24.6 切线的判定和性质【九大题型】（人教版）（教师版）.docx

1、专题24.6 切线的判定和性质【九大题型】【人教版】【题型1 有关切线的说法辨析】1【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】4【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】9【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】16【题型5 利用切线的性质求线段长度】20【题型6 利用切线的性质求角度大小】29【题型7 利用切线的性质证明】33【题型8 切线的判定与性质的综合运用】38【题型9 过圆外一点作圆的切线】47【知识点 切线的判定】（1）切线判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法） 如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条

2、直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径【题型1 有关切线的说法辨析】【例1】（2023春山东日照九年级统考期中）如图，点B在A上，点C在A外，以下条件不能判定BC是A切线的是（）AA50，C40BBCACAB2+BC2AC2DA与AC的交点是AC中点【答案】A【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论【详解】解：A、A50，C40，B180AC90，BCAB，点B在A上，AB是A的半径，BC是A切线；B、BCA，BA+C，A+B+C180，B90，BCAB，点B在A上，AB是A的

3、半径，BC是A切线；C、AB2+BC2AC2，ABC是直角三角形，B90，BCAB，点B在A上，AB是A的半径，BC是A切线；D、A与AC的交点是AC中点，AB12AC，但不能证出B90，不能判定BC是A切线；故选：D【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键【变式1-1】（2023春九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A与圆有公共点的直线B经过半径外端的直线C垂直于圆的半径的直线D与圆心的距离等于半径的直线【答案】A【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可【详解】解：A与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不

4、正确，不符合题意；B经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；C经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；D与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【变式1-2】（2023春西藏拉萨九年级校考期末）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C经过半径的外

5、端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【答案】B【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案【详解】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C选项正确，故选：C【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键【变式1-3】（2011秋湖北黄冈九年级统考期末）如图，已知AB、AC分别为O的直径和弦，D为BC 的中点，DE垂直于AC的延长线于E，连接BC，若DE=6cm，CE=2cm，下列结论一定错误的是()ADE是O的切线B直径AB长为20cmC弦AC长为16cmD

6、C为AD 的中点【答案】A【分析】AB是圆的直径，则ACB=90，根据DE垂直于AC的延长线于E，可以证得EDBC，则DEOD，即可证得DE是圆的切线，根据切割线定理即可求得AC的长，连接OD，交BC与点F，则四边形DECF是矩形，根据垂径定理即可求得半径【详解】解：连接OD，OCD是弧BC的中点，则ODBC，DE是圆的切线故A正确；DE2=CE?AE即：36=2AEAE=18，则AC=AE-CE=18-2=16cm故C正确；AB是圆的直径ACB=90，DE垂直于AC的延长线于ED是弧BC的中点，则ODBC，四边形CFDE是矩形CF=DE=6cmBC=2CF=12cm在直角ABC中，根据勾股定

7、理可得：AB=AC2+BC2=162+122=20故B正确；在直角ABC中，AC=16，AB=20，则ABC30，而D是弧BC的中点弧AC弧CD故D错误故选D【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】【例2】（2023春北京九年级统考期末）在下图中，AB是O的直径，要使得直线AT是O的切线，需要添加的一个条件是 （写一个条件即可）【答案】ABT=ATB=45（答案不唯一）【分析】根据切线的判定条件，只需要得到BAT=90即可求解，因此只需要添加条件：ABT=ATB=45即可【详解】解：添加条件：ABT=ATB=45，ABT=ATB=45，BAT=90，又AB是圆O的直径，AT是圆O的切线，故答案

8、为：ABT=ATB=45（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键【变式2-1】（2023春山东德州九年级统考期中）如图，A、B是O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果AOB=120，那么当CAB的度数等于 度时，AC才能成为O的切线【答案】60【分析】由已知可求得OAB的度数，因为OAAC，AC才能成为O的切线，从而可求得CAB的度数【详解】解：AOB中，OA=OB，AOB=120，OAB=OBA=12180-AOB=30，当OAAC即OAC=90时，AC才能成为O的切线，当CAB的度数等于60，即OAAC时，AC才能成为O的切线故

9、答案为：60【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键【变式2-2】（2023春河南信阳九年级统考期中）如图，在RtABC中，ACB=90，以AC为直径作O交AB于D点，连接CD（1）求证：A=BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与O相切？并说明理由【答案】（1）证明见试题解析；（2）M为BC的中点【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得ADC=90，再根据直角三角形的性质可得A+DCA=90，再由DCB+ACD=90，可得DCB=A；（2）当MC=MD时，直线DM与O相切，连接DO，根据等等边对等角可

