换为二次函数的形式求值域.例3.比较下列各数的大小：（1），；（2），.【预设答案】（1）由，且，结合正弦函数图象知；（2）由前面三角函数的几何意义可得当时，所以，又，因此.【设计意图】利用三角函数单调性比较大小；并总结三个三角函数图象在同一坐标系中的关系如下图所示：例4.对于函数回答下列问题：（1）采用“五点法”如何作出的图象？（2）求解的最值、单调区间、对称轴方程

5、、对称中心；并判断函数的奇偶性【预设答案】（1）由函数的周期性可知仍是周期函数，令，由“五点法”令、，得到下表：得到的大致图象：（2）法一：由（1）中图象可知，当时，当时，;单调递增区间为,单调递减区间为；函数对称轴方程为；对称中心坐标为;图象不关于原点对称，也不关于轴对称，是非奇非偶函数.法二：令，当，即时，当，即时，；当，即，即时，单调递增；当，即，即时，单调递减，因此函数单调递增区间为,单调递减区间为；函数对称轴方程为，即；令，得，所以函数对称中心坐标为；【设计意图】图象是函数的直观表示，也是函数性质的集中体现.学生掌握如何作图能帮助其有效解题.五点法作图时应该选取怎样的五个点是关键：抓

6、住一个周期内的最高（低）点、图象与平衡位置的交点就能反映图象的走势.复合函数的最值、单调区间、对称轴、对称中心有两种方法：利用复合函数图象求解；通过换元法整体代换，将看作一个整体，转化为利用三角函数的性质求解，选用哪种方法应根据实际情况灵活运用.对于、处理方法也一样.另外本题设置函数，也为后面学习函数图象的平移和伸缩变化做好铺垫变式1：求函数的单调递减区间.【预设答案】法一：令，得，得，所以原函数单调递减区间为.法二：，令，得，得，所以原函数单调递减区间为.【设计意图】利用复合函数单调性的“同增异减”原则求函数的单调性.令，将函数转化为，若和都单调递增或都单调递减，则原函数单调递增；若和一增一

7、减，则原函数单调递减.变式2：求函数在区间上的单调递减区间.【预设答案】令，得，原函数单调递减，又，所以当或时原函数区间上的单调递减区间和.【设计意图】函数在定区间上求单调递减（增）区间，可以求出原函数在上的所有单调减（增）区间，再与定区间求交集.变式3：求函数在区间上的最值.【预设答案】令，原函数转化为，又，所以，又根据图象可知，当，单调递减；当，单调递增，所以当，即时，；当，即时，.【设计意图】复合函数在定区间上求最值问题，分三个步骤：第一步，令，将函数转化为，第二步，根据的范围求出的范围，第三步，根据的图象单调性得出的最值.变式4：求函数零点的个数.【预设答案】函数零点的个数等价为函数与

8、函数交点的个数.当时，而，做出函数与函数的大致图象： 图象交点个数为5个，因此函数零点有5个.【设计意图】函数零点个数等价转化为两个函数图象交点的个数，帮助学生利用数形结合思想解决三角函数中的零点问题.变式5：已知函数的图象关于轴对称，且，求的值.【预设答案】由函数的图象关于轴对称可知是函数的对称轴，所以，又，因此.【设计意图】函数为偶函数的充要条件是，为奇函数的充要条件是；函数为偶函数的充要条件是；为奇函数的充要条件是变式6：已知函数在区间上单调递增，求的取值范围.【预设答案】由题意，得，再令，原函数转化为在单调递增，所以，即，得，得，因此.【设计意图】已知函数的单调性求参数的取值范围.变式

9、7：已知函数在区间上有最大值无最小值，求的取值范围.【预设答案】由题意，得，再令，原函数转化为在上有最大值无最小值，所以，所以，得或，因此或.【设计意图】已知函数的最值求参数的取值范围.变式8：已知函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围.【预设答案】由题意，得，再令，原函数转化为在上恰有一个零点，所以，得，得或或，因此或或.【设计意图】已知函数的零点求参数的取值范围.3.归纳小结思考：本节课我们回顾了哪些知识？用到了那些研究方法和数学思想？【预设答案】知识：三角函数是刻画周期的现象的的重要模型，图象是周期现象的直观体现，性质是周期变化的规律的代数表现.我们通过图象直观了解三角函数的性质,包括定

10、义域、值域、周期性、单调性、最值、对称性、零点等；思想方法：划归与转化、模型思想、数形结合等；【设计意图】（1）让学生学会自主梳理本节课的学习内容、解题方法、数学思想；（2）鼓励学生不怕困难，积极攀登知识高峰.四、课外作业（1）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为.（2）若函数在区间的最大值为，求的最小值.（3）已知函数，且在区间上有最小值，无最大值，则.（4）函数的所有零点之和为.（5）关于函数有下述四个结论：是偶数；在区间内单调递增；在上有个零点；的最大值为.其中所有正确结论的编号是.【预设答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【设计意图】（1）利用正弦余弦三角函数图象及其性质求最值有如下结论：在对称轴处函数取最值；两个相邻的最值点的横坐标之间的距离为半个周期；若，则为函数的对称轴.而复合函数求最值（值域），则利用换元的方法转化为三角函数求解.（2）函数的零点转化为两个函数图象的交点问题，利用函数的对称性可以迎刃而解.（3）带绝对值符号的函数，解题原则是去绝对值符号，变成分段函数的结构分类讨论.