24.8相似三角形的性质与判定大题专练上海30题（重难点培优）（解析版）【沪教版】.docx

1、2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题24.8相似三角形的性质与判定大题专练上海30题（重难点培优）姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，试题共30题，解答30道答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一解答题（共30小题）1（2020秋浦东新区期末）RtABC中，ACB90，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CDCA，DEAB（1）求证：CA2CECB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CHAB【分析】（1）通过证明DCEBCD，可得DCBC=CECD，可得结论；

2、（2）由直角三角形的性质可得AMMECM，进而可得MCEMEC，通过证明点A，点C，点E，点D四点共圆，可得AECADC，由余角的性质可得结论【解析】证明：（1）DEAB，EDBACB90，A+B90B+DEB，ADEB，CACD，ACDA，CDADEB，CDBCED，又DCEDCB，DCEBCD，DCBC=CECD，CD2CECB，CA2CECB；（2）如图，ACE是直角三角形，点M是AE中点，AMMECM，MCEMEC，ACBADE90，点A，点C，点E，点D四点共圆，AECADC，AECMCEADCCAD，又MCE+ACH90，CAD+ACH90，CHAB2（2021上海模拟）已知：如图

3、，在梯形ABCD中，ADBC，BCD90，BCDC，点E在对角线BD上，作ECF90，CFEC，联结DF（1）求证：BDDF；（2）当BC2DEDB时，试判断四边形DECF的形状，并说明理由【分析】（1）由“SAS”可证BCEDCF，可得EBCFDC，由等腰直角三角形的性质可求EBCFDCBDC45，即可求解；（2）通过证明CDEBDC，可得DECDCB90，由正方形的判定可得结论【解析】证明：（1）BCDECF90，BCEDCF，在BCE和DCF中，BC=DCBCE=DCFEC=CF，BCEDCF（SAS），EBCFDC，BCDC，BCD90，DBCBDC45，FDC45，FDB90，BDD

4、F（2）四边形DECF是正方形理由如下：BC2DEDB，BCDC，DC2DEDB，DCDB=DEDC，CDEBDC，CDEBDC，DECDCB90，FDEECF90，四边形DECF是矩形，CECF，四边形DECF是正方形3（2021金山区二模）如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，对角线BD平分ABC，点G在底边BC上，联结DG交对角线AC于F，DGBDAB（1）求证：四边形ABGD是菱形；（2）联结EG，求证：BGEGBCEF【分析】（1）先证四边形ABGD是平行四边形，再由菱形的判定可得结论；（2）由“SAS”可证ABEGBE，可得EGAE，由相似三角形的性质可得ADBC=EFAE，即可得

5、结论【解析】证明：（1）ADBC，DAB+ABG180，DGB+ADG180，DGBDAB，ABGADG，四边形ABGD是平行四边形，BD平分ABC，ADBGDB，ADBG，ADBDBGBDG，BGDG，四边形ABGD是菱形；（2）如图，连接EG，四边形ABGD是菱形，ABBGAD，ABEGBE，在ABE和GBE中，AB=BGABE=GBEBE=BE，ABEGBE（SAS），EGAE，ADBC，ADECBE，ADBC=DEBE，DFAB，DEBE=EFAE，ADBC=EFAE，ADBG，AEEG，BGBC=EFEG，BGEGBCEF4（2021崇明区二模）已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，

6、ABDC，点E在下底BC上，AEDB（1）求证：CEADDE2；（2）求证：CEAD=AB2AE2【分析】（1）通过证明ADEDEC，可得ADDE=DEEC，即可得结论；（2）由相似三角形的性质可得ADDE=DEEC=AECD，即可得结论【解析】证明：（1）梯形ABCD中，ADBC，ABDC，BC，ABDC，ADEDEC，AEDB，CAED，ADEDEC，ADDE=DEEC，CEADDE2；（2）ADEDEC，ADDE=DEEC=AECD，DEADECDE=CDAECDAE，CEAD=AB2AE25（2021长宁区二模）如图，已知四边形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于点O，AC平分