10、得1=2，4=3，再根据ACB=90可得1+3=90，进而证得直线DM与O相切试题解析：（1）证明：AC为直径，ADC=90，A+DCA=90，ACB=90，DCB+ACD=90，DCB=A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与O相切；解：连接DO，DO=CO，1=2，DM=CM，4=3，2+4=90，1+3=90，直线DM与O相切，故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与O相切考点：切线的判定【变式2-3】（2023春江西上饶九年级统考期末）已知：ABC内接于O，过点A作直线EF（1）如图甲，AB为直径，要使EF为O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证

11、明）： 或 ；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若CAF=B，求证：EF是O的切线（3）如图乙，若EF是O的切线，CA平分BAF，求证：OCAB【答案】（1）OAEF；FAC=B；（2）见解析；（3）见解析【分析】(1) 添加条件是:OAEF或FAC=B根据切线的判定和圆周角定理推出即可(2) 作直径AM,连接CM，推出M=B=EAC，求出FAC+CAM=90，根据切线的判定推出即可(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据FAC=B，BAC=FAC，等量代换得到BAC=B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB【详解】（1）OAEFFAC=B， 理由是

12、：OAEF，OA是半径，EF是O切线，AB是0直径，C=90，B+BAC=90，FAC=B，BAC+FAC=90，OAEF，OA是半径，EF是O切线，故答案为：OAEF或FAC=B，（2）作直径AM，连接CM，即B=M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），FAC=B，FAC=M，AM是O的直径，ACM=90，CAM+M=90，FAC+CAM=90，EFAM，OA是半径，EF是O的切线 （3）OA=OB，点O在AB的垂直平分线上，FAC=B，BAC=FAC，BAC=B，点C在AB的垂直平分线上，OC垂直平分AB，OCAB【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注

13、意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】【例3】（2023春江西宜春九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在中，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径【答案】(1)见解析(2)的半径为5【分析】（1）连接，可得，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得，根据“内错角相等，两直线平行”可得，根据平行线的性质，可得，再根据切线的判定方法，即可判定；（2）过点O作，交于点G，根据垂径定理可得，故，根据矩形的判定和性质，即可求解【详解】（1）证明：如图，连接，则，

14、是的平分线，为的半径，点D在上，是的切线；（2）解：过点O作，交于点G，如图，四边形是矩形，的半径为5【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线【变式3-1】（2023春全国九年级专题练习）如图，中，以为直径的交于点，点在上，的延长线交于点F(1)求证：与相切；(2)若的半径为3，求的长【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接、，则，所以，由，得，所以，即可证明与相切；（2）由切线的性质得，得，则，即可根据勾股定理列方程，求解即可【详解】（1）证明：如图，连接、，则，经过的半径的外端，

15、且，与相切（2）解：由（1）知与相切，的长为6【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键【变式3-2】（2023春江西九江九年级校考期中）如图，为的直径，C为上一点，P为延长线上的一点，使得(1)求证：是的切线(2)F为上一点，且经过的中点E求证：；若，求的半径长【答案】(1)见解析；(2)见解析；的半径为5【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，进而得出，即，即可得出结论；（2）先根据直径所对的圆周角是直角得出，进而得出，根据题意可得出，推出，即可得出结论；设,则，由知，得出和都是直角三角形，在中，根据勾股定理得出，求出，

16、在中，根据勾股定理得出，即可得出答案【详解】（1）证明：为的直径，即，是的切线；（2）证明：为的直径，经过的中点E，；解：设,则，由知，和都是直角三角形，在中，解得：（负值舍去），即，在中，解得：，即的半径为5【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键【变式3-3】（2023春江苏无锡九年级统考期中）如图，已知半径为的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分，(1)判断与轴的位置关系，并说明理由；(2)求的长【答案】(1)相切，理由见解析(2)【分析】（1）连接，由平分可得，又，所以，进而可得，所以，可得轴，进而可得结论；（2）过点作轴于点，则，且四边形

17、是矩形，设可分别表达和，进而根据勾股定理可建立等式，得出结论；【详解】（1）解：与轴相切，理由如下：如图，连接，平分，又， ，轴，轴，是半径，与轴相切（2）如图，过点作轴于点，四边形是矩形，设则，在中，解得或舍去，【点睛】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，待定系数法求函数表达式，题目比较简单，关键是掌握相关定理【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】【例4】（2023春山东日照九年级日照市新营中学校考期中）如图，在四边形ABCD中，ABC90，ADBC，CBCD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作B，交BD于点E（1）试判断CD与B的位置关系，并说明理由

