21.2 期中期末专项复习之一元二次方程十六大必考点（举一反三）（沪科版）（学生版）.docx

1、专题21.2 一元二次方程十六大考点【沪科版】【考点1 一元二次方程的概念】1【考点2 一元二次方程的一般形式】2【考点3 根据一元二次方程的解求值】2【考点4 一元二次方程的解的估算】2【考点5 一元二次方程的常见解法】3【考点6 配方法的应用】4【考点7 根据判别式判断一元二次方程根的情况】5【考点8 根据一元二次方程根的情况求参数】5【考点9 换元法解一元二次方程】6【考点10 根与系数关系的综合】7【考点11 一元二次方程中的规律探究】8【考点12 一元二次方程中的新定义问题】10【考点13 一元二次方程中的阅读理解类问题】11【考点14 一元二次方程的实际应用】12【考点15 一元二

2、次方程中的动点问题】13【考点16 一元二次方程与几何综合】15【考点1 一元二次方程的概念】【例1】（2022秋江西吉安八年级统考期末）下列方程中，一元二次方程共有（）个x22x10；ax2bxc0；2x2+3x-5=0；x20；（x1）2y22；（x1）（x3）x2A1B2C3D4【变式1-1】（2022秋山西晋城八年级统考期末）若关于x的方程（m1）x2+mx10是一元二次方程，则m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1Dm0【变式1-2】（2022秋湖南长沙八年级统考期末）若关于x的方程m-2xm2-2+4x-7=0是一元二次方程，则m的值为（）Am2Bm=2Cm=-2Dm=2【变式1-3

3、】（2022秋全国八年级期中）两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，其中a，b，c是常数，且a+c=0如果x=2是方程ax2+bx+c=0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a=0的根的是（）A12B-12C2D-2【考点2 一元二次方程的一般形式】【例2】（2022秋山东潍坊八年级统考期中）关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项是0，则m的值()A1B1或2C2D1【变式2-1】（2022秋西藏拉萨八年级校考期中）方程x22x30的二次项系数是_；一次项是_；常数项是_【变式2-2】（2022秋天津西青八年级校考期中）

4、将一元二次方程xx-1=-1化成ax2+bx+c=0a0的形式则a+b+c=_【变式2-3】（2022秋河南驻马店八年级校考期中）若关于x的一元二次方程2x2+(2k+1)x-(4k-1)=0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则k=_【考点3 根据一元二次方程的解求值】【例3】（2022秋福建泉州八年级校联考期末）已知实数a是一元二次方程x2+x80的根，则a4+a3+8a1的值为（）A62B63C64D65【变式3-1】（2022春浙江金华八年级统考期末）已知关于x的方程x2+5x-6=0的解是x1=1,x2=-6，则方程x+12+5x+1=6的解是_【变式3-2】（2022秋湖南岳

5、阳八年级统考期末）已知a是方程x2-2021x+1=0的一个根，则a3-2021a2-2021a2+1=_【变式3-3】（2022秋北京大兴八年级统考期末）已知m是方程x2+3x-5=0的一个根，求代数式m+12+mm+4的值【考点4 一元二次方程的解的估算】【例4】（2022秋辽宁沈阳八年级统考期末）观察下表，估计一元二次方程x2+2x-4=0的正数解在（）x-101234x2+2x-4-5-4-141120A-1和0之间B0和1之间C1和2之间D2和3之间【变式4-1】（2022秋重庆潼南八年级统考期末）对于方程37(x-2)2=42的两根，下列判断正确的是（）A一根小于1，另一根大于3B

6、一根小于-2，另一根大于2C两根都小于0D两根都大于2【变式4-2】（2022春山东烟台八年级统考期末）观察表格中数据，一元二次方程x2-3x-4.6=0的一个近似解为（）x-1.13-1.12-1.11-1.10-1.09-1.08-1.07x2-3x4.674.614.564.514.464.414.35A-1.073B-1.089C-1.117D-1.123【变式4-3】（2022秋福建漳州八年级校联考期中）根据表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=2的一个解x的范围是_【考点5 一元二次方程的常见解法】【例5】（2022秋辽宁沈阳八年级统考期中）解下列方程：(1)(x-3)2+

