28.1 锐角三角函数-2022-2023学年九年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）.docx

1、28.1 锐角三角函数1正弦、余弦、正切的概念如图，在ABC中，C90，A、B、C的对边分别为a、b、c.（1）A的对边与斜边的比叫做A的正弦 ，即sin A_；（2）A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，即cos A_；（3）A的对边与邻边的比叫做A的正切，即tan A_；锐角A的正弦、余弦、正切叫做A的_.2特殊角的三角函数值（1）sin 30_，cos 30_，tan 30_.（2）sin 60_，cos 60_，tan 60_.（3）sin 45_，cos 45_，tan 45_.3锐角三角函数之间的关系同一锐角的三角函数之间的关系：（1）;（2）.题型一：正弦1（2023秋河北邢台九年级校

2、考期末）如图，在44的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正弦值是（）ABCD2（2023秋山东泰安九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点，若反比例函数经过点，则的值是()AB12CD3（2023秋江苏淮安九年级校考期末）如图，已知中，D是上一点，则的值为（）ABCD3题型二：余弦4（2023秋河北邯郸九年级校考期末）如图，是半圆的直径，点O是圆心，点C是延长线的一点，与半圆相切于点D若，则的值为（）ABCD5（2023秋山东菏泽九年级校考期末）如图，在中，的垂直平分线交于，连接，若，则的长是（）A1B2C3D46（2023秋山东济南九年级

3、统考期末）如图，在45的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（）ABCD题型三：正切7（2023秋辽宁盘锦九年级校考期末）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（）ABCD8（2023秋山西临汾九年级统考期末）如图，是的中点，则的长为（）ABCD9（2023秋河南漯河九年级漯河市实验中学校考期末）如图，在矩形中，点E是的中点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，则（）ABCD题型四：特殊角的三角函数值10（2023春内蒙古包头九年级统考期末）下列运算中，值为的是（）ABCD11（2022秋河南新乡

4、九年级统考期中）下列计算错误的是（）ABCD12（2023秋河南周口九年级校考期末）计算(1)(2)题型五：由三角函数值求角13（2023秋山东泰安九年级校考期末）已知为锐角，且，则等于（）ABCD14（2022秋河南南阳九年级校考期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角的余角等于（）ABCD15（2022秋浙江金华九年级校联考期中）在中，若与 互为相反数，则等于（）ABCD题型六：三角函数的增减性16（2022秋九年级单元测试）三角函数之间的大小关系是（）ABCD17（2022秋九年级单元测试）如果锐角A的度数是25，那么下列结论中正确的是（）ABCD18（2020春四川凉山九年级

5、校考阶段练习）已知，A，B均为锐角，则A的取值范围是（）ABCD题型七：同角三角函数问题19（2021春湖南邵阳九年级邵阳市第二中学校考自主招生）已知m为实数，且，是关于x的方程的两根，则的值为（）ABCD120（2022秋河南南阳九年级统考阶段练习）在中，则的值为（）ABCD221（2022秋广东深圳九年级校考期末）如图，在ABC中，AB18，BC15，cosB，DEAB，EFAB，若，则BE长为（）A7.5B9C10D5一、单选题22（2023秋安徽合肥九年级校考期末）如图的顶点是正方形附格的格点则的值为（）AB3CD23（2023秋安徽合肥九年级校考期末）如图，在中，下列三角函数正确的是

6、（）ABCD24（2023秋上海徐汇九年级统考期末）在中，如果，那么等于（）ABCD25（2023秋山东济南九年级统考期末）计算：26（2023秋河北邯郸九年级统考期末）如图，是的高，若，(1)求边的长；(2)求的值一：选择题27（2021秋河南信阳九年级校考期末）在中，、均为锐角，且，则是（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形28（2023秋山东菏泽九年级校考期末）如图，、三点在正方形网格的格点上，若将绕点A逆时针旋转得到，则的值为（）ABCD29（2022春九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系内，以坐标原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，其中A点坐标为，为第一象限内圆上

