3.3.2 空间向量的坐标表示 讲义——2022-2023学年高二上学期数学沪教版(2020)选择性必修第一册.docx

1、学生版第 3 章 空间向量及其应用3.3 空间向量的坐标表示 3.3.2 空间向量的坐标表示本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升； 因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强

2、大威力可能体会还不深刻；本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力；【学习目标】学习目标学科素养1、掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直；（重点）2、掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题；（重点、难点01、逻辑推理：空间向量的直角坐标运算；2、数学运算

3、：空间向量的直角坐标运算；3、直观想象：空间向量的直角坐标运算；【自主学习】问题导学：预习教材P103P105的内容，思考以下问题：1、类比平面向量的坐标表示与运算；2、空间向量的表示与运算及其应用； 【知识梳理】1、空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底，中，3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为 基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果xyz，则称有序实数组 为向量p的坐标，记作 其中x，y，z都称为p的坐标分量2、位置向量给定任意一个向量我们先通过平移把的起点放到坐标原点，这时得到的向量称为的位置向量；设的终点坐标是，则直接记：，并称向量的这

4、种表示法为它的坐标表示；3、空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量，满足，则有以下结论：（1）；（2）；（3）；任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离（4）；（5）当且时，；（6）非零向量，x1x2y1y2z1z20；（7）当时，存在，满足(x2，y2，z2)(x1，y1，z1)，当的每一个坐标分量都不为零时，有；【注意】遇零向量，进行检验；【思考】1、若xz，则的坐标一定是(x，y，z)吗？【解析】2、若向量(x，y，z)，则点B的坐标一定是(x，y，z)吗？【解析】3、空间向量的平行与垂直与平面向量的平行与垂直有什么关系？【解析】4、空间中三点共线的充要条

5、件是什么？【解析】【自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的打“”，错误的打“”）以原点为始点的向量的坐标和点P的坐标相同；（ ）若，则；（ ）若(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则；（ ）四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同；（ ）若(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则 a1b1a2b2a3b30；（ ）【提示】；【答案】；【解析】【说明】本题主要考查了空间向量的坐标表示与灵活运用坐标表示进行运算；2、若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则_，|_.3、已知向量(3，2，1)，(2，4，0)，则42等于 4、已知向量(1，1，0)，(1，0，2)，且k与2互

6、相垂直，则k的值是 【题型探究】题型一、建立空间直角坐标系求点的坐标例1、如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAB1；试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标【说明】用坐标法求空间点的坐标与向量的坐标，一般步骤：1、观图形：观察图形特征，寻找两条垂直的三条直线；2、建系：根据空间直角坐标系的规则要求建系；3、计算：结合向量运算用基底表示数轴上的向量坐标；4、定结果：确定点的坐标或向量的坐标；题型二、空间向量的坐标运算例2、已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(1，2，1)，(1，3，4)，(0，1，4)，(2，1，2)，设，；求：（1）；（2

7、）；（3）；【说明】1、一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；2、在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：（1）；（2）；题型三、利用空间向量的坐标运算求参数例3、若向量(1，1，x)，(1，2，1)，(1，1，1)满足条件()(2)2，则x的值为()A2 B2 C0 D1题型四、空间向量的坐标表示与平行、垂直的交汇例4、已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设，.（1）若|3，；求；（2）若k与k2互相垂直，求：k；【拓展1】(变条件)若将本例条件“若k与k2互相

8、垂直”改为“若k与k2互相平行”，求：k的值【解析】【拓展2】(变条件)若将本例条件“若k与k2互相垂直”改为“若()()与z轴垂直”，求、应满足的关系【解析】【说明】本题主要考查了空间向量的坐标表示与平行、垂直的交汇；1、向量平行与垂直问题主要有以下两种类型：一是判断平行与垂直；一是利用平行与垂直求参数或其他问题；2、解决这种问题时要注意：适当引入参数参与运算；建立关于参数的方程；准确运算；题型五、空间向量的坐标表示与夹角与距离的计算的交汇例5、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点（1）求BN的长；（2）求A1B与B1C