18、（2）若AB6，BDC60，求图中阴影部分的面积【答案】（1）相切，理由见解析；（2）【分析】(1)过点B作BFCD，证明ABDFBD，得到BF= BA，即可证明CD与圆B相切；(2)先证明BCD是等边三角形，根据三线合得到ABD= 30，求出AD，再利用阴影部分的面积= SABDS扇形ABE求出阴影部分面积【详解】解：(1) 过点B作BFCD，垂足为F，BFD=90，ADBC，ABC90，ABC90，BAD=90，BAD=BFD，ADBC，ADB= CBD，CB= CD，CBD= CDB，ADB = CDB，在ABD和FBD中 ，ABDFBD (AAS)，BF= BA，则点F在圆B上，CD与

19、B相切；(2) BCD= 60，CB= CD，BCD是等边三角形，CBD = 60， BFCD，ABD= DBF= CBF= 30 ，ABF= 60 ， AB= BF= 6，AD= DF = 2，阴影部分的面积= SABDS扇形ABE= = 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，解题的关键是正确作出辅助线【变式4-1】（2023江西南昌九年级期末）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点. （1）求证：与相切. （2）若正方形的边长为1，求半径的长.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根

20、据正方形的性质可知，AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明即可；（2）根据正方形的边长求出AC的长，再根据等腰直角三角形的性质得出 即可求出.【详解】解：（1）如图，连接，过点作于点，与相切，四边形是正方形，平分，与相切. （2）四边形为正方形，. 又，解得.【点睛】本题主要考查了正方形的性质和圆的切线的性质和判定，还运用了数量关系来证明圆的切线的方法.【变式4-2】（2023武汉模拟）如图，在RtABC中，B90，BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DEDC，以D为圆心，DB长为半径作D，AB5，EB3（1）求证：AC是D的切线；（2）求线段AC的长【分析】（1）过点D作DF

21、AC于F，求出BDDF等于半径，得出AC是D的切线（2）先证明BDEDCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的ABAF，得出AB+EBAC【解答】证明：（1）过点D作DFAC于F；AB为D的切线，B90ABBCAD平分BAC，DFACBDDFAC与D相切；（2）在BDE和DCF中；BDDF，DEDC，RtBDERtDCF（HL），EBFCABAF，AB+EBAF+FC，即AB+EBAC，AC5+38【变式4-3】（2023椒江区一模）如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与O相切于点D求证：AC是O的切线【分析】过点O作OEAC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得

22、出ABOD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OEOD，从而证得结论【解答】证明：过点O作OEAC于点E，连接OD，OA，AB与O相切于点D，ABOD，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，AO是BAC的平分线，OEOD，即OE是O的半径，圆心到直线的距离等于半径，AC是O的切线【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型5 利用切线的性质求线段长度】【例5】（2023春河南九年级校联考期末）如图，AB为O的直径，C，E是O

23、上不同于A，B的两点，过点C的切线垂直于AE交AE的延长线于点D，连接AC(1)求证：EC=BC；(2)若AC=43，CE=33，则CD的长为_【答案】(1)见解析(2)1235【分析】（1）连接CO，可证ADOC，从而可证DAC=CAB，即可求证（2）过C作CFAB交AB于F，可求BC=33，AB=AC2+BC2，12ACBC=12ABCF，接可求解【详解】（1）证明：如图，连接CO，CD为O的切线，OCCD，ADCD，ADOC，DAC=ACO，AO=CO，CAB=ACO，DAC=CAB，EC=BC（2）解：过C作CFAB交AB于F，由（1）得：DAC=CAB，CE=BC=33，CDAE，C

24、D=CF，AB是O的直径，ACB=90，AB=AC2+BC2=432+332=53，12ACBC=12ABCF，4333=53CF，解得：CF=1253， CD=1253；故答案：1253【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，切线的性质，角平分线的性质定理，勾股定理等，作出适当的辅助线，掌握相关的性质是解题的关键【变式5-1】（2023春北京西城九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C作O的切线l，过点B作BDl于点D(1)求证：BC平分ABD；(2)连接OD，若ABD=60，CD=3，求OD的长【答案】(1)证明见解析(2)7【分析】（1）连接OC，求得OCB