7、2x(x-3)=0；(2)(x-3)(x-5)=25【变式5-1】（2022秋河南漯河八年级统考期中）用适当的方法解下列方程(1)xx-2+x-2=0(2)2xx-2=x+2x-2【变式5-2】（2022秋河南南阳八年级统考期中）按要求解下列方程(1)x2+4x+2=0（配方法）(2)2x2-4x=-1（用公式法解）(3)3x2+2x-1=0【变式5-3】（2022秋云南昭通八年级校考期末）解下列关于x的方程(1)x-12-3=0；(2)3x2-6x-2=0【考点6 配方法的应用】【例6】（2022秋湖北武汉八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a，b，c满足a2+6b=7，b2-2c=-1，

8、c2-2a=-17，则a-b+c的值为（）A-1B5C6D-7【变式6-1】（2022重庆合川八年级重庆市合川中学校考期末）关于x，y的二次三项式x2+mxy-4x,y2+mxy-4y（m为常数），下列结论正确的有（）当m=1时，若x2+mxy-4x=0，则x+y=4无论x取任何实数，等式x2+mxy-4x=3x都恒成立，则x+my=7若x2+xy-4x=5,y2+xy-4y=7，则x+y=6满足x2+xy-4x+y2-xy-4y0的正整数解(x,y)共有25个A1个B2个C3个D4个【变式6-2】（2022秋江苏扬州八年级统考期中）新定义，若关于x的一元二次方程：m(x-a)2+b=0与n(

9、x-a)2+b=0，称为“同类方程”如2(x-1)2+3=0与6(x-1)2+3=0是“同类方程”现有关于x的一元二次方程：2(x-1)2+1=0与(a+6)x2-(b+8)x+6=0是“同类方程”那么代数式ax2+bx+2022能取的最大值是_【变式6-3】（2022秋四川达州八年级校联考期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，理由：因为

10、5=12+22，所以5是“完美数”解决问题：(1)已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式；(2)若x2-4x+5可配方成x-m2+n（m，n为常数），求mn的值；(3)已知S=x2+4y2+4x-12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值【考点7 根据判别式判断一元二次方程根的情况】【例7】（2022春湖南长沙八年级校考期末）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，有下列说法：若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0(a0)必有一个根为1；若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0(a0)必有两个不相等的实根

11、；若c是方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根，则一定有ac+b+1=0成立其中正确的有（）A0个B1个C2个D3个【变式7-1】（2022秋上海奉贤八年级校考期末）已知关于x的方程x2+2x-a+1=0没有实数根，试判断关于x的方程x2+ax+a=0的根的情况.【变式7-2】（2022秋重庆开州八年级统考期中）使得关于x的不等式组6x-a-10-1+12xkbB若kakb，则0a1C若1a1，则kakbD若ka是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根，设s1=+，s2=2+2，sn=n+n根据根的定义，有2-1=0，2-1=0，将两式相加，得2+2-+-2=0，于是，得s2-s1-2=0

12、根据以上信息，解答下列问题：直接写出s1，s2的值经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n3时，请猜想sn，sn-1，sn-2之间满足的数量关系，并给出证明【考点11 一元二次方程中的规律探究】【例11】（2022秋安徽宿州八年级统考期中）观察下列一组方程：x2-x=0；x2-3x+2=0；x2-5x+6=0；x2-7x+12=0；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”，若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”，则k的值为_【变式11-1】（2022秋四川凉山八年级校考阶段练习）设一元二次方程x2-2022x+1=0的两根分别为a

13、，b，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab=1，记S1=11+a+11+b,S2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+S100=_【变式11-2】（2022春山东青岛八年级统考期中）将一些棋子按如图所示的规律摆放：第1个图有6个棋子，第2个图有10个棋子，第3个图有16个棋子，按此规律依次递增(1)第5个图中有_个棋子；(2)第n个图中有_个棋子；(3)如果第n个图中有114个棋子，应用方程求出n的值；(4)第n个图中的棋子个数能是1004个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明理由

14、【变式11-3】（2022秋山东青岛八年级统考期末）方法介绍：同学们，生活中的很多实际问题，我们往往抽象成数学问题，然后通过数形结合建立数学模型的方式来解决.例如：学校举办足球赛，共有五个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，问该学校一共要安排多少场比赛？这是一个实际问题，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），如图所示，其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数.这样模型就建立起来了，如何解决这个模型呢？由于每个队都要与其他各队比赛一场，即每个点都要与另外4点连接一条线段，这样5个点应该有54=20条