7、BAD，BD平分ABC，点E在边BC的延长线上，联结OE，交边CD于点F（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果OECD，求证：CEOFCFOE【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可证ABBC，ABAD，由菱形的判定可得结论；（2）由菱形的性质和角平分线的性质可得OFOH，通过证明CEFOEH，可得结论【解析】证明：（1）AC平分BAD，BD平分ABC，DACBAC，ABDCBD，ADBC，DACACBBAC，ADBDBCABD，ABBC，ABAD，ADBC，又ADBC，四边形ABCD是平行四边形，又ABAD，平行四边形ABCD是菱形；（2）如图，过点O作OHBC于H，四边形ABC

8、D是菱形，OCBOCD，又OFCD，OHBC，OFOH，EE，EFCEHO90，CEFOEH，CEOE=CFOH，CEOFCFOE6（2021普陀区二模）已知：如图，在ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，四边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，AFBF=EFPF求证：（1）四边形ABCD为矩形；（2）BEDQFQPE【分析】（1）通过证明ABFEPF，可得结论；（2）通过证明DPQFCQ，可得结论【解析】证明：（1）四边形ADFE是菱形，AFDE，EPF90，AFBF=EFPF，PFEAFB，ABFEPF，ABEEPF90，平行四边形ABCD是矩形；（

9、2）四边形ABCD是矩形，ADBCEF，EC+CFBE+CE，BECF，DPFQCF90，CQFPQD，DPQFCQ，FQDQ=CFDP，FQDQ=BEPE，BEDQFQPE7（2020秋虹口区期末）如图，在ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DBDC，EGAB，AE、BD交于点F，BFAG（1）求证：BFECGE；（2）当AEGC时，求证：AB2AGAC【分析】（1）由平行线分线段成比例可得CEBE=CGAG，进而可得CEBE=CGBF，由等腰三角形的性质可得DBCDCB，由相似三角形的判定可得结论；（2）通过证明ABECBA，可得ABAC=BEAB，可得结论【解析】证明：（1）D

10、BDC，DBCDCB，EGAB，CEBE=CGAG，BFAG，CEBE=CGBF，BFECGE；（2）BFECGE，BEFGEC，BFEEGC，AEGC，GEBAEG+AEBC+EGC，AEBEGC，BEFGECBFEEGC，BEBF，ECGC，BEAG，GEAB，AEGBAE，BAEC，又ABEABC，ABECBA，ABAC=BEAB，AB2ACBEACAG8（2020秋宝山区期末）如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长，交CD于点E，交BC的延长线于点F（1）求证：AB2DEBF；（2）如果OE1，EF2，求CFBF的值【分析】（1）通过证明CEFBAF，ADEFCE，

11、可得CEAB=CFBF，ADCF=DECE，可得结论；（2）利用相似三角形的性质可得2AO+3=3-AO3，可求AO=3，即可求解【解析】证明：（1）四边形ABCD是菱形，ABADBCCD，ABCD，ADBC，CEFBAF，ADEFCE，CEAB=CFBF，ADCF=DECE，CECF=ABBF=DEAD，AB2DEBF；（2）CEFBAF，ADEFCE，FCBF=EFAF=2AO+3，ADBF=AOOF，1-ADBF=1-AOOF，CFBF=3-AO3，2AO+3=3-AO3，AO=3，FCBF=23+3=3-339（2020秋青浦区期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC8，点E、F是对角

12、线BD上的两点，且BEEFFD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H（1）求HD的长；（2）设BGE的面积为a，求四边形AEFH的面积（用含a的代数式表示）【分析】（1）通过证明ADEGBE，DHFBGF，由相似三角形的性质可求解；（2）由相似三角形的性质可求SADE4a，SDHF=12a，即可求解【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC8，ADBC，ADEGBE，DHFBGF，ADBG=DEBE=2，DHBG=DFBF=12，BG=12AD4，DH=12BG2（2）BGE的面积为a，BEEFFD，SBFG2a，ADEGBE，DHFBGF，SADESBEG=4，SDHF

13、SBGF=14，SADE4a，SDHF=12a，四边形AEFH的面积4a-12a=72a10（2021杨浦区三模）已知：如图，在ABC中，ADBC，垂足为点D，ADBD，点E为边AD上一点，且DEDC，联结BE并延长，交边AC于点F（1）求证：BFAC；（2）过点A作BC的平行线交BF的延长线于点G，联结CG如果DE2AEAD，求证：四边形ADCG是矩形【分析】（1）先证明BDE和ADC全等得出EBDCAD，再证BDEADC，即可得证；（2）先证四边形ADCG是平行四边形，再证一个角是直角即可得证【解析】（1）证明：ADBC，ADCBDE90，在ACD和BED中，AD=BDADC=BDEDC=