25、D，得到OBC=CBD，即可求得BC平分ABD（2）连接AC，求得ACB=90，在RtBDC中，求得BC=23；在RtACB中，AB=2AC，OC=2；在RtOCD中，利用勾股定理可求得OD=7【详解】（1）证明：如图，连接OC直线l与O相切于点C，OCl于点COCD=90BDl于点D，BDC=90OCD+BDC=180OCBDOCB=CBDOC=OB，OBC=OCBOBC=CBDBC平分ABD（2）解：连接ACAB是O的直径，ACB=90ABD=60，OBC=CBD=12ABD=30在RtBDC中，CBD=30，CD=3，BC=2CD=23在RtACB中，ABC=30，AB=2ACAC2+B

26、C2=AB2，AB=4OC=12AB=2在RtOCD中，OC2+CD2=OD2，OD=7【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键【变式5-2】（2023春广东韶关九年级校考期末）如图，已知ABC内接于O，AB是O的直径，点F在O上，且点C是弧BF的中点，过点C作O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点(1)求证：AEDE；(2)若D=30，AE=3，求CD的长【答案】(1)见解析(2)23【分析】（1）连接OC，根据DE切O于C，故OCDE，根据点C是BF的中点，故BAC=EAC，根据等边对等角可得BAC=OCA，

27、即可推得OCAE，即可证明； （2）连接BF交OC于G，根据AB是O直径，故BFA=90，结合（1）中结论可得四边形CEFG是矩形，根据含30度角的直角三角形特征可得AD=2AE=6，DO=2CO=2BO，即可推得AD=3CO=6，求得CO=2，DO=4，根据勾股定理求解即可【详解】（1）证明：连接OC，如图DE切O于C，OCDE点C是BF的中点，BAC=EACOC=OABAC=OCAEAC=OCAOCAEAEDE（2）连接BF交OC于G，如图，AB是O直径，BFA=90由（1）可得OCDE，AEDE四边形CEFG是矩形，COBF，CF=GF，D=ABF=30BG=GF 在RtADE中，D=3

28、0，AE=3AD=2AE=6在RtCDO中，D=30DO=2CO=2BOAD=3CO=6CO=2，DO=4DC=DO2-CO2=23【点睛】本题考查了平行线的判定，直径所对的圆周角是90度，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形特征，勾股定理等，熟练掌握以上性质是解题的关键【变式5-3】（2023春广东汕头九年级统考期末）如图，AB是O的直径，点C是O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，G是ACB的内心，连接CG并延长，交O于E，交AB于点F，连接BE(1)求证：AC平分DAB；(2)连接BG，判断EBG的形状，并说明理由；(3)若BC=22，AC=

29、42，求线段EC的长【答案】(1)见解析(2)等腰三角形，见解析(3)6【分析】（1）由切线的性质可得出OCPD，结合题意可证OCAD，即得出ACO=DAC再根据同圆半径相等和等腰三角形的性质，即得出ACO=CAO，从而易证AC平分DAB；（2）由直径所对圆周角为直角可知ACB=90再根据三角形内心的性质可知ACE=BCE=12ACB=45，CBG=FBG由同弧或等弧所对圆周角相等可知ACE=ABE=45，从而结合三角形外角性质得：BCE+CBG=ABE+FBG，即BGE=EBG，即证明EBG为等腰三角形；（3）连接OE，作BMCE交CE于点M， 由圆周角定理可知BOE=2BCE=90根据勾股

30、定理可得出AB=BC2+AC2=210，即得出OE=OB=12AB=10，从而由等腰直角三角形的性质结合勾股的定理求出BE=2OB=25又易证BMC为等腰直角三角形，同理可求出BM=MC=22BC=2，最后再次利用勾股定理即可求出EM=BE2-BM2=4，进而可求出CE=MC+EM=6【详解】（1）PD是O切线OCPDADPD，OCADACO=DAC又OC=OA，ACO=CAO，CAO=DAC，即AC平分DAB；（2）EBG为等腰三角形，理由如下，AB为O的直径，ACB=90G是ACB的内心，ACE=BCE=12ACB=45，CBG=FBGAE=AE，ACE=ABE=45，BCE+CBG=AB

31、E+FBG，BGE=EBG，EBG为等腰三角形；（3）连接OE，作BMCE交CE于点M，如图所示：由圆周角定理可知BOE=2BCE=90BC=22，AC=42，ACB=90，AB=BC2+AC2=210，OB=12AB=10OE=OB，BE=2OB=25BMCE，BCE=45，BMC为等腰直角三角形，BM=MC=22BC=2，EM=BE2-BM2=20-4=4，CE=MC+EM=2+4=6【点睛】本题为圆的综合题，考查切线的性质，圆周角定理及其推论，三角形内心的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识熟练掌握圆的相关知识是解题关键在解（3）时正确作出辅助线也是关键【题型6 利用切线的性