15、线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以学校一共要安排10场比赛.学以致用：（1）根据图回答：如果有6个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排 场比赛；（2）根据规律，如果有n个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排 场比赛.问题解决：（1）小明今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复握手）.小明发现所有人握手次数总和为91次，那么合唱队有多少人？（2）A、B、C、D、E、F六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好，每两人之间不重复握手，如图，已知A已经握了5次，B已经握了4次，C已经握了3次，D已经握了2次，E已经握了1次，

16、请利用图分析F已经和哪些人握手了.问题拓展：根据上述模型的建立和问题的解决，请你提出一个问题，并进行解答.【考点12 一元二次方程中的新定义问题】【例12】（2022秋山东临沂八年级统考期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx-c=0（a0）满足a-b-c0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程已知ax2+bx-c=0（a0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）AacBabCa+c=0Dabc【变式12-1】（2022秋江苏八年级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”（1）请根据上述结论解决

17、问题：方程2x2-3x+1=0；方程x2-2x-8=0；方程x2+x=-29这几个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；（2）一般规律探究：我们知道，若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则有x1+x2=-ba，x1x2=ca，请你根据以上关系探究：若一元二次方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，则a，b，c满足什么数量关系？（3）若(x-1)(mx-n)=0是倍根方程，求2nm的值【变式12-2】（2022秋江苏盐城八年级校联考期中）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根为x1，x2(x1x2)，则把分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到的点P

18、(x1，x2)称为该一元二次方程的“友好点”(1)若方程为x2-3x+2=0，则该方程的“友好点”P的坐标为_(2)若关于x的一元二次方程x2-(5m+1)x+5m=0的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值(3)是否存在b，c，使得不论k(k0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的“友好点”P始终在函数y=kx+2k+3的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由【变式12-3】（2022秋江苏南京八年级统考期中）定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根，若满足x1-x2=x1x2，则称此类方程为“差积方程”

19、例如：x-12x-1=0是差积方程(1)下列方程是“差积方程”的是_；6x2-5x+1=0x2-4x=03x2+8x+4=0(2)若方程x2-(m+2)x+2m=0是“差积方程”，求m的值；(3)当方程ax2+bx+c=0(a0)为“差积方程”时，请直接写出a、b、c满足的数量关系【考点13 一元二次方程中的阅读理解类问题】【例13】（2022秋山西忻州八年级期末）阅读材料并回答问题：(1)方程x2+2x+1=0的根为x1=-1，x2=-1，x1+x2=-2，x1x2=1方程3x2+4x-7=0的根为x1=1，x2=-73，x1+x2=-43，x1x2=-73程ax2+bx+c=0(b2-4a

20、c0)的根为x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a，x1+x2=_，x1x2=_(2)从（1）中你一定发现了一定的规律，这个规律是_(3)用你发现的规律解答下列问题：不解方程，直接计算：方程x2-2x-1=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2=_，x1x2=_；方程x2-3x+1=0的两根分别是x1、x2，则x12+x22=_已知一元二次方程x2-3x-3a=0的一个根为6，求a及方程的另一个根【变式13-1】（2022秋四川宜宾八年级统考期中）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca材

21、料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值解：一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m，n，m+n=1，mn=-1，则m2n+mn2=mn(m+n)=-11=-1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=x1x2=(2)类比应用：已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n，求nm+mn的值(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2-3s-1=0，2t2-3t-1=0，且st，求1s-1t的值【变式13-2】（2022秋河北保定八年级统考期中）阅读材

22、料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式求解二元一次方程组；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解求解分式方程，把它转化为整式方程来解，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为xx2+x-2=0，解方程x=0和x2+2x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解(1)问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0，x2= ，x3= ；(2)拓展：用“转化”思想求方程2x+3=x的解【变

23、式13-3】（2022秋四川资阳八年级统考期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a0的两个实数根，若x1x20，且3x1x24，则称这个方程为“限根方程”如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=-10，x2=-3，因-10-30，3-10-34，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；(2)若关于x的一元二次方程2x2+k+7x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2=-1，求k的值；(3)若关于x的一元二次

24、方程x2+1-mx-m=0是“限根方程”，求m的取值范围【考点14 一元二次方程的实际应用】【例14】（2022秋云南八年级云大附中校考期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同请解决下列问题(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又

