4.1 平方根与立方根【九大题型】（举一反三）（苏科版）（教师版）.docx

1、专题4.1 平方根与立方根【九大题型】【苏科版】【题型1 平方根、立方根的概念及表示】1【题型2 平方根性质的运用】3【题型3 开平方、开立方的运算】4【题型4 利用开平方、开立方解方程】6【题型5 算术平方根的概念及非负性】8【题型6 开方运算中的小数点移动规律】9【题型7 平方根与立方根综合】11【题型8 算术平方根、立方根的应用】13【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】14【知识点1 平方根的概念及表示】定义：如果x2=a(a0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作-a，正数a的两个平方根记作a，读作正、负根号a，其中a叫做被开方

2、数.【知识点2 立方根的概念及性质】（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.【题型1 平方根、立方根的概念及表示】【例1】（2022春海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（）AaBa2+1Ca2Da21【分析】根据平方根的被开方数不能是负数，可得答案【解答】解：在a，a2+1，a2，a21中，a21是负数，没有平方根故选：D【变式1-1】（2022春鞍山期末）下列说法正确的是（）A1是1的平方根B1是-1的平方根C1是1的立方根D1没有立方根

3、【分析】根据平方根和立方根的概念与性质进行辨别即可【解答】解：1都是1的平方根，选项A符合题意；-1没有平方根，选项B符合题意；1的立方根是1，选项C不符合题意；1的立方根是1，选项D符合题意，故选：A【变式1-2】（2022春应城市期末）下列各式中，正确的是（）A-9=3B3-27=-3C318=12D38=-2【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题【解答】解：A-9无意义，故A不符合题意B3-27=-3，故B符合题意C318=12，故C不符合题意D38=2，故D不符合题意故选：B【变式1-3】（2022春高安市期中）下列叙述中，错误的是（）A0只有一个平方根B若x23，则x3

4、C64的立方根是2D512的立方根是8【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案【解答】解：A、0只有一个平方根，故A不符合题意B、若x23，则x3，故B不符合题意C、64=8，8的立方根是2，故C不符合题意D、512的立方根是8，故D符合题意故选：D【知识点3 平方根的性质】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根【题型2 平方根性质的运用】【例2】（2022春临洮县期中）一个正数x的两个平方根分别是2a1与a+2，求a的值和这个正数x的值【分析】正数x有两个平方根，分别是a+2与2a11，所以a+2与2a1互为相反数；即a+2+2a10解答可求出a；根

5、据x（a+2）2，代入可求出x的值【解答】解：正数x有两个平方根，分别是a+2与2a1，a+2+2a10解得a1所以x（a+2）2（1+2）29【变式2-1】（2022工业园区期中）一个正数M的两个平方根分别是2a+3和2b1，求（a+b）2022【分析】利用正数的平方根有2个，且互为相反数求出a+b的值，代入原式计算即可得到结果【解答】解：根据题意得：2a+3+2b10，整理得：a+b1，则原式1【变式2-2】（2022春孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b（1）当b8时，m的值是4；（2）若m2x+（m+b）2x4，则x2【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值；

6、（2）利用平方根的定义得到（m+b）2x，m2x，代入式子m2x+（m+b）2x4即可求出x值【解答】解：（1）正实数x的平方根是m和m+bm+m+b0，b8，2m+80m4；（2）正实数x的平方根是m和m+b，（m+b）2x，m2x，m2x+（m+b）2x4，x2+x24，x22，x0，x=2故答案为：（1）4；（2）2【变式2-3】（2022春建安区期中）若a是（4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（）A8B0C8或0D4或4【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求解即可【解答】解：a是（4）2的平方根，a4b的一个平方根是2，b4当a

7、4，b4时，a+b8；当a4，b4时，a+b0故选：C【知识点4 开平方】求一个数的平方根的运算叫做开平方【知识点5 开立方】求一个数的立方根的运算，叫做开立方.【题型3 开平方、开立方的运算】【例3】（2022春雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a2020，b2020【分析】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题【解答】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是m，m32020，（m）3a，a2020；又n的平方根是2020和b，b2020故答案为：2020，2020【变式3-1】（2022春绥棱县期末）已知x、y为实数，且满足1+x+1-y=0，那么x