32、质求角度大小】【例6】（2023春重庆南岸九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，AC是O的直径，AB，BC是O的弦，CD是O的切线，C为切点，OD与O交于点E若点C为BE的中点，D=32，则ACB的度数为（）A56B58C61D68【答案】B【分析】如图：连接OB，根据切线的性质得到OCCD，根据直角三角形的性质求出COD，由点C为BE的中点可得BOC=DOC,最后等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可解答【详解】解：如图：连接OB，CD是O的切线，OCCD，OCD=90，D=32，COD=90-32=58，点C为BE的中点，BOC=DOC=58，OB=OC，ACB=12180-COB=6

33、1,故选：C【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键【变式6-1】（2023春河南信阳九年级校联考期末）如图，AB是O的直径，点P是O外一点，PO交O于点C，连接BC，PA若P=36，且PA与O相切，则此时B等于（）A27B32C36D54【答案】A【分析】先利用切线的性质求出AOP=54，再利用等腰三角形的性质即可得出结论【详解】解：PA是O的切线，PAO=90，AOP=90-P=54，OB=OC，AOP=2B，B=12AOP=27，故选：A【点睛】此题考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉切线的性质和等腰三

34、角形的性质【变式6-2】（2023春广东梅州九年级校考开学考试）如图：P是O的直径CD的延长线上一点，PA是O的切线，A为切点，P=40，则ACP= 【答案】25【分析】如图，连接OA，由PA是O的切线，可得OAP=90，则AOP=50，由圆周角定理得，ACP=12AOP，计算求解即可【详解】解：如图，连接OA，PA是O的切线，OAP=90，P=40，AOP=50，由圆周角定理得，ACP=12AOP=25，故答案为：25【点睛】本题考查了切线的性质及圆周角定理解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用【变式6-3】（2023春江西宜春九年级江西省丰城中学校考期末）如图，点A，B在圆O上，且AOB

35、30，点P是射线OB上一动点（不与点O重合），连接AP，将APO沿AP折叠得到APO，当APO的边所在的直线与圆O相切时，OPA的度数为 【答案】105或60或15【分析】根据折叠的性质和圆的性质，分三种情况讨论：当OA所在直线与圆O相切于点A时，当AP所在直线与圆O相切于点A时，当PO所在直线与圆O相切时，不同情况进行解答即可.【详解】解：由折叠的性质得OAP=OAP，当OA所在直线与圆O相切于点A时，分两种情况讨论：a、若点O在OA上方，如图（1），由折叠性质可得：OAP=12OAO=1290=45，OPA=180-O-OAP=105；b.若点O在OA下方，如图（2），易得OAP=12(3

36、60-OAO)=135，OPA=180-O-OAP=15；当AP所在直线与圆O相切于点A时，如图（3），AOB30，OPA=180-O=60；当PO所在直线与圆O相切时，设切点为C，如图（4），易知此时点P的位置与图（3）中相同，故OPA=60；综上，OPA的度数为105，60或15；【点睛】本题主要考查了圆的性质，掌握好圆的相关知识是解题的关键.【题型7 利用切线的性质证明】【例7】（2023春河北邢台九年级校联考期末）如图，BD是O的直径，BA是O的弦，过点A的切线交BD的延长线于点C，AB=AC求证：ACOABD【答案】证明见解析【分析】根据BD是O的直径，得BAD=90，AC是O的切线

37、，得出OAC=90，由AB=AC得B=C，根据ASA即可证：ACOABD【详解】证明：BD是O的直径，DAB=90AC是O的切线，OAC=90CAO=BADAB=AC，B=C在ACO和ABD中，C=B，AC=AB，CAO=BAD，ACOABDASA【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，全等三角形的判定与性质，熟练掌握直径所对的圆周角是直角和切线的性质是解题的关键【变式7-1】（2023春河南驻马店九年级统考期中）如图所示，AB是O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CEOB，交O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AFPC于点F，连接CB.试

38、证明：(1)CB是ECP的角平分线；(2)CF=CE【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）欲证明CF=CE，只要证明ACFACE即可【详解】（1）OC=OB，OCB=OBC，PF是O的切线，CEAB，OCP=CEB=90，PCB+OCB=90，BCE+OBC=90，BCE=BCP，BC平分PCE（2）连接ACAB是直径，ACB=90，BCP+ACF=90，ACE+BCE=90，BCP=BCE，ACF=ACE，F=AEC=90，AC=AC，ACFACEAAS，CF=CE解法二：连接ACOA=OC BAC=ACO，CD平行AF，FAC=ACD，FAC=CA