25、要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？【变式14-1】（2022秋重庆江北八年级校考期末）2022年卡塔尔世界杯吉祥物laeeb，中文名是拉伊卜，代表着技艺高超的球员随着世界杯的火热进行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，大拉伊卜售价是小拉伊卜售价的2倍且1200元购买小拉伊卜玩偶的数量比购买大拉伊卜玩偶的数量多10个(1)求小、大拉伊卜玩偶售价分别为多少元？(2)世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶400个，大拉伊卜玩偶300个，世界杯开赛第二周，该经销商决定降价出售两种拉伊卜玩偶已知：两种拉伊卜玩偶都降价a元，小拉伊卜玩偶售出数量较

26、世界杯开赛第一周多了10a个：大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销售额为58000元，求a的值【变式14-2】（2022秋湖南永州八年级统考期末）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行

27、时间将增加110m小时，求m的值【变式14-3】（2022春浙江八年级期末）如图，一轮船以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以20km/h的速度由南向北移动已知距台风中200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区当轮船接到台风警报时，测得BC=500km,BA=300km问题：（1）根据题意AC=_，若设经过的时间为t小时，则台风中心与A点的距离是_，轮船与A的距离是_，台风中心与轮船之间的距离是_；（用t表示）（2）若不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？若轮船进入台风影响区，那么受台风影响的时间为多少小时？（保留根号）【考点15 一元二次方程中的动点问题】【例

28、15】（2022四川自贡八年级校考期末）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB16cm，AD8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动当P、Q两点从出发开始到_秒时，点P和点Q的距离是10cm【变式15-1】（2022秋新疆乌鲁木齐八年级校考期中）如图，射线AC与射线CB垂直，C为垂足，且AC=6cm，点P从点A开始沿射线AC方向以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿射线CB方向以1cm/s的速度移动如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得PQC的面积是4

29、cm2，若存在，求t的值；若不存在，说明理由【变式15-2】（2022秋江西宜春八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）(1)BP=_cm，CQ=_cm（用含x的式子表示）；(2)若PQ=42cm时，求x的值；(3)当x为何值时，DPQ将成为以DP为斜边的直角三角形【变式15-3】（2022春浙江八年级期末）如图，在RtABC中，B=90，AB=6cm，BC=8cm点P从点A出发，沿AB向点B以1cm/s的

30、速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC向点C以2cms的速度移动(1)经过多少秒后，PBQ的面积为8cm2？(2)线段PQ能否将ABC分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由(3)若点P从点A出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线CB方向以2cms的速度移动，经过多少秒后PBQ的面积为1cm2？【考点16 一元二次方程与几何综合】【例16】（2022秋广东江门八年级校考期中）代数学中记载，形如x2+10x=39的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为52x的矩形，得到阴影部分面积

31、x2+452x=x2+10x=39，大正方形的面积为4522+39=64，则大正方形的边长为8，x=8-252=3，所以方程x2+10x=39的正数解为x=3”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x+m=0，构造图所示的图形，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为_【变式16-1】（2022秋四川成都八年级四川省成都市七中育才学校校考期中）如图，四边形OABC是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O与坐标原点重合，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为3,4，D的坐标为2,4，现将纸片沿过D点的直线折叠，使顶点C落在线段AB上的点F处，折痕与y轴的交点记为E(1)求

32、点F的坐标和FDB的大小；(2)在x轴正半轴上是否存在点Q，满足SQDE=SCDE，若存在，求出Q点坐标，若不存在请说明理由；(3)点P在直线DE上，且PEF为等腰三角形，请直接写出点P的坐标【变式16-2】（2022秋广东深圳八年级深圳市东升学校校考期末）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题（1）如图1，四边形ABCD中，A90，AB1，CD2，BCDDBC，判断四边形ABCD是不是“等邻边四边形”，并说明理由；（2）如图2，RtABC中，ABC90，AB2，BC1，现将RtABC沿ABC的平分线BB方向平移得到ABC，连结AA，BC，若平移后的四边形ABCA是“等邻边四边形”，求BB的长【变式16-3】（2022春浙江八年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上OAB=90且OA=AB，OB，OC的长分别是一元二次方程x2-11x+30=0的两个根（OBOC）（1）求点A和点B的坐标（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m已知t=4时，直线l恰好过点C当0t3时，求m关于t的函数关系式（3）当m=3.5时，请直接写出点P的坐标