14、DE，ACDBED（SAS），EBDCAD，又BEDAEF，BEDAEF，AFEEDB90，即BFAC；（2）证明：AGBC，AGEEDB，由（1）知EBDCAD，AGECAD，又AEGBEDACD，AEGDCA，AEDC=AGDA，AEADDCAG，DE2AEAD，DEDC，DCAGDE2DC2，DCAG，又AGDC，四边形ADCG是平行四边形，ADBC，四边形ADCG是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）11（2021浦东新区校级二模）如图，在四边形ABCD中，AC平分BCD，ACAB，E是BC的中点，ADAE（1）求证：AC2CDBC（2）过E做EGAB，延长EG至点F，使FGEG，

15、若B30，求证：四边形AFEC是菱形【分析】（1）欲证明AC2CDBC，只需推知ACDBCA即可；（2）利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AFEC的四条边都相等，则四边形AFEC是菱形【解析】证明：（1）AC平分BCD，DCAACB又ACAB，ADAE，DAC+CAE90，CAE+EAB90，DACEAB又E是BC的中点，AEBE，EABABC，DACABC，ACDBCA，ACBC=CDAC，AC2CDBC；（2）ACAB，B30，E是BC的中点，AC=12BCEBEC，EGAB，B30，EG=12EB，又EGFG，2

16、EGFEEB，EFAC，EGAB，FGEG，AFAEEB，AFFEECCA，四边形AFEC是菱形12（2021闵行区二模）如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，过点A作AEBC，垂足为点E，过点E作EFCD，垂足为点F，联结DE，且DE平分ADC（1）求证：ABEECF；（2）联结BD，BD与AE交于点G，当AB2BGBD时，求证EC2BEBC【分析】（1）根据已知，找到AEBEFCEDCDEC即可利用AAS证明全等（2）根据AB2BGBD结合ABGDBA即可得到：ABDGBA利用对应角相等，即可证明AEBBDC再利用对应边成比例，即可求证【解析】证明：方法一：（1）在梯形ABCD中，A

17、DBC，ABCDBCADEDECDE平分ADCADEEDCEDCDECECCDABECAEBC、EFCDAEBEFC在ABE与ECF中，AB=CEB=CAEB=EFCABEECF（AAS）方法二：DE平分ADCAEBC、EFCDAEEFAEBC、EFCDAEBEFCADBC，ABCDBC在ABE与ECF中，AE=EFB=CAEB=EFCABEECF（AAS）（2）联接BD，BD与AE交于点G，如图：AB2BGBDABBG=BDABABGDBAABDGBAADBGABADBCADBDBCBAGDBCAEBBDCABBC=EBDCABDCBCEBEC2BEBC13（2021松江区二模）如图，已知在

18、直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，AEBD，垂足为E，联结CE，作EFCE，交边AB于点F（1）求证：AEFBEC；（2）若ABBC，求证：AFAD【分析】（1）根据垂直定义可得AEBCEFABC90，利用同角的余角相等可得EAFCBE，AEFBEC，即可证明结论；（2）先证明ABEDBA，再结合（1）中AEFBEC，应用相似三角形性质即可证明结论【解析】（1）证明：AEBD，EFCE，AEBCEFABC90，ABE+EAFABE+CBE90，EAFCBE，AEF+BEFBEC+BEF90，AEFBEC，AEFBEC；（2）证明：ADBC，ABC90，BAD180ABC90，AEBD，

19、AEB90BAD，ABEDBA，ABEDBA，AEBE=ADAB，AEFBEC，AEBE=AFBC，AFBC=ADAB，ABBC，AFAD14（2021青浦区二模）已知：如图，在正方形ABCD中，联结BD，E是边AB上一点，BFDE，垂足为点F，且EFBDBEBF（1）求证：ADEBDE；（2）延长DF与CB的延长线交于点G，求证：BGBC+AE【分析】（1）先根据三角函数定义得出sinEBF=EFBE，sinBDE=BFBD，再由EFBDBEBF，可得EFBE=BFBD，即可得EBFBDE，再根据正方形性质即可证明结论；（2）延长BF交DA的延长线于H，先证明DFHDFB，再结合正方形性质证