39、O，CFAF，CEAB，CF=CE【点睛】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型【变式7-2】（2023春广东江门九年级统考期末）如图，点A、B、C在O上，直线l与O相切于点A(1)试问：1与ACB有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)如果我们把形如1这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论【答案】(1)1=ACB，理由见详解；(2)弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角【分析】（1）连接AO并延长交O于点D，连接BD，由圆周角定理利出BAD+D=90，由切线的性质得出BAD+

40、1=90，得出1=D，进而则可得出结论；（2）由弦切角和对应的圆周角的关系，直=直接写出结论即可【详解】（1）解：1=ACB，理由如下：连接AO并延长交O于点D，连接BD，AD是O的直径，ABD=90，即：BAD+D=90直线l与O相切于点AADl，即：BAD+1=90，1=D，ACD=D，1=ACD；（2）解：由题意得：弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角【点睛】本题考查了切线的性质，弦切角的定义，圆周角定理，理解弦切角的概念和圆周角定理的推论是解题的关键【变式7-3】（2023安徽九年级统考期中）已知：如图，点P是O外一点，过点P分别作O的切线PA、PB，切点为点A、B，连接OA，过点O作O

41、DPA交PB于点D，过点D作DCPA于C.（1）求证：四边形OACD是矩形；（2）若P=45，O的半径为r，试证明四边形OACD的周长等于2(2+1)r.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】试题分析：（1）由PA是O的切线可得OAP=90，结合ODAP可得O=90，再结合DCAP即可得到四边形OACD矩形了；（2）如图，连接OB，由四边形AOCD是矩形结合O的半径为r可得DC=OA=OB=r，由ODAP可得BDO=P=45，由PB是O的切线可得OBD=90，由此可得BD=OB=r，则OD=2r=AC，这样即可由OA+AC+DC+OD求得四边形OACD的周长为2(2+1)r.试题

42、解析：（1） PA是O的切线，切点为A， OAPA， ODPA， OAOD，又 DCPA，四边形OACD是矩形； （2）如图，连接OB，由（1）得，四边形OACD是矩形， OA=CD=r,OD=AC， ODPA， ODB=P=45， PB是O的切线， OBD=90， BOD=ODB=45， OB=BD=r,在RtOBD中，由勾股定理得：OD=2OB=2r，四边形OACD的周长=2(OA+OD)=2(r+2r)=2(2+1)r.【题型8 切线的判定与性质的综合运用】【例8】（2023春湖北九年级期末）AB为O的直径，PA为O的切线，BCOP交O于C，PO交O于D，（1）求证：PC为O的切线；（2

43、）过点D作DEAB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DFFG，DF5，CG6，求O的半径【答案】（1）见详解；（2）10【分析】（1）连OC，由BCOP，得到AOP=OBC，POC=OCB，则AOP=POC，可得POAPOC，得到PAO=PC0，而PA为O的切线，得OAP=90，所以PC0=90，根据切线的判定即可得到PC为O的切线；（2）连AD，由AB为O的直径，得ADB=90，而DEAB，则ADE=ABD，所以ADE=ABD，从而易得到DAG=ADF，有AF=DF=FG=5，AC=5+5+6=16，得到AH=12AC=8易证RtAOHRtDOE，得DE=AH=8，则EF=D

44、E-DF=8-5=3，在RtAEF中，利用勾股定理可求得AE=4，在RtDOE中，利用勾股定理即可得到O的半径【详解】证明：（1）连OC，如图，BCOP，AOP=OBC，POC=OCB，而OB=OC，即OCB=OBC，AOP=POC，又OA=OC，OP公共，POAPOC，PAO=PCO，而PA为O的切线，OAP=90，PCO=90，PC为O的切线；（2）连AD，AB为O的直径，ADB=90，而DEAB，ADE=ABD，由（1）得AOP=COP，ABD=DAF，DAG=ADF，AF=DF=FG=5，AC=5+5+6=16AH=12AC=8，又OA=OD，RtAOHRtDOE，DE=AH=8EF=

45、DE-DF=8-5=3，在RtAEF中，AE=AF2-EF2=52-32=4，设O半径为r，在RtDOE中，有r2=82+（r-4）2r=10所以O的半径为10【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线也考查了切线的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理【变式8-1】（2023春湖北随州九年级统考期末）如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，E是AB上一点，以CE为直径的O交BC于点F，连接DO，且DOC90（1）求证：AB是O的切线；（2）若DF2，DC6，求BE的长【答案】（1）详见解析；（2）BE43.【分析】（1）根据三角形中位线定理得到ODBE，根

