24.4相似三角形的判定（解析版）【沪教版】.docx

1、2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题24.4相似三角形的判定姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2020秋长宁区期末）下列命题中，说法正确的是（）A四条边对应成比例的两个四边形相似B四个内角对应相等的两个四边形相似C两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似

2、【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答【解析】A、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；B、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；故选：D2（2020秋郫都区校级期中）在下列条件中，不能判断ABC与DEF相似的是（）AAD，BEBBCEF=ACDF且BECABDE=BCEF=ACDFDABDE=ACDF且AD【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案【解析】A、AD，BE，可以得出ABCDFE，故

3、此选项不合题意；B、BCEF=ACDF，且BE，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C、ABDE=BCEF=ACDF，可以得出ABCDFE，故此选项不合题意；D、ABDE=ACDF且AD，可以得出ABCDFE，故此选项不合题意；故选：B3（2020浦东新区三模）如图，已知ABC与BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与BFD相似的三角形是（）ABFEBBDCCBDADAFD【分析】根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论【解析】ABC与BDE都是等边三角形，ABDF60，ABDDBF，BFDBDA，与BFD相似的三角形是BDA

4、，故选：C4（2019秋闵行区期末）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且ADAC=13，AEBE，那么有（）AAEDBEDBBADBCDCAEDABDDAEDCBD【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定AEDCBD【解析】AD：AC1：3，AD：DC1：2；ABC是正三角形，ABBCAC；AEBE，AE：BCAE：AB1：2AD：DCAE：BC；AC60，AEDCBD；故选：D5（2019秋松江区期末）下列两个三角形不一定相似的是（）A两条直角边的比都是2：3的两个直角三角形B腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形C有一个内角为50的两个直角三角形D有一

5、个内角是50的两个等腰三角形【分析】根据直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定方法分别判断得出答案【解析】A、两条直角边之比为2：3的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；B、两个等腰三角形的腰与底边对应成比例，则这两个等腰三角形必相似，故此选项不合题意；C、有一个内角为50的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；D、有一个内角是50的两个等腰三角形，因为50是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意故选：D6（2019秋闵行区校级月考）下列条件中，不能判定ABC和DEF相似的是（）AAD70，B60，E50BAD70，C50，E50

6、CAD70，AB12cm，AC15cm，ED16cm，DF20cmDAD70，AB12cm，AC15cm，ED16cm，EF20cm【分析】由相似三角形的判定依次判断，可求解【解析】A、A70，B60，C50，AD，CE，ABC和DEF相似故选项A不合题意；B、AD70，CE50，ABC和DEF相似故选项B不合题意；C、ABDE=34=ACDF，且AD70，ABC和DEF相似故选项C不合题意；D、ABDE=34=ACDF，但A与E不一定相等，ABC和DEF不一定相似故选项D符合题意；故选：D7（2020涡阳县模拟）如图，点D、E分别在ABC的边AB、AC上，且DE与BC不平行下列条件中，能判定

7、ADE与ACB相似的是（）AADAC=AEABBADAE=ABACCDEBC=AEABDDEBC=ADAC【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解【解析】在ADE与ACB中，ADAC=AEAB，且AA，ADEACB故选：A8如图，在ABC与ADE中，BACD，要使ABC与ADE相似，还需满足下列条件中的（）AACAD=ABAEBACAD=BCDECACAD=ABDEDACAD=BCAE【分析】本题中已知BACD，则对应的夹边比值相等即可使ABC与ADE相似，结合各选项即可得问题答案【解析】BACD，ACAD=ABDE，ABCDEA故选：C9（2020秋崇川区校级月考）如图，

8、ABC中，D、E两点分别在BC、AC上，且AD平分BAC，若ABEC，BE与AD相交于点F则图中相似三角形的对数是（）A1B2C3D4【分析】利用“两角法”判定三组三角形相似【解析】在ABE与ACB中，ABEC，BAECAB，则ABEACB；AD平分BAC，1212，ABFC，ABFACD；ABEACB，BEAABD，又12，AEFABD，综合知，共有3对相似三角形，故选：C10（2020秋杨浦区期中）如图，在正方形ABCD中，点E为边AD上的一个动点（与点A、D不重合），EBM45，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交边CD于点M，那么下列结论中，错误的是（）AAEFCBFBC

9、MGBFGCABGCFBDABFCBG【分析】由正方形的性质可得ABCD，ADBC，DCAACBDACCABEBM45，可以证明AEFCBF，CMGBFG，BCFGAB，即可求解【解析】四边形ABCD是正方形，ABCD，ADBC，DCAACBDACCABEBM45，AEFCBF，故选项A不合题意；EBMDCA，MGCBGF，CMGBFG，故选项B不合题意；CMGCFB，CDAB，CMGABG，CFBABG，又CABBCF45，BCFGAB，故选项C不合题意；CABACBFBG45，ABF+CBG45，ABFCBG，ABF与CBG不相似，故选项D符合题意；故选：D二、填空题（本大题共8小题，每小