20、明GBFDHF，可得BGDHAD+AHBC+AH，再证明DAEBAH，可得AHAE，结论得证【解析】（1）证明：BFDE，BFD90，在RtBEF中，sinEBF=EFBE，在RtDBF中，sinBDE=BFBD，EFBDBEBF，EFBE=BFBD，sinEBFsinBDE，EBFBDE，正方形ABCD，DAE90BFD，EBF+BEFADE+AED90，BEFAED，EBFADE，ADEBDE；（2）证明：如图，延长BF交DA的延长线于H，ADEBDE，DFHDFB90，DFDF，DFHDFB（ASA），HFBF，正方形ABCD，ADBC，ADABBC，GADE，GBFH，在GBF和DHF

21、中，G=ADEGBF=HHF=BF，GBFDHF（AAS），BGDHAD+AHBC+AH，在DAE和BAH中，DAB=HAB=90AD=ABADE=ABF，DAEBAH（ASA），AHAE，BGBC+AE15（2021宝山区二模）如图，在ABCD中，BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F，点G在AE上，联结GD，GDFF（1）求证：AD2DGAF；（2）联结BG，如果BGAE，且AB6，AD9，求AF的长【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AE平分BAD，证明GDFDAF，对应边成比例即可得结论；（2）根据已知条件可得BABE6，ECCF3，DFAD9，得AGGEEF，结

22、合（1）AD2DGAF，即可求出AF的长【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABDF，ADBC，AE平分BAD，BAFDAFF，ADDF，GDFF，GDFDAF，DGAD=DFAF，AD2DGAF；（2）解：AF平分BAD，BAEDAF，ADBC，BEADAF，BEABAE，BGAE，AB6，AD9，BABE6，BEACEF，CEFF，ECCF3，DFAD9，FEFA=CEAD=13，即AGGEEF，AD2DGAF，23AF281，AF=96216（2021徐汇区二模）如图，在梯形ABCD中，CDAB，AB10，以AB为直径的O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB（1）求CD的长；

23、（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长【分析】（1）通过点C、D三等分弧AB，可得AODCODBOC60，所以，COD为等边三角形，CD可求；（2）由点E是劣弧DC的中点，根据垂径定理的推论可得OFCD，CF=12CD；解直角三角形ODF，OF可得，OEOFEF【解析】（1）AB为直径，点C、D三等分弧AB，AD=CD=BC=60AODCODBOC60OCOD，OCD为等边三角形CDOD=12AB5（2）点E是劣弧DC的中点，DE=ECAD=BC，AE=BEOFCDOCOD，DOF=12DOC30在RtODF中，cosFOD=OFODOFODcosFOD532=53

24、2OEOD5，EFOEOF5-53217（2021虹口区二模）如图，在ABCD中，点G是边BC延长线上一点，联结AG分别交BD和CD于点E和F，联结DG（1）求证：AE2EFEG；（2）如果ABDAGD，求证：四边形ABGD是等腰梯形【分析】（1）通过说明ABEFDE，ADEGBE，利用相似三角形的性质得出比例式可得结论（2）由已知得出DEFGED，可以推出DE2EFEG，利用（1）的结论可得DEAE，进而说明AEBDEG，结论可得【解析】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBCABEFDEAEEF=BEDEADEGBEBEDE=EGAEAEEF=EGAEAE2EFEG（2）

25、ABCD，ABDCDBABDAGD，CDBAGDDEFGED，DEFGEDDEEF=EGDEDE2EFEG由（1）知：AE2EFEGDEAE在ABE和DEG中，AEB=DEGABE=AGDAE=DEABEDEG（AAS）ABDGADBG，四边形ABGD是等腰梯形18（2021奉贤区二模）如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，ADEBAC（1）求证：CFCACBCE；（2）如果ACDE，求证：四边形ABCD是菱形【分析】（1）利用平行四边形性质，得到ADEE结合已知找到BACE即可证明ACBECF从而得到结论（2）先证明ADFCEF利用对应边成比例，

26、结合已知ACDE和（1）的结论，即可证明ABBC，从而得到结论【解析】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形ADBCADEEADEBACBACEACBECFACBECFACEC=CBCFCFCACBCE（2）由（1）知ADEEADFCFEADFCEFDFEF=AFCFEFDE=CFACACDEEFCFACBECFABBC四边形ABCD是平行四边形四边形ABCD是菱形19（2021静安区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，B90，E是AC的中点，DE的延长线交边BC于点F（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果2AE2ADBC，求证：四边形AFCD是菱形【分析】（1）根据AA