46、据平行线的性质、切线的判定定理证明；（2）连接EF、ED，根据等腰三角形的性质求出BF，根据勾股定理求出EF，根据勾股定理计算，得到答案【详解】（1）证明：ABAC，ADBC，CDDB，又COOE，ODBE，CEBDOC90，CEAB，AB是O的切线；（2）解：连接EF、ED，BDCD6，BFBDDF4，COOE，DOC90，DEDC6，CE为O的直径，EFC90，EFDE2-DF2 42 ，BEBF2+EF2 43.【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，解题关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理、三角形中位线定理、勾股定理【变式8-2】（2023春河南周口九年级淮阳第一高级中学校考期末）如图，

47、PBC=30，点O是线段PB的一个三等分点，以点O为圆心，OB为半径的圆交PB于点A，交BC于点E，连接PE.(1)求证:PE是O的切线；(2)点D为O上的一动点，连接OD.当AOD= 时，四边形BEPD是菱形;当AOD= 时，四边形ADBE是矩形.【答案】(1)见解析；(2)60，120.【分析】（1）连接OE,AE，由PBE=30，得到AOE为等边三角形，得到PA=OA=OB=AE，即可得到OEP=90，则结论成立；（2）连接BD，由圆周角定理，得到ABD=30，则DBE=60，又有BEP=120，根据同旁内角互补得到PE/DB，然后证明PE=EB=BD，即可得到答案；由圆周角定理，得AB

48、D=60，得到EBD=90，然后由直径所对的圆周角为90，得到AEB=ADB=90，即可得到答案.【详解】证明：连接OE,AE，OB=OE,PBE=30，POE=2PBE=60.OA=OE，AOE为等边三角形，AE=OA.点O是BP的三等分点，PA=OA=OB=AE，OPE=AEP=12OAE=30，OEP=OEA+AEP=60+30=90，即OEPE，PE是O的切线.（2）当AOD=60时，四边形BEPD是菱形；如图，连接BD，AOD=60，ABD=30，EBD=30+30=60，AB为直径，则AEB=90，由（1）知AEP=30，BEP=30+90=120，EBD+BEP=60+120=1

49、80，PE/DB，APE=PBE=30，BOE=BOD=180-60=120，PE=EB=BD，四边形BEPD是菱形；故答案为：60.当AOD=120时，四边形ADBE是矩形.如图，连接AE、AD、DB，AOD=120，ABD=12120=60，EBD=30+60=90，AB是直径，AEB=ADB=90，四边形ADBE是矩形.故答案为：120.【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的判定和矩形的判定，解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行解题.【变式8-3】（2023春湖北九年级期末）已知AB是O的直径，AC是弦，BAC的角平分线交O于点D，DEAC于E（1）如图（1）

50、求证：DE是O的切线；（2）如图（1）若AB10，AC6，求ED的长；（3）如图（2）过点B作O的切线，交AD延长线于F，若EDDF，求EDAD的值【答案】（1）见解析；（2）4；（3）5-12【分析】（1）连接OD，则利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可以推出ADO=EAD，从而证明ODAE，则E+ODE=180，再由DEAC，得到E=90，则ODE=90，由此即可证明；（2）连接OD，BC交于F，先利用勾股定理求出BC=AB2-AC2=102-62=8，然后整理四边形ECFD是矩形，得到DE=CF，CFD=90，再由垂径定理求得CF=BF=12BC=4，由此即可得到答案；（3）连接BD，

51、先证明AEDBDF，得到AD=BF，再由勾股定理得到BD2=AB2-AD2=BF2-DF2，AB2=AF2-BF2，从而可以推出DF2+ADDF-AD2=0，即DE2+ADDE-AD2=0，则DEAD2+DEAD-1=0，设DEAD=x，则x2+x-1=0，解方程即可【详解】解：（1）如图所示，连接OD，OA=OD，OAD=ODA,DA平分BAC，EAD=BAD，ADO=EAD，ODAE，E+ODE=180，DEAC，E=90，ODE=90，又OD是圆O的半径，DE是圆O的切线（2）如图所示，连接OD，BC交于F，AB是直径，ACB=BCE=90，BC=AB2-AC2=102-62=8，又E=