9、所成角的余弦值；（3）求证：BN平面C1MN.【说明】在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单；【素养提升】1、空间向量的运算注意事项（1）一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标（2）空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外（3）空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用2、解决空间向量垂直、平行问题的思路（1）若有关向量已知时，通常需要设出

10、向量的坐标例如，设向量(x，y，z)；（2）在有关平行的问题中，通常需要引入参数；例如，已知，则引入参数，有，再转化为方程组求解；（3）选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的； 类题通法在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单3、利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写出点的坐标.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.提醒：建立

11、适当的坐标系能给解题带来方便.易错防范：建立空间直角坐标系的常见失误【典例】在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，的坐标【解析】 易错防范1、建系时，误认为与垂直，从而以A为原点，以，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系导致错误；2、在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、已知向量(1，1，0)，(1，0，2)，则为（ ）A(2，3，2)B(2，3，2) C(2，3，2) D(4，3，2)2、点P到原点O的距离是（ ）A B1 C D3、

12、已知向量(1，1，0)，(1，0，2)且k与2互相垂直，则k的值是_4、已知点A的坐标为A(1,1,0)，向量(4,0,2)，则点B的坐标为 5、已知空间三点A(1,1,1)，B(1,0,4)，C(2，2,3)，则与的夹角的大小是_B级：“四能”提升训练6、下列向量中，与向量(0，0，1)平行的向量为()A(1，0，0)B(0，1，0) C(1，1，1) D(0，0，1)7、对于空间向量(1，2，3)，(，4，6)若，则实数 8、已知M(1，2，3)，N(2，3，4)，P(1，2，3)，若|3|且，则Q点的坐标为 9、已知(1,1,2)，(6，2m1，2)（1）若，分别求与m的值；（2）若|，

13、且与(2，2，)垂直，求；10、如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点（1）求BN的长；（2）求与夹角的余弦值【教师版】第 3 章 空间向量及其应用3.3 空间向量的坐标表示 3.3.2 空间向量的坐标表示本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升； 因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉

14、相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威力可能体会还不深刻；本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力；【学习目标】学习目标学科素养1、掌握空间向量运算的坐标表示

15、，并会判断两个向量是否共线或垂直；（重点）2、掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题；（重点、难点01、逻辑推理：空间向量的直角坐标运算；2、数学运算：空间向量的直角坐标运算；3、直观想象：空间向量的直角坐标运算；【自主学习】问题导学：预习教材P103P105的内容，思考以下问题：1、类比平面向量的坐标表示与运算；2、空间向量的表示与运算及其应用； 【知识梳理】1、空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底，中，3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果xyz，则称

16、有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作(x，y，z)其中x，y，z都称为p的坐标分量2、位置向量给定任意一个向量我们先通过平移把的起点放到坐标原点，这时得到的向量称为的位置向量；设的终点坐标是，则直接记：，并称向量的这种表示法为它的坐标表示；3、空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量，满足，则有以下结论：（1）；（2）；（3）；任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离（4）；（5）当且时，；（6）非零向量，x1x2y1y2z1z20；（7）当时，存在，满足(x2，y2，z2)(x1，y1，z1)，当的每一个坐标分量都不为零时，有；【注意】遇零向量，进行检验

17、；【思考】1、若xz，则的坐标一定是(x，y，z)吗？【解析】一定，当，是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是2、若向量(x，y，z)，则点B的坐标一定是(x，y，z)吗？【解析】不一定，A点与原点重合时是，不重合时不是3、空间向量的平行与垂直与平面向量的平行与垂直有什么关系？【解析】（1）类比平面向量平行、垂直：空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的（2）转化：判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直4、空间中三点共线的充要条件是什么？【解析】三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)

18、共线的充要条件是；简证：三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件为，即向量与向量共线，其坐标对应成比例，从而有；【自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的打“”，错误的打“”）以原点为始点的向量的坐标和点P的坐标相同；（ ）若，则；（ ）若(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则；（ ）四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同；（ ）若(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则 a1b1a2b2a3b30；（ ）【提示】注意理解向量的坐标表示与用好向量的坐标进行运算；【答案】；【解析】对于，根据位置向量的定义，所以，是真命题；对