7、一点，连接OP，则的值为（）AaBbCD30（2022秋河北邯郸九年级邯郸市第二十三中学校考期末）如图，在中，点是延长线上的一点，且，则的值为（）ABCD31（2022广东佛山校考三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点O在坐标原点，一边在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与交于点F，则的面积等于（）A30B40C60D8032（2022秋河南周口九年级校考期中）如图，在中，D是边的中点，连接，则的值为（）ABCD二、填空题33（2023秋上海青浦九年级校考期末）已知点P位于第一象限内，且与x轴正半轴夹角的正切值为2，则点P的坐标是_34（2023秋上海青浦九年级校考

8、期末）如图，在边长为1个单位的方格纸中，的顶点在小正方形顶点位置，那么的余弦值为_35（2023秋湖南邵阳九年级统考期末）计算 _（结果保留根号）36（2023秋湖南邵阳九年级统考期末）如图，中，于点D，设，则_37（2023秋河北唐山九年级校考期末）如图，是的直径，弦，相交于点P，如果，那么_38（2023秋河北九年级校联考期末）如图，折叠矩形的一边，使D落在边上的F处，且，（1）与是否相似？_（选填“是”或者“否”）（2）若，设，则：_；（用含的代数式表示）矩形的面积是_ 三、解答题39（2023秋河北石家庄九年级校考期末）如图，在中，为边上的中线，于点(1)求证：；(2)若，求的长；(3

9、)在（2）的条件下，求的值40（2023陕西西安校考一模）如图，是的直径，是的切线，点C为直线上一点，连接交于点D，连接并延长交线段于点E(1)求证：；(2)若，求O的半径41（2023秋山东泰安九年级期末）如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，相交于点，连接，已知(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径42（2023秋北京通州九年级统考期末）如图，在中，是边的中点，垂足为点E已知(1)求线段的长；(2)求的值43（2023秋河北保定九年级校考期末）如图，在中，点O在上，以点O为圆心，长为半径的圆与分别交于点D、E，且 (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求的长1

10、D【分析】根据各点的位置求出的长，判断是否是直角三角形，再根据正弦的计算方法即可求解【详解】解：如图所示，即，是直角三角形，且，的正弦值是，故选：【点睛】本题主要考查格点三角形，勾股定理，正弦值的综合，掌握格点三角形的特点，勾股定理的逆定理判断三角形，正弦的计算方法是解题的关键2B【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值【详解】解：如图，过点C作于点E，菱形的边在x轴上，点，点C坐标若反比例函数经过点C，故选：B【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，关键是求出点C坐标3C【分析】根据求得，再在中，运用

11、勾股定理求得，即可作答【详解】，在中，故选：C【点睛】本题考查了锐角的三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义4C【分析】根据切线的性质得到是直角三角形，由勾股定理求得的长度，即可得到结果【详解】解：连接，是半圆的直径，与半圆相切于点，故选：C【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，锐角三角函数的求法，作辅助线构造直角三角形是解题的关键5D【分析】由线段垂直平分线、勾股定理结合即可求解【详解】解：是的垂直平分线，故选：D【点睛】本题主要考查线段垂直平分线、勾股定理、锐角三角函数，掌握相关知识是解题的关键6A【分析】如图，过点作于，利用勾股定理求出，再根据，即可解决问题【详解

12、】解：如图，过点作于在中，故选：A【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题7C【分析】根据折叠后所形成的图形全等，利用三角函数的定义解答即可【详解】由题意可知：，设，则，在中，故选：C【点睛】本题主要考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻8B【分析】通过作高，构造出直角三角形，利用中线的性质、三角形的面积公式、锐角三角函数和勾股定理，在不同的直角三角形中求出相应的边即可【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，在中，又是的中线，在中，由，可得，在中，在中，故选：B【点睛】本题考查三角形中线的性质、三角

13、形的面积公式、锐角三角函数和勾股定理，解题的关键是通过作高构造直角三角形是解决问题常用的方法9D【分析】过点E作于点H，由折叠的性质得，由点E是的中点，得到，得到是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，可证得，可求得，据此即可求得【详解】解：过点E作于点H，由折叠的性质得：，点E是的中点， ，在矩形中，又，解得，故选：D【点睛】本题考查了图形的折叠问题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等10A【分析】根据特殊角的三角函数值和二次根式的混合运算法则逐项计算，即可判断【详解】，故A符合题意；，故B不符合题意；，故C不符合题意；，故D不符合题