27、S证明ADECFE得出EDEF，进而可得四边形AFCD是平行四边形；（2）根据2AE2ADBC，可得AEACADBC，所以AEBC=ADAC，再证明ADECAB，可得AEDB90，进而可得结论【解析】（1）证明：ADBC，DAEFCE，ADECFE，点E是AC的中点，AECE，在ADE和CFE中，DAE=FCEADE=CFEAE=CE，ADECFE（AAS），EDEF，AECE，四边形AFCD是平行四边形；（2）证明：2AE2ADBC，AEACADBC，AEBC=ADAC，ADBC，DAEFCE，ADECAB，AEDB90，DFAC，四边形AFCD是菱形20（2021静安区二模）已知：如图，在

28、ABC中，ABAC，AEBC，垂足为EDCBC，DCBC2，ADB90，BD与AE、AC分别相交于点F、G求：（1）AF的长；（2）AG的长【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得点E是BC的中点，证明AEDC，可得EF是BCD的中位线，再根据条件证明ADF是等腰直角三角形，进而根据勾股定理可得结果；（2）由（1）可得AFCD2，EF1，BE1，所以AE3，根据勾股定理可得AB=10，所以ACAB=10，再证明AFGCDG，可得AGCG，进而可得结论【解析】（1）ABAC，AEBC，点E是BC的中点，BE=12BC=1221，DCBC，AEDC，DCBC，DCBC2，BD=BC2+DC2=22，

29、CBD45，点E是BC的中点，EF是BCD的中位线，EF=12DC1，DF=12BD=2，CBD45，AFDEFB45，ADB90，ADF是等腰直角三角形，ADDF=2，AF=DF2+AD2=2；（2）由（1）可知：AFCD2，EF1，BE1，AEAF+EF2+13，AB=BE2+AE2=12+32=10，ACAB=10，AECD，FAGDCG，在AFG和CDG中，FAG=DCGAGF=CGDAF=CD，AFGCDG（AAS），AGCG，AG=12AC=10221（2021黄浦区二模）如图，CD是直角ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且ADEBA（1）求证：CDEABC；（2）当DA：

30、EA=6：1时，求CDE与ABC的面积比【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DCDADB，所以DCAA，根据已知条件和三角形外角定义即可得DECB，进而可得结论；（2）令EAk，DA=6k，CEx，根据CDEABC，对应边成比例可得x3k，进而根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得结论【解析】（1）证明：CD是直角ABC斜边上的中线，DCDADB，DCAA，在ADE中，DECA+ADE又ADEBA，即BA+ADE，DECB，CDEABC，（2）解：令EAk，DA=6k，CEx，CDEABC，CECD=ABAC，即x6k=26kx+k，解得x3k，x4k（舍），所以SC

31、DESABC=(CEAB)2=(326)2=3822（2020秋金山区期末）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且MANABD（1）求证：AB2BFDE；（2）若BEDE=DNDC，求证：EFMN【分析】（1）由菱形的性质得ABAD，则ABDADB，易证AEDBAF，则AEDFAB，得ADBF=DEAB，即ADABBFDE，即可得出结论；（2）由菱形的性质得ADBC，ADBC，则BMEDAE，得BEDE=BMAD，进而证出BMBC=DNDC，则MNBD即可【解析】证明：（1）四边形ABCD是菱形，ABAD，ABDADB，AED

32、ABD+BAE，BAFMAN+BAE，MANABD，AEDBAF，AEDFAB，ADBF=DEAB，即ADABBFDE，AB2BFDE；（2）四边形ABCD是菱形，ADBC，ADBC，BMEDAE，BEDE=BMAD，BEDE=DNDC，BMAD=DNDC，BMBC=DNDC，MNBD，EFMN23（2020秋崇明区期末）已知：如图，D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，且AEDABC，联结BE、CD相交于点F（1）求证：ABEACD；（2）如果EDEC，求证：DF2BD2=EFEB【分析】（1）根据已知条件证明ADEACB，可得AEAD=ABAC，根据AA，证明ADCAEB，即可得结论；（