19、于，当或时，与不垂直，所以，是假命题；对于，当的坐标出现0时，不成立，所以，是假命题；对于，因为都对应同一个“位置向量”，所以，坐标相同；所以，是真命题；对于，由数量积的定义得是真命题；【说明】本题主要考查了空间向量的坐标表示与灵活运用坐标表示进行运算；2、若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则_，|_.【答案】(1，1，1)；【解析】(1，1，1)，|；3、已知向量(3，2，1)，(2，4，0)，则42等于 【答案】 (8，0，4)【解析】4a(12，8,4)，2b(4,8,0)，4a2b(8,0,4)；4、已知向量(1，1，0)，(1，0，2)，且k与2互相垂直，则k的值是 【答案】；

20、【解析】由，的坐标可得k(k1，k，2)，2(3，2，2)，两向量互相垂直则0，即3(k1)2k220，解得k；【题型探究】题型一、建立空间直角坐标系求点的坐标例1、如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAB1；试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标【提示】注意理解空间直角坐标系的定义与“规则”【解析】PAABAD1，PA平面ABCD，ABAD，是两两垂直的单位向量设，以，为基底建立空间直角坐标系Axyz.方法1：()()，.方法2：如图所示，连接AC，BD交于点O.则O为AC，BD的中点，连接MO，ON，；.【说明】用坐标法求空间点的坐标与向

21、量的坐标，一般步骤：1、观图形：观察图形特征，寻找两条垂直的三条直线；2、建系：根据空间直角坐标系的规则要求建系；3、计算：结合向量运算用基底表示数轴上的向量坐标；4、定结果：确定点的坐标或向量的坐标；题型二、空间向量的坐标运算例2、已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(1，2，1)，(1，3，4)，(0，1，4)，(2，1，2)，设，；求：（1）；（2）；（3）；【提示】注意遵守空间向量的运算规则；【解析】因为A(1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，1，4)，D(2，1，2)，所以(2，1，3)，(2，0，6)（1）(2，1，3)2(2，0，6)(2，1，3)(4，0，12)(6，1，

22、9)（2）3(2，1，3)(2，0，6)(6，3，9)(2，0，6)(4，3，15)（3）242|24|2(221232)4(220262)146；【说明】1、一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；2、在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：（1）；（2）；题型三、利用空间向量的坐标运算求参数例3、若向量(1，1，x)，(1，2，1)，(1，1，1)满足条件()(2)2，则x的值为()A2 B2 C0 D1【提示】注意用好向量的坐标表示并构建与方程的联系；【答案】A；【解析】ca(1，1，1)

23、(1，1，x)(0，0，1x)，2b(2，4，2)2(1x)2，x2题型四、空间向量的坐标表示与平行、垂直的交汇例4、已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设，.（1）若|3，；求；（2）若k与k2互相垂直，求：k；【提示】注意结合题设先求出，再根据向量平行与垂直的条件列方程求解【解析】（1）因为(2，1，2)，且，所以设(2，2)，得|3|3，解得1.即(2，1，2)或(2，1，2)（2）因为(1，1，0)，(1，0，2)，所以k(k1，k，2) k2(k2，k，4)又因为(k)(k2)，所以(k)(ka2b)0，即(k1，k，2)(k2，k，4)2k2k100，

24、解得k2或k.【拓展1】(变条件)若将本例条件“若k与k2互相垂直”改为“若k与k2互相平行”，求：k的值【解析】由k与k2互相平行，得kk2，即(k1，k，2)(k2，k，4)，所以解得k0.【拓展2】(变条件)若将本例条件“若k与k2互相垂直”改为“若()()与z轴垂直”，求、应满足的关系【解析】(0，1，2)，(2，1，2)()()(2，22)，由()()(0，0，1)220，得0，即当、满足关系式0时，可使()()与z轴垂直【说明】本题主要考查了空间向量的坐标表示与平行、垂直的交汇；1、向量平行与垂直问题主要有以下两种类型：一是判断平行与垂直；一是利用平行与垂直求参数或其他问题；2、解