8、2022y20220【分析】根据1+x+1-y=0，且1+x与1-y均大于等于0，以此解出x、y值进而计算出结果【解答】解：1+x+1-y=0，且1+x与1-y均0，1+x0，1y0，得x1，y1，x2022y2022（1）202212022110，故答案为：0【变式3-2】（2022春五常市期末）1106的平方根是 11000，27的立方根是 3【分析】根据平方根、立方根的定义进行计算即可【解答】解：1106的平方根为1106=1103=11000；27的立方根为3-27=-3，故答案为：11000，3【变式3-3】（2022春龙岩期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的

9、y是（）A22B2C2D2【分析】直接利用立方根以及算术平方根、无理数的定义分析得出答案【解答】解：由题意可得：64的立方根为4，4的算术平方根是2，2的算术平方根是2，即y=2故选：C【题型4 利用开平方、开立方解方程】【例4】（2022靖江市期末）求出下列x的值：（1）4x290；（2）8（x+1）3125【分析】（1）移项，把二次项系数化为1，开平方求出x；（2）把二次项系数化为1，开立方求出x【解答】解：（1）4x290，4x29，x2=94，x1=32，x2=-32；（2）8（x+1）3125，（x+1）3=1258，x+1=52，x1.5【变式4-1】（2022春阆中市期中）（1）

10、已知4（x3）264，求x的值（2）已知（x+1）3+270，求x的值【分析】（1）根据题意可化为（x3）216，根据平方根的定义可得x3=16，计算即可得出答案；（2）根据题意可化为（x+1）327，根据立方根的定义可得x+1=3-27，计算即可得出答案【解答】解：（1）4（x3）264，（x3）216，x3=16，x34，x34或x34，x7或x1；（2）（x+1）3+270，（x+1）327，x+1=3-27，x+13，x4【变式4-2】（2022春安陆市期中）求x的值：（1）2x250；（2）（x+1）3+3=-38【分析】（1）根据等式的性质以及平方根的定义就求出答案；（2）根据等式

11、的性质以及立方根的定义即可求出答案【解答】解：（1）2x250，两边都除以2得，x225，根据平方根的定义得，x5；（2）（x+1）3+3=-38，移项得，（x+1）3=-38-3，合并同类项得，（x+1）3=-278，根据立方根的定义得，x+1=-32，解得x=-52【变式4-3】（2017秋金牛区校级月考）解方程：若（x1）218，则x2或4；若x3-827=0，则x23【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出x的值；（2）方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出x的值【解答】解：（1）（x1）218，（x1）29，x13，x2或4；（2）x3-827=0，x3=827，x=23故答案

12、为：2或4；23【知识点6 算术平方根的概念】正数a有两个平方根a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a的算术平方根【知识点7 算术平方根的性质】正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.当a0时，a2=a；算术平方根具有双重非负性：a0；a0.【题型5 算术平方根的概念及非负性】【例5】（2022春饶平县校级期末）(x2+4)2的算术平方根是（）A（x2+4）4B（x2+4）2Cx2+4Dx2+4【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2a，则x就是a的平方根我们把正的平方根叫a的算术平方根，由此即可求出(x2+4)2的算术平方根【解答】解：

13、(x2+4)2=x2+4，(x2+4)2的算术平方根是x2+4故选：D【变式5-1】（2022春巴彦县期末）若x5有算术平方根，则x满足的条件是 x5【分析】根据非负数有平方根列式求解即可【解答】解：根据题意得，x50，解得x5，故答案为：x5【变式5-2】（2022春宁县期末）若7-x为整数，x为正整数，则x的值为 3或6或7【分析】根据算术平方根的定义解决此题【解答】解：由题意得，7x0x7x为正整数，x可能为1、2、3、4、5、6、77-x为整数，x3或6或7故答案为：3或6或7【变式5-3】（2022春椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算

14、术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”例如：9，4，1这三个数，(-9)(-4)=6，(-9)(-1)=3，(-4)(-1)=2，其结果6，3，2都是整数，所以1，4，9这三个数称为“完美组合数”（1）18，8，2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由（2）若三个数3，m，12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；（2）分两种情况讨论：当-3m=12时，当-12m=12时，分别计算即可【解答】解：（1）18，8，2这三个数是“完