33、2）根据已知条件证明EDFEBD，可得DFBD=EFDE=DEBE，进而可得结论【解析】（1）证明：AEDABC，AA，ADEACB，AEAD=ABAC，AA，ADCAEB，ABEACD；（2）证明：EDEC，EDCECD，EDCEBD，DEFDEB，EDFEBD，DFBD=EFDE=DEBE，（DFBD）2=EFDEDEBE，DF2BD2=EFEB24（2020秋长宁区期末）如图，在ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，AFFE=AEEC（1）求证：DFBE；（2）如果AF2，EF4，AB63，求DEBE的值【分析】（1）先由平行线分线段成比例定理得AEEC=ADBD，

34、再证ADBD=AFFE，即可得出结论；（2）先证AEAB=ADAE，再证ADEAEB，即可得出答案【解析】（1）证明：DEBC，AEEC=ADBD，AFFE=AEEC，ADBD=AFFE，DFBE；（2）解：AF2，EF4，AEAF+EF6，ADBD=AFFE=12，ADAB=13，AD=13AB23，BD2AD43，AEAB=663=33，ADAE=236=33，AEAB=ADAE，又AA，ADEAEB，DEBE=AEAB=3325（2020秋青浦区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，ABAD，AC、BD相交于点E，AECEDEBE（1）求证：ABEACB；（2）如果DA2DEDB，求证：

35、ABECBCAE【分析】（1）根据AECEDEBE，AEDBEC，可得ADECBE，得DAECBE，ADEBCE，根据ABAD，进而可以证明结论；（2）根据DA2DEDB，ADBADE，可得ADBADE，对应边成比例，结合（1）ADECBE对应边成比例，进而可得结论【解析】证明：（1）AECEDEBE，AEDBEC，ADECBE，DAECBE，ADEBCE，ABAD，ADBABE，ABEACB，BAECAB，ABEACB；（2）DA2DEDB，ADBADE，ADBADE，ABAE=ADDE，ABEACB，ADBC=DEEC，AD=DEBCEC，ABAE=DEBCDEEC=BCEC，ABECBC

36、AE26（2020秋嘉定区期末）如图，已知矩形DEFG的边DE在ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB、AC上，ABC的高AH交GF于点l（1）求证：BDEHDHCE；（2）设DEnEF（n为正实数），求证：nBC+1AH=1EF【分析】（1）根据已知条件证明BDGABH，FECACH，对应边成比例整理即可得结；（2）根据已知条件证明AGFABC，对应边成比例即可证明结论【解析】（1）证明：四边形DEFG是矩形，GDBC，FEBC，DGEF，AHBC，GDAHFE，BDGABH，FECACH，GDAH=BDBH=BDBD+DH，FEAH=CECH=CECE+EH，GDFE，BDBD+DH=C

37、ECE+EH，BD（CE+EH）CE（BD+DH），BDEHDHCE；（2）证明：DFBC，AGFABC，GFBC=AFAC，FCAC=EFAH，GFBC+EFAH=AFAC+FCAC=AF+FCAC=1，GFDEnEF，nEFBC+EFAH=1，nBC+1AH=1EF27（2020秋奉贤区期末）如图，在四边形ABCD中，BDCB，联结AC，点E在边BC上，且CDECAD，DE与AC交于点F，CECBABCD（1）求证：ADBC；（2）当ADDE时，求证：AF2CFCA【分析】（1）通过证明ABCECD，可得CDEACBCAD，可得结论；（2）由“ASA”可证ADFDEC，可得AFCD，通过证

38、明ADCDFC，可得CDAC=CFCD，可得结论【解析】证明：（1）CECBABCD，ABEC=BCDC，又BDCB，ABCECD，CDEACB，CDECAD，DACACB，ADBC；（2）ADBC，ADFDEC，在ADF和DEC中，DAC=CDEAD=DEADF=DEC，ADFDEC（ASA），AFCD，CDEDAC，DCADCF，ADCDFC，CDAC=CFCD，CD2CFCA，AF2CFCA28（2021松江区二模）如图，已知在ABC中，BCAB，BD平分ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BEBA，过点A作AGDE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE（1）求证：四边形AFED