14、意；故选A【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算熟记特殊角的三角函数值是解题关键11A【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算验证即可【详解】解：A，而，因此选项A符合题意；B，因此选项B不符合题意；C，因此选项C不符合题意；D，因此选项D不符合题意；故选：A【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提12(1)0(2)【分析】（1）先去绝对值、计算特殊角的三角函数值和零指数幂，再进行实数的混合运算即可作答；（2）先计算特殊角的三角函数值和负整数指数幂，再进行实数的混合运算即可作答【详解】（1）；（2）【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算

15、，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键13A【分析】根据即可得出的值【详解】解:，为锐角，故选：A【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主熟记特殊角的三角函数值是解题的关键14D【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再根据特殊角的三角函数值即可得出锐角的度数，继而得出答案【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，解得：，锐角等于，锐角的余角等于，故选：D【点睛】本题考查了根的判别式以及特殊锐角的三角函数值，熟练掌握“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键15A【分析】根据绝对

16、值和平方的非负性，相反数的意义，得到，进而求出，再利用三角形内角和定理即可得到的度数【详解】解：与 互为相反数，故选A【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，特殊三角函数值，三角形内角和定理，掌握非负性和特殊的三角函数值是解题关键16A【分析】首先把转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，又根据正切值随着角度增大而增大，因此，即可得出正确选项【详解】解：（），故选：A【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键17A【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答

17、即可【详解】解：02530故选A【点睛】本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在090间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）18D【分析】首先明确，再根据锐角范围内，余弦函数随角增大而减小进行分析【详解】，当，越大，越小，故故选D【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的增减性及特殊角三角函数值19C【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得到，再将原式变形为，再根据二倍角公式进行化简求值即可【详解】 ，是关于x的方程的两根 由一元二次方程根与系数的关系，可得

18、 故选：C【点睛】本题属于初升高题目，考查了二倍角公式的运用，一元二次方程根与系数的关系，即如果方程的两个实数根是，那么，；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商20A【分析】根据，于是设,由勾股定理得到于是得到结论【详解】解：ABC中，C90，设,，故选：A【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键21C【分析】先设DEx，然后根据已知条件分别用x表示AF、BF、BE的长，由DEAB可知，进而可求出x的值和BE的长【详解】解：设DEx，则AF2x，BF182

19、x，EFAB，EFB90，cosB，BE（182x），DEAB，x6，BE（1812）10，故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，根据平行线得到相关线段比例是解题关键22B【分析】连接，构造直角三角形，根据正切函数定义即可求出的值【详解】解：连接，则在中，故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握直角三角形的边角间关系23C【分析】根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数求出答案【详解】解：在中，由勾股定理得，所以，故选：C【点睛】本题考查勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和勾股定理24C【分析】根据解直角三角形即可求解【详解】解：如图：在中，故选：

20、C【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边25【分析】根据绝对值、特殊角的三角函数值、乘方计算即可【详解】解：【点睛】本题是实数的运算，考查了绝对值、特殊角的三角函数值、乘方，掌握这些知识是关键26(1)(2)【分析】（1）直接根据即可求出边的长；（2）先用勾股定理求出的长，即可求出的值【详解】（1）解：在中，（2），；在中，【点睛】本题考查三角函数、勾股定理等知识点，熟练运用相关知识是解题的关键27C【分析】先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可【详解】解：，在中，且，是直角三角形故选：C【点睛】

21、本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质28C【分析】根据旋转的性质得出，根据勾股定理得出，进而根据余弦的定义即可求解【详解】解：依题意，故选：C【点睛】本题考查了求余弦，旋转的性质，掌握余弦的定义是解题的关键29A【分析】由计算可知，做于点，再结合点的坐标和圆的半径相等，即可求解【详解】做于点点、点在以为圆心的圆上点在第一象限，且故答案选：A【点睛】本题主要考查余弦值的求法、圆的性质等知识点，属于基础知识考查，难度不大解题的关键是掌握余弦值的求法30D【分析】根据直角三角形的性质可得，从而得到，继而得到，即可求解【详解