52、FDE=90，四边形ECFD是矩形，DE=CF，CFD=90，CF=BF=12BC=4，DE=CF=4；（3）如图所示，连接BD，AB是直径，BDA=BDF=90，F+FBD=90DA平分BAC，EAD=BAD，BF是圆O的切线，ABF=90，F+FAB=90，EAD=BAD=FBD，E=BDF=90，ED=FD，AEDBDF（AAS），AD=BF，BD2=AB2-AD2=BF2-DF2，AB2=AF2-BF2，AF2-BF2-AD2=BF2-DF2，AD+DF2-AD2-AD2=AD2-DF2，DF2+ADDF-AD2=0，即DE2+ADDE-AD2=0DEAD2+DEAD-1=0，设DEA

53、D=x，x2+x-1=0，解得x=5-12或x=-1+52（舍去），DEAD=5-12【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，垂径定理，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解【题型9 过圆外一点作圆的切线】【例9】（2023北京海淀九年级期末）已知：点A，B，C在O上，且BAC=45求作：直线l，使其过点C，并与O相切作法：连接OC；分别以点B，点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于O外一点D；作直线CD直线CD就是所求作直线l(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证

54、明证明：连接OB，BD，OB=OC=BD=CD，四边形OBDC是菱形，点A，B，C在O上，且BAC=45，BOC=_（_）（填推理的依据）四边形OBDC是正方形，OCD=90，即OCCD，OC为O半径，直线CD为O的切线（_）（填推理的依据）【答案】(1)见解析；(2)90；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空【详解】（1）解：补全图形，如图所示； （2）90；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点睛】

55、本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键【变式9-1】（2023天津和平统考三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A在格点上，点B在格点上，圆心在线段AB上，圆与网格线相交于点C，过点C作圆的切线与网格线交于点P（1）AB= ；（2）过点P作圆的切线，切点为M（点M不与点C重合）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） 【答案】 13 图见解析，过点C作CP的垂线交AB于点O，则O为圆心，连接OP，作CMOP，与O交于点M，点M即为所求【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可得到答案；（

56、2）根据切线的性质作出图，并对作图过程作相应的描述即可【详解】解：（1）AB=32+22=13，故答案为：13；（2）如图所示：，过点C作CP的垂线交AB于点O，则O为圆心，连接OP，作CMOP，与O交于点M，点M即为所求【点睛】本题主要考查了尺规作图作切线，切线的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握切线的性质，垂径定理，是解题的关键【变式9-2】（2023春江苏宿迁九年级统考期中）已知：O和O外一点P(1)如图甲，PA和PB是O的两条切线，A、B分别为切点，求证：PA=PB；(2)尺规作图：在图乙中，过P点作O的两条切线PE、PF、E、F为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）【答案】(1)见解

57、析(2)见解析【分析】（1）连接OP，OA，OB，首先证RtPAORtPBO（HL），可得结论；（2）以OP为直径作O，两圆相交于E，F，直线PE，PF即为所求【详解】（1）如图，连接OP，OA，OB PA，PB是切线， PAOA，PBOB， PAO=PBO=90在RtPAO和RtPBO中，OP=OPOA=OB， RtPAORtPBO， PA=PB（2）以OP为直径作O，两圆交于点E、F，直线PE、PF即为所求；【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，直径的性质等知识点，添加合适的辅助线，构造全等三角形，学会利用辅助圆解决问题是解本题的关键【变式9-3】（2023北京海淀九年级期

58、末）按要求作图：(1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径；(2)如图2，BA，BD是O中的两条弦，C是BD上一点，BAC=50，利用无刻度直尺在图中画一个含有50角的直角三角形；(3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作O（不写作法，保留作图痕迹）；(4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；(4)见解析【分析】（1）根据垂径定理可知，AB 的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找出线段AB的垂直平分线即可；（2）延长

59、AC交O与点E，连接BO并延长交O于点F，在连接EF，则BEF即为所求；（3）作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA为半径作圆即可；（4）过点A作圆的两条割线：ACD和AEF；连接CF，DE交于点G，延长EC和FD交于点H，连接HG交圆于点B，连接AB即可【详解】（1）解：根据垂径定理可知，AB 的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找出线段AB的垂直平分线即可，如图：EF即为直径；（2）解：延长AC交O与点E，连接BO并延长交O于点F，在连接EF，则BEF即为所求；（3）解：作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA为半径作圆即可，如图；（4）解：过点A作圆的两条割线：ACD和AEF；连接CF，DE交于点G，延长EC和FD交于点H，连接HG交圆于点B，连接AB即可，如图：【点睛】本题考查作图，圆周角定理，切线性质，垂直平分线，解题的关键是理解题意，综合运用所学知识，是中考中常见题型