39、是菱形；（2）求证：AB2BGBC；（3）若ABAC，BGCE，联结AE，求SADESABC的值【分析】（1）由题目条件可证得，ABFEBF（SAS）及ABDEBD（SAS），进而可推出AFFEEDDA，可得出四边形AFED是菱形（2）根据条件，得出ABGCBA即可证明结论（3）由条件可得，DAEABC，由相似比可得SADESABC=（AEBC）2，由BE2ECBC，得到点E是BC的黄金分割点，可得出AEBC=3-52，即可得出结论【解析】（1）证明：如图，BD平分ABC，ABFEBF，BABE，BFBF，ABFEBF（SAS），AFEF，同理可得ABDEBD（SAS），ADED，ADBEDB

40、，AGDE，AFDEDF，AFDADF，AFAD，AFFEEDDA，四边形AFED是菱形（2）证明：由（1）得ABFEBF，BAGBEF，四边形AFED是菱形，ADFE，BEFC，BAGC，ABGCBA，ABGCBA，ABBC=BGAB，即AB2BGBC（3）由（2）得，ABGCBA，ABAC，AGBG，GABGBA，AGC2GAB，BGCE，BECG，CGCA，CAGCGA，CAG2DAE，DAEABC，DEAACB，DAEABC，SADESABC=（AEBC）2，AB2BGBC，ABBE，BGEC，BE2ECBC，点E是BC的黄金分割点，BEBC=5-12，CEBC=3-52，EACC，C

41、EAE，AEBC=3-52，SADESABC=7-35229（2021金山区二模）已知在ABC中，ABAC23，BAC120，ADE的顶点D在边BC上，AE交BC于点F（点F在点D的右侧），DAE30（1）求证：ABFDCA；（2）若ADED联结EC，当点F是BC的黄金分割点（FCBF）时，求SABFSFEC联结BE，当DF1时，求BE的长【分析】（1）求出B、C，证明BAFADC即可；（2）证明ABCDAE，得到对应边成比例可证ECFABF，从而SABFSECF=(BFCF)2即可得出答案；作AHBC于H，求出BC，利用ABFDCA列方程求出BD2或3，分情况画出图形分别求出BE【解析】（1

42、）证明：ABAC，BC，BAC+B+C180，BAC120，BC30，DAE30，BCDAE，ADCB+BAD，BAFDAE+BAD，BAFADC，ABFDCA；（2）ABFDCA，AFAD=BFAC，即ADAC=AFBF，ADED，DAEDEA，DEAC，DAEB，ABCDAE，ADAB=AEBC，即ADAC=AEBC，AFBF=AEBC，即AEAF=BCBF，EFAF=CFBF，EFCAFB，ECFABF，SABFSECF=(BFCF)2，点F是BC的黄金分割点（FCBF），BFCF=5-12，SABFSECF=（5-12）2=3-52；作AHBC于H，ABAC23，ABC30，BC2BH

43、，AH=12AB=3，BH=AB2-AH2=3得BC6，ABFDCA，ABCD=BFAC，即CDBFABAC，设BDx，则CD6x，DF1，BFx+1，（6x）（x+1）2323，解得x2或x3，BD2或3，当BD2时，BF3，即F为BC中点，如图：ABAC，AFBC，ADAE，AFEF，即BC垂直平分AE，BEBA23，当BD3时，D为BC中点，如图：ABAC，BAC120，DAE30，ADBC，BAD=12BAC60，BAEBAD+DAE90，作DGAE于G，AGADcos30=32，ADDE，AE2AG3，BE=AB2+AE2=21，综上所述，DF1时，BE为23或2130（2020秋普

44、陀区期末）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，ABDE，ACDF，AC与DE相交于点G，AGGC=DGGE=12，BE2（1）求BF的长；（2）设EG=a，BE=b，那么BF=4b，DF=-32a+3b（用向量a、b表示）【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求出EC，CF即可（2）证明BF4BE，DF=32GC，利用三角形法则求出GC，即可解决问题【解析】（1）ABDE，AGGC=BEEC=12，BE2，EC4，ACDF，DGGE=CFEC=12，CF2，BFBE+EC+CF2+4+28（2）ABDE，AGGC=BEEC=12，ACDF，DGGE=CFEC=12，EC2BE2CF，BF4BE，BF=4b，EC=2b，CGDF，CG：DFEG：ED2：3，DF=32GC，GC=GE+EC=-a+2b，DF=-32a+3b故答案为：4b，-32a+3b