25、决这种问题时要注意：适当引入参数参与运算；建立关于参数的方程；准确运算；题型五、空间向量的坐标表示与夹角与距离的计算的交汇例5、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点（1）求BN的长；（2）求A1B与B1C所成角的余弦值；（3）求证：BN平面C1MN.【提示】注意根据题设适当建立空间直角坐标系；【解析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，|，线段BN的长为.（2）依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，10(1)12

26、23.又|，|.cos，.故A1B与B1C所成角的余弦值为.（3）证明：依题意得A1(1，0，2)，C1(0，0，2)，B(0，1，0)，N(1，0，1)，M，(1，0，1)，(1，1，1)，1(1)010，110(1)(1)10.，BNC1M，BNC1N，BN平面C1MN.【说明】在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单；【素养提升】1、空间向量的运算注意事项（1）一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标（2）空间向量进行坐标运算的规律是首先进

27、行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外（3）空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用2、解决空间向量垂直、平行问题的思路（1）若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标例如，设向量(x，y，z)；（2）在有关平行的问题中，通常需要引入参数；例如，已知，则引入参数，有，再转化为方程组求解；（3）选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的； 类题通法在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单3、利用向量的坐标运算求解夹

28、角和距离问题通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写出点的坐标.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.提醒：建立适当的坐标系能给解题带来方便.易错防范：建立空间直角坐标系的常见失误【典例】在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，的坐标【解析】分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A，A1，B1，C1，所以 (0,0,2)，（，2）易错

29、防范1、建系时，误认为与垂直，从而以A为原点，以，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系导致错误；2、在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、已知向量(1，1，0)，(1，0，2)，则为（ ）A(2，3，2)B(2，3，2) C(2，3，2) D(4，3，2)【答案】B；【解析】3(1,1,0)(1,0,2)(3,3,0)(1,0,2)(2,3,2)；2、点P到原点O的距离是（ ）A B1 C D【答案】B；3、已知向量(1，1，0)，(1，0，2)且k与2互相垂直，则k的值是_【答案】；【解析】由于kk

30、(1，1，0)(1，0，2)(k1，k，2)，22(1,1,0)(1,0,2)(3,2，2)，因为两向量互相垂直，则有(k1)3k22(2)0，解得k；4、已知点A的坐标为A(1,1,0)，向量(4,0,2)，则点B的坐标为 【答案】(9，1，4)；【解析】由条件可知(8,0,4)，设B(x，y，z)则，解得故点B的坐标为(9,1,4)；5、已知空间三点A(1,1,1)，B(1,0,4)，C(2，2,3)，则与的夹角的大小是_【答案】120；【解析】由于(2，1,3)，(1,3，2)，所以(2)(1)(1)33(2)7，|，|，所以cos cos，则120；B级：“四能”提升训练6、下列向量中

31、，与向量(0，0，1)平行的向量为()A(1，0，0)B(0，1，0) C(1，1，1) D(0，0，1)【答案】D；【解析】方法1：比较各选项中的向量，观察哪个向量符合a(0,0，)的形式，经过观察，只有ea.方法2：向量a(0,0,1)的横、纵坐标都是0，所以向量az轴，经过观察易得只有e(0,0，1)的横、纵坐标也都是0；7、对于空间向量(1，2，3)，(，4，6)若，则实数 【提示】利用向量共线充要条件【答案】2【解析】因为空间向量a(1,2,3)，b(，4,6)，若ab，则，所以2；8、已知M(1，2，3)，N(2，3，4)，P(1，2，3)，若|3|且，则Q点的坐标为 【答案】 (

32、4，1，6)或(2，5，0)【解析】设Q(x，y，z)，则(x1，y2，z3)，(1,1,1)，所以，解得，或所以，Q点的坐标为(4，1，6)或(2，5，0)9、已知(1,1,2)，(6，2m1，2)（1）若，分别求与m的值；（2）若|，且与(2，2，)垂直，求；【解析】由，得(1，1，2)k(6，2m1，2)，所以，解得所以，实数，m3.（2）因为，|，且，所以，化简，得解得1.因此，(0,1，2)10、如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点（1）求BN的长；（2）求与夹角的余弦值【解析】如图，以，为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz（1）依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，|，线段BN的长为（2）依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0,1,0)，B1(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)，10(1)1223又|，|，cos，即与夹角的余弦值为