22、】解：，故选：D【点睛】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键31B【分析】过点作轴于点，设，通过解直角三角形找出点的坐标，结合反比例函数图像上点的坐标特征即可求出的值，再根据四边形是菱形、点在边上，即可得出，结合菱形的面积公式即可得出结论【详解】解过点作轴于点，如图所示设，在中，点的坐标为点在反比例函数的图像上，解得，或（舍去）四边形是菱形，点在边上，故选B【点睛】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出32C【分析】根据勾股定理求得，再根据三角形函数的定义求解即可【详解】

23、解：D是边的中点，由勾股定理可得：，故选：C【点睛】此题考查了三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是掌握三角函数的定义33【分析】根据题意，画出图形，过点P作轴于A，根据正切值可知，设设，则，利用勾股定理列出方程即可求出x，从而求出，即可求出结论【详解】解：如下图所示，过点P作轴于A，由题意可知：，设，则，解得：（负值舍去），点P的坐标为 故答案为：【点睛】此题考查的是解直角三角形和求点的坐标，掌握利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形是解题关键34【分析】利用勾股定理可求出的值，利用勾股定理逆定理可得，根据余弦的定义即可得答案【详解】解：在边长为1个单位的方格纸中，的顶点在小正方形顶点位置，

24、故答案为：【点睛】本题考查网格的特征、勾股定理及余弦的定义，在直角三角形中，锐角的余弦是角的邻边与斜边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键35【分析】直接将特殊角的三角函数值代入，进而得出答案【详解】解：原式故答案为：【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键36【分析】首先证明，再由在中，求即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了直角三角形的性质，正切函数的定义，熟练掌握和运用正切函数的定义是解题的关键37#0.75【分析】连接根据同弧所对圆周角相等可得，进而证明，根据相似三角形对应边成比例得，再由直径所对的圆周角是90度得，最后根据余弦的定义可得【详解】

25、解：如图，连接和都是对应的圆周角，又，是的直径，即，故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、余弦的定义等，解题的关键是证明38 是 320【分析】(1)由矩形的性质与折叠的性质，易证得，继而证得；(2)设，则，继而求得；利用，它们的正切也相等，可将用含x的代数式表示，可求得x的值，继而求得答案【详解】解：(1)，证明：四边形是矩形，由折叠的性质可得：，； 故答案为：是；(2)，在中，设，则，；故答案为：由折的性质可得：，解得，矩形的面积是为：，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质、正切函数的定义、勾股定理，相似三角形的判定及翻折变换等有关知识，熟练掌握和运用相似三角形的

26、判定方法及翻折变换的性质是解决本题的关键39(1)见解析(2)(3)【分析】（1）先利用等腰三角形的性质证明，再由，得，即可得到结论；（2）利用勾股定理求出，再根据（1），对应边成比例，即可求出；（3）由中线的性质可得，再由，得，再利用锐角三角函数定义求解即可【详解】（1）证明：，为边上的中线，又，又，；（2）解：由（1）得，在中，即，；（3）解：，为边上的中线，【点睛】本题考查了等腰三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握各定理、性质及正切的定义是解题的关键40(1)见解析(2)3【分析】（1）由切线的性质得到，则，再由直径所对的圆周角是直角得到，则，再由等腰三角形的

27、性质和对顶角相等进行推理即可；（2）先证明，再根据正切的定义得到，证明，求出，则，在中，则，即可得到的半径为3【详解】（1）证明：是的切线，是直径，又，；（2）解：由（1）得，在中，在中，的半径为3【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等等，灵活运用所学知识是解题的关键41(1)见解析；(2)【分析】（1）连接，由，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到，求出为，即可得证；（2）设圆的半径为，利用锐角三角函数定义求出的长，再利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果【详解】（1）证明：连接，

28、在中，则为圆的切线；（2）解：设圆的半径为，在中，根据勾股定理得：，在中，根据勾股定理得：，在中，即，解得：，的半径为【点睛】此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键42(1)；(2)【分析】（1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可；（2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答【详解】（1）解：，为直角三角形，D是边的中点，；（2）解：，为直角三角形，D是边的中点，【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题43(1)直线与的位置关系是相切，见解析(2)【分析】(1)连接，证明即可(2)连接，得到，可证明，结合，得到计算即可【详解】（1）直线与的位置关系是相切理由如下：连接，是的切线（2）如图，连接，是，解得【点睛】本题考查了切线的证明，平行线分线段成比例定理，余弦函数，熟练掌握切线证明，余弦函数是解题的关键