15、美组合数”，理由如下：(-18)(-8)=12，(-18)(-2)=6，(-8)(-2)=4，18，8，2这三个数是“完美组合数”；（2）(-3)(-12)=6，分两种情况讨论：当-3m=12时，3m144，m48；当-12m=12时，12m144，m12（不符合题意，舍）；综上，m的值是48【题型6 开方运算中的小数点移动规律】【例6】（2022春遵义期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根a的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为a0.06250.6256.2562.5625625062500625000a 0.250.791mn2579.1250791（注：表中部分数

16、值为近似值）（）Am0.025，n7.91Bm2.5，n7.91Cm7.91，n2.5Dm2.5，n0.791【分析】根据二次根式的乘法法则以及算术平方根的定义解决此题【解答】解：由题意得，0.0625=0.25，0.6250.791，6.25=m，62.5=n6.25=0.0625100=0.062510=0.25102.5，62.5=0.625100=0.625100.791107.91，m2.5，n7.91故选：B【变式6-1】（2022乐清市校级期中）（1）填表：a0.0000010.0011100010000003a 0.010.1110100（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这

17、个规律被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动1位；（3）根据你发现的规律填空：已知33=1.442，则33000=14.42；已知30.000456=0.07696，则3456=7.696【分析】（1）开立方运算，然后填表即可；（2）根据表格信息，可得答案；（3）根据（2）的规律求解即可【解答】解：（1）如表格所示；（2）被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动1位；（3）已知33=1.442，则33000=14.42；已知30.000456=0.07696，则 3456=7.696；【变式6-2】（2022春岳麓区校级期中）已知25.365.03

18、587，253.615.92482，则253600503.587（结果保留3位小数）【分析】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可【解答】解：25.365.03587，253600 =25.36104，=25.36104，5.03587100，503.587故答案为：503.587【变式6-3】（2022无棣县期末）先填写下表，观察后回答下列问题：a0.00100.001110003a 0.101（1）被开方数a的小数点位置移动和它的立方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律（2）已知：3a=-

19、50，30.125=0.5，你能求出a的值吗？【分析】（1）首先依据立方根的定义进行计算，然后依据计算结果找出其中的规律即可；（2）依据规律进行计算即可【解答】解：填表结果为0.1，10；（1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，立方根的小数点向左（或向右）移动1位；（2）能求出a的值；30.125=0.5，3-0.125=-0.5，由0.5和50，小数点向右移动了2位，则0.125的小数点向右移动6位，a125 000【题型7 平方根与立方根综合】【例7】（2022春海珠区校级期中）一个正数m的两个平方根分别为13a和a+5，则这个正数m的立方根是4【分析】一个正数的两个平方

20、根互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程求出a，再求出平方根，然后根据平方根的平方求出m，最后求m的立方根【解答】解：根据题意，得：（13a）+（a+5）0，13a+a+50，3a+a15，2a6，a3a+53+58，m8264，64的立方根为4故答案为：4【变式7-1】（2022春海珠区期末）若实数5x+19的立方根是4，则实数3x+9的平方根是 6【分析】根据立方根的定义列出方程求出x，然后求出3x+9的值，最后求它的平方根即可【解答】解：5x+19的立方根是4，5x+194364，x9，3x+939+936，36的平方根为6，故答案为：6【变式7-2】（2022春兴仁市月考

21、）已知A=m-2n-m+3是nm+3的算术平方根，B=m-2n+3m+2n是m+2n的立方根，求BA的平方根【分析】首先利用算术平方根的定义以及结合立方根的定义得出n，m的值，进而利用平方根的定义求出答案【解答】解：由题意得：m22，m2n+33，解得：m4，n2，则A=2-4+3=1，B=34+22=2，BA211，则BA的平方根为：1【变式7-3】（2022兴化市月考）若a、b满足a29，b38，则ab的值为 5或1【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案【解答】解：由题意可知：a3，b2，当a3时，原式3（2）3+25当a3时，原式3（2）1故答案为：5或1【题型8 算术平方根、立方

22、根的应用】【例8】（2022桥西区校级期中）解答下列应用题：（1）某房间的面积为17.6m2，房间地面恰好由110块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？（2）已知第一个正方体水箱的棱长是60cm，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？【分析】（1）先求出一块地砖的面积，再求出边长即可；（2）先求出第一个正方体水箱的体积，再根据第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，求出第二个水箱的棱长，进而求出表面积即可【解答】解：（1）每块地砖的面积为：17.61100.16（m2），所以正方形地砖的边长为