10、题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11（2020秋嘉定区期末）如图，点D在ABC的AB边上，当ADAC=ACAB时，ACD与ABC相似【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论【解析】AA，当ADAC=ACAB时，ACD与ABC相似，故答案为：ACAB12（2020秋宝山区期中）如图，ABC中，点D在BC边上，如果要判定ACDBCA，那么需要增加的一个条件可以是DACABC或ADCBAC或ACDC=BCAC【分析】根据相似三角形的判定定理，从图中可知C为公共角，那么再找一个对应角相等或对应边成比例的条件即可【解析】从图中可知C为公共角，如果再加上DACABC或ADCBAC或ACDC

11、=BCAC都可判定ADEABC，故答案为：DACABC或ADCBAC或ACDC=BCAC13（2020秋徐汇区校级期中）如图，在ABC中，AB6cm，AC8cm，D是AB上一点且AD2cm，点E在边AC上，当AE83或1.5cm时，使得ADE与ABC相似【分析】分两种情形利用相似三角形的性质求解即可【解析】有两种情形：如图，当DEBC时，ADEABC，ADAB=AEAC，26=AE8，AE=83（cm），当ADEC时，AA，ADEACB，ADAC=AEAB，28=AE6，AE1.5（cm），故答案为83或1.514（2020秋新吴区期中）ABC中，AB10，AC6，点D在AC上，且AD3，若要

12、在AB上找一个点E，使ADE与ABC相似，则AE5或95【分析】分两种情况讨论，由A是公共角，当AEAB=ADAC，即AE10=36时，ADEACB，当AEAC=ADAB，即AE6=310时，ADEABC，可求AE的值【解析】A是公共角，当AEAB=ADAC，即AE10=36时，ADEACB解得：AE5当AEAC=ADAB，即AE6=310时，ADEABC解得：AE=95故答案为：5或9515（2019秋普陀区期末）如图，在ABC与AED中，ABAE=BCED，要使ABC与AED相似，还需添加一个条件，这个条件可以是EB（答案不唯一）（只需填一个条件）【分析】根据两边及其夹角法：两组对应边的比

13、相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得添加条件：BE【解析】添加条件：BE；ABAE=BCED，BE，ABCAED，故答案为：BE（答案不唯一）16（2019秋浦东新区期中）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AD2，AB5，BC10，点E是边BC上的一个动点（不与B，C重合），作AEFAEB，使边EF交边CD于点F，（不与C，D重合），线段BE4+3或8时，ABE与CEF相似【分析】分类讨论，当AEBFEC时，根据正切函数，可得ME的长，根据线段的和差，可得答案，当AEBEFC时，根据等腰三角形的性质，可得BM与ME的关系，根据线段的和差，可得答案【解析】如图：过A作AMBC，过D作DNB

14、C，等腰梯形ABCD，AMBC，DNBC，BC10，ADMN2； BMCN=12（102）4；ABDC5，AM=52-42=3，ABE与CEF相似有两种情况，如图：当AEBFEC时，AEFAEB，AEFAEBFEC60，AM3，BM4，MEAMtan60333=3，BEBM+ME4+3，当AEBEFC时，AEFAEB，AEFEFC，AEDC，AEBCB，ABE是等腰三角形，如图，过A 作AMBC，BMME（等腰三角形三线合一性质）BM4，BE2BM8，综上，当BE的长为4+3或8，ABECEF时故答案为：4+3或817（2019秋长宁区校级月考）已知，在ABC中，点D在边AB上，AD2，AB6

15、，AC6，在AC上找一点E，使以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE2【分析】若A，D，E为顶点的三角形与ABC相似时，则AEAD=ABAC或ADAE=ABAC，分情况进行讨论后即可求出AE的长度【解析】当AEAD=ABAC时，AA，AEDABC，此时AE=ABADAC=626=2；当ADAE=ABAC时，AA，ADEABC，此时AE=ACADAB=626=2；故答案为：218（2019秋虹口区校级月考）如图，正方形ABCD中，AB4，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN2，若ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM455或255【分析】根据勾股定理求出A

16、E，分ABEMDN和ABENDM两种情况，根据相似三角形的性质计算即可【解析】正方形ABCD中，AB4，E为BC中点，BE2，由勾股定理得，AE=AB2+BE2=25，当ABEMDN时，ABDM=AEMN，即4DM=252，解得，DM=455，同理，当ABENDM时，DM=255，DM为455或255，故答案是：455或255三、解答题（本大题共6小题，共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2019秋浦东新区校级月考）如图，BD、CE为ABC的高，求证：AEDACB【分析】由条件可证明ADBAEC，则可得到AEAD=ACAB，且EADCAB，即可证明AEDACB【解答】证明：

