5.2 导数的运算（解析版）.docx

1、5.2 导数的运算一、基本初等函数的导数函数导函数函数导函数(c是常数)(为实数)特别地特别地二、导数的运算法则1、加减法：2、乘法：3、除法：三、复合函数的导数1、复合函数的概念一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作.2、复合函数的求导法则一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.规律：从内到外层层求导，乘法连接。3、求复合函数的导数的步骤第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；第三步相乘：把上述求导的结果相乘；第四步变

2、量回代：把中间变量代回。4、求复合函数的导数注意以下几点：（1）分解的函数通常为基本初等函数；（2）求导时分清是对哪个变量求导；（3）计算结果尽量简洁。四、导函数的常用结论1、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数周期函数的导数还是周期函数2、函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”题型一 求简单函数的导数【例1】求下列函数的导数.（1）； （2）； （3）； （4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1），则（2），则（3），则（4），则【变式1-1】求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）【答案

3、】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因为，所以，即；（2）因为，则.（3）因为，所以.【变式1-2】下列运算正确的个数是（ ）； ； ； .A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】，所以该运算错误；，所以该运算错误；，所以该运算正确；，所以该运算正确.所以正确的个数为2.故选：B.【变式1-3】函数的导函数为_【答案】【解析】由得，故答案为：【变式1-4】设，则（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意得，又因为，故，故选：B题型二 求复合函数的导数【例2】函数的导数为（ ）A B C D【答案】B【解析】令，则故选：B【变式2-1】（多选）下列求导运算正确的是（ ）A若，则B若，则C若，

4、则D若，则【答案】AD【解析】A，因为，所以，故正确；B，因为，所以，故错误；C，因为，所以，故错误；D，因为，所以，故正确.故选：AD.【变式2-2】求下列函数的导数：（1）； （2）； （3）； （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）设，则（2）设，则（3）设，则（4）设，则【变式2-3】求下列函数的导数：（1）； （2）； （3）； （4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）（2）因为，所以（3）.（4）题型三 求导数值问题【例3】已知函数，则的值为（ ）A B1 C D2【答案】B【解析】因为，所以，所以，解得故选：B【变式3-1】已知函数的导数为

5、，且满足，则（ ）A B C D【答案】A【解析】，解得：，.故选：A.【变式3-2】已知函数，则（ ）A B0 C1 D2【答案】C【解析】因为，故可得，令，则，故，则.故选：.【变式3-3】已知，则的值为（ ）A B C D【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以，故选：A题型四 求切线的方程或斜率【例4】曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】有题意可得：，当时，所以曲线在点处的切线方程为.【变式4-1】已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围【答案】【解析】函数的导数为因为，所以，所以，即；因为，所以，即【变式4-2】过点且与曲线相切的直线方程为_【答

6、案】或【解析】由题意，设切点坐标为，则，又由函数，可得，可得，所以，根据斜率公式和导数的几何意义，可得，即，解得或，所以切线的斜率为或，所以切线方程为或，即或.故答案为：或.【变式4-3】过点且与曲线相切的直线共有_条.【答案】2【解析】设切点的坐标为，因为，所以切线的方程为，将代入方程整理得，解得或.故切线方程为或，即过点且与曲线相切的直线共有2条.故答案为：题型五 利用切线求参数问题【例5】已知函数，在点处的切线与直线平行，则的值为_.【答案】【解析】因为，所以，所以，即函数在点处切线的斜率为，因为切线与直线l平行，所以，即.【变式5-1】已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数_【答案】【

7、解析】直线的斜率为：，故切线的斜率为2，解得【变式5-2】已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）A0 B C0或 D或【答案】D【解析】,，设切点分别为，则曲线的切线方程为：，化简得，曲线的切线方程为：，化简得，故，解得e或.当e，切线方程为，故.当，切线方程为，故，则.故的取值为或.故选：D【变式5-3】函数与的图像有且只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）A B C或 D或或【答案】C【解析】过定点，且在上，又，则，在处的切线斜率为，结合图象可得：当时，与的图像有且只有一个公共点，则符合题意；当时，与的图像有两个公共点，则不符合题意；当时，与的图像有且只有一个公共点，则符合题

8、意；当时，与的图像有两个公共点，则不符合题意；综上所述：实数的取值范围为或.故选：C.题型六 利用相切关系求最值距离【例6】函数图像上的点到直线的最小距离为_【答案】【解析】根据函数图象，只需寻找与直线平行的直线与相切，切点到直线的距离就是函数图像上的点到直线的最小距离，由题，令，则到直线的距离最小，最小距离为.【变式6-1】若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为_.【答案】【解析】由已知，设点曲线上一点，则有，因为，所以，所以，所以曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，即要求得曲线上任意一点，到直线的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即，解得或（舍去），此时，以点为切点，曲

9、线的切线方程为：，此时，切点为曲线上距离直线最近的点，即点与点重合，最小距离为直线与直线之间的距离，设最小距离为，所以.故答案为：.【变式6-2】已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若P，Q分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为_【答案】【解析】令，则，因为与关于直线对称，所以函数与函数关于直线对称，所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，函数在点处的切线斜率为，令得，所以点P到直线距离的最小值为，所以这两点之间距离的最小值为【变式6-3】设，则的最小值为_【答案】【解析】由两点距离公式的几何意义可知表示点到的距离，表示点到的距离，而是上的点，是上的点，是上的点，且与关于直线对称，所以的最小值可转化为图像上的动点与图像上的动点最小距离，显然，与平行的切线的切点，和与平行的切线的切点，它们之间的距离就是所求最小距离，对于，设切点为，有，则，故，则，故，对于，设切点为，有，则，故，则，故，所以，所以题设式子的最小值为.故答案为：.