23、：0.16=0.4（m）答：每块地砖的边长是0.4m；（2）由题意可知，第一个正方体水箱的体积为：603216000（cm3），所以第二个正方体水箱的体积为：3216000+81000729000（cm3），所以第二个正方体水箱的棱长为：3729000=90（cm），所以需要铁皮9090648600cm24.86m2【变式8-1】（2022秋沂源县期末）有一个底面为正方形的水池，水池深2m，容积为11.52m3，则此水池底面正方形的边长为（）A2.4mB4.2mC9.25mD13.52m【分析】设水池底面正方形的边长为xm，由题意得2x211.52，再根据算术平方根的定义求得x2.4【解答】解

24、：设水池底面正方形的边长为xm由题意得，2x211.52x2.4此水池底面正方形的边长为2.4 m故选：A【变式8-2】（2022南安市校级月考）要制造一个长方体箱子，底面为正方形，体积为0.25m3，且长方体的高是底面边长的2倍（1）求长方体的底面边长；（2）求长方体的表面积【分析】（1）设出地面边长，然后根据高是底面边长的2倍表示出高，利用正方体的体积公式求得底边长即可；（2）利用其表面积的计算方法求得其表面积即可【解答】解：（1）设底面边长为xm，则高为2x（m），则x22x0.25解得：x0.5，故长方形的底面边长为0.5m；（2）S全2S底+4S侧20.25+40.52.5m2【变式

25、8-3】（2022春奈曼旗期中）小明打算用一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为588cm2桌面，并且的长宽之比为4：3，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由【分析】根据长方形的面积，可得一个元二次方程，根据解方程，可得长方形的边长，根据长方形的边长与正方形的边长的比，可得答案【解答】解：能做到，理由如下设桌面的长和宽分别为4x（cm）和3x（cm），根据题意得，4x3x58812x2588 x249，x0，x=49=7 4x4728 （cm） 3x3721（cm）面积为900cm2的正方形木板的边长为30cm，28cm30cm能够裁出

26、一个长方形面积为588 cm2并且长宽之比为4：3的桌面，答：桌面长宽分别为28cm和21cm【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】【例1】（2022春崇川区校级期中）将1、2、3、6按如图方式排列若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（12，3）表示的两数之和是 1+2【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数第三排3个数，第四排4个数，第m1排有（m1）个数，从第一排到（m1）排共有：1+2+3+4+（m1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算【解答】解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是2，

27、前11排共有1211（11+1）66（个）（12，3）表示第12排从左向右第3个数是第69个数，每4个数一个循环，694171，（12，3）表示的数是1，两数之和是1+2故答案为：1+2【变式1-1】（2022春青山区期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：13；13+23；13+23+33；13+23+33+43，观察你计算的结果，用你发现的规律写出下面式子的值：13+23+33+263=351【分析】先计算出前4个式子的值，据此得出13+23+33+n3=1+2+3+n，据此求解可得【解答】解：13=1；13+23=31+2；13+23+33=61+2+3；13+23+33+43=101

28、+2+3+4，13+23+33+263=1+2+3+26=(1+26)262=351，故答案为：351【变式1-2】（2022春孝义市月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根华罗庚脱口而出：39邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘华罗庚给出了如下方法：（1）由1031000，10031000000，确定359319是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定359319个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而3327，4364，由此确定359319十位上的数是3请你类比上述过

29、程，确定21952的立方根是 28【分析】根据题目提供的方法，类推确定21952的立方根【解答】解：（1）由1031000，10031000000，确定321952是两位数；（2）由21952个位上的数是2，确定321952个位上的数是8；（3）划去21952后面的三位952得到21，而238，3327，由此确定321952十位上的数是2，所以321952=28，故答案为：28【变式1-3】（2022春越秀区校级期中）将一组数3，6，9，12，180，按下面的方式进行排列：3，6，9，12，15，1821，24，27，30，33，36 若12的位置记为（1，4），24的位置记为（2，2），则这组数据中最大的有理数的位置记为 （8，6）【分析】观察数据的规律为3的倍数的算术平方根，6个为一排，共10列，其中最大的有理数应该为12，据此规律解答即可【解答】解：这组数据是3的倍数的算术平方根，其中最大的有理数是144=12，又144在第八行第六列，这组数据中最大的有理数144的位置记为（8，6），故答案为：（8，6）