17、BDAC，CEAB，AECADB90，且EACBAD，ADBAEC，AEAD=ACAB，即AEAC=ADAB又EADCAB，AEDACB20（2019秋浦东新区校级月考）如图，ABBD，CDBD，AB3，CD8，BD10，一动点P从点B向右D运动，问当点P离点B多远时，PAB与PCD是相似三角形？【分析】求出BD90，根据相似三角形的判定得出当ABDP=BPCD或ABCD=BPDP时，PAB与PCD是相似三角形，代入求出即可【解析】ABBD，CDBD，BD90，当ABDP=BPCD或ABCD=BPDP时，PAB与PCD是相似三角形，AB3，CD8，BD10，310-BP=BP8或38=BP10

18、-BP，BP6或4或3011，即PB6或4或3011，时，PAB与PCD是相似三角形21（2019秋武冈市期中）如图，在ABC中，AB8cm，BC16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟PBQ与ABC相似？试说明理由【分析】首先设经x秒钟PBQ与ABC相似，由题意可得AP2xcm，BQ4xcm，BPABAP（82x）cm，又由B是公共角，分别从BPBA=BQBC与BPBC=BQBA分析，即可求得答案【解析】设经x秒钟PBQ与ABC相似，则AP2xcm，BQ4xcm，AB8cm，

19、BC16cm，BPABAP（82x）cm，B是公共角，当BPBA=BQBC，即8-2x8=4x16时，PBQABC，解得：x2；当BPBC=BQBA，即8-2x16=4x8时，QBPABC，解得：x0.8，经2或0.8秒钟PBQ与ABC相似22（2018秋浦东新区期中）如图，在梯形ABCD中，ABCD，A90，AB4，CD2，CEBC交边AD于点E（1）当点E与A恰好重合时（如图1），求AD的长；（2）问：是否可能使ABE、CDE和BCE都相似？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由（如图2）【分析】（1）由DCACAB，ADCACB，证得ACDABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可

20、求得AD的长；（2）分别从使ABE、CDE与BCE都相似分析，利用相似三角形的性质，即可求得AD的长【解析】（1）当点E与A重合时，CDABDCACAB，且ADCACB90ACDABC，ABAC=ACCD，AC22，AD=AC2-CD2=(22)2-22=2（2）若能使ABE、CDE与BCE都相似，EBCAD90，DECBECAEBDEC+BEC+AEB180DECBECAEB60在RtDEC中，tanDEC=DCDE=3DE=23=233在RtABE中，tanAEB=ABAE=3EA=43=433ADDE+AE2323（2019秋静安区期末）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AC与BD相交于

21、点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2OBOE（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果BCBD，AEAFADBF，求证：ABEACD【分析】（1）由已知得出OEOD=ODOB，由平行线得出AODCOB，得出OAOC=ODOB，证出OAOC=OEOD，得出AFCD，即可得出结论；（2）由平行线得出AEDBDC，BEFBDC，得出BEBD=BFBC，证出AEBADC由已知得出AEBF=ADAF，由平行四边形的性质得出AFCD，得出AEBE=ADDC，由相似三角形的判定定理即可得出结论【解答】（1）证明：OD2 OEOB，OEOD=ODOB，ADBC，AODCOB，O

22、AOC=ODOBOAOC=OEODAFCD，四边形AFCD是平行四边形；（2）证明：AFCD，AEDBDC，BEFBDC，BEBD=BFBC，BCBD，BEBF，BDCBCD，AEDBCDAEB180AED，ADC180BCD，AEBADCAEAFADBF，AEBF=ADAF，四边形AFCD是平行四边形，AFCD，AEBE=ADDC，ABEADC24（2020高青县一模）如图，AB16cm，AC12cm，动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止，（点P到达点C后，点Q继续运动）（1）请直接用含t的

23、代数式表示AP的长和AQ的长，并写出自变量的取值范围（2）当t等于何值时，APQ与ABC相似？【分析】（1）本题可结合三角形的周长，根据路程速度时间求出AP的长y1和AQ的长y2关于时间t的函数；（2）分0t6，6t16两种情况，根据相似三角形的性质求出所用的时间【解析】（1）由题意得：y12t（0t6），y216t（0t16）；（2）当0t6时，若QPBC，则有AQPABC，AQAB=APAC，AB16cm，AC12cm，AP2tcm，AQ（16t）cm，16-t16=2t12，解得：t=4811，当AA，若AQPC，则有AQPACB，所以AQAC=APAB，即16-t12=2t16，解得：t6.4（不符合题意，舍去）；当6t16时，点P与C重合，AA，只有当AQCACB时，有AQCACB，AQAC=ACAB，16-t12=1216，解得：t7，综上所述：在0t6中，当t=4811时，AQPABC，在6t16中，当t7时，AQCACB