5.3.2 诱导公式的应用教学设计（第2课时）（韩丽英）-高中数学新教材必修第一册小单元教学 专家指导（视频 教案）.docx

1、5.3.2 诱导公式的应用（第2课时）（一）教学内容诱导公式五、六（的正弦、余弦和正切）（二）教学目标1、从三角函数的定义出发，借助单位圆的对称性，能推导的正弦、余弦和正切，发展直观想象、逻辑推理素养2、通过分析公式五、公式六之间的关系，以及公式一公式六之间的联系，形成诱导公式的整体架构，能利用诱导公式进行三角函数式的化简、求值与证明，发展数学运算的素养（三）教学重点及难点：1、重点诱导公式五、六的探究2、难点终边关于对称的两个角之间的关系（四）教学过程设计问题1：上一节课，我们研究了公式二公式四，你能说说我们是如何得到这些公式的吗？师生活动：学生发言回顾公式二公式四的研究方法、研究路径，教师

2、适时补充完善追问：两个角的终边除了关于原点、x轴和y轴对称外，你认为还有哪些对称关系值得研究？你打算怎样研究？师生活动：上节课已经埋下伏笔，学生交流后确定值得研究的问题：两个角的终边关于对称时，这两个角的三角函数之间的关系，研究方法与前面类似设计意图：通过回顾公式二公式四的研究内容、研究路径，为研究公式五、六做好思想方法的准备，通过追问，引导学生发现和提出值得研究的问题，培养发现和提出问题的能力问题2：你能类比公式二公式四的研究过程，探究终边关于直线对称的两个角的三角函数的关系吗？师生活动：学生类比公式二公式四的研究过程画图独立思考尝试：在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点P1，作P1

3、关于直线的对称点P5（1）以OP5为终边的角为与角有什么关系？（2）角与角的三角函数值之间有什么关系？这里作P1关于直线y=x的对称点P5，确定以OP5为终边的角时，学生可能只画一种情况（如图一），以为终边的角都是与角终边相同的角，即因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可追问1：提醒学生可以画终边在不同象限（或坐标轴上）的角（如图二），观察是否仍然成立？图一 图二 图三师生活动：这里可以采用验证的方法：先将与x轴非负半轴重合的射线绕原点旋转，旋转方向与角的方向相反，大小与相等，得到角的终边，再将逆时针旋转到，可以发现与OP1关于直线y=x对称因此，与角终边关于直线y=x对称的角始终有的关

4、系追问2：角的关系已经有了，那直角坐标系中关于直线y=x对称的两个点P1与P5的坐标之间有什么关系呢？师生活动：学生分小组讨论，可以就图一先猜想点P1（x1，y1）与点P5（x5，y5）关于y=x对称，那么有x5= y1，y5= x1引导学生利用全等知识对图一进行证明：如图三，作P1关于y轴的垂线，P5关于x轴的垂线，由于P1与P5关于y=x对称，我们可以证明图中的两个三角形全等，因此对应边相等，将长度转化为坐标关系，就有x5= y1，y5= x1对于终边的其他的不同位置，同学们课后可以去证明它们的坐标依然有这种等量关系.追问3：最后角与角的三角函数值有什么关系？师生活动：学生独立思考写出诱导

5、公式五.公式五：.设计意图：此处与第一课时的公式二的研究方法相同，不同之处在于对称轴变为直线，增加了推导的难度将难点细化为问题串，引导学生逐个击破，经历推导公式的过程，培养学生转化与化归的思想，提升直观想象与逻辑推理素养问题3：作关于y轴的对称点，又能得到什么结论？（1）以为终边的角与角有什么关系？（2）角的终边与角的终边具有怎样的关系？（3）与的坐标之间有什么关系？与P1的坐标之间又有什么关系呢？（4）角与角的三角函数值之间又有什么关系？师生活动：给出问题后，学生先类比问题2的解决方法独立思考，然后交流，教师适时补充完善（1）以为终边的角都是与角终边相同的角，即只要探究角与的三角函数值之间的

6、关系即可（2）轴对称角度：角的终边首先关于直线作对称，再关于y轴作对称，就得到的终边旋转角度：角的终边逆时针旋转角，就得到角的终边（3）通过观察易得：；（4），（公式六）追问：你能不能从代数变换角度，利用已有公式直接推出公式六？师生活动：学生独立思考得出：；设计意图：基于公式五的背景增加新的研究条件，提出问题，有利于培养学生发现与提出问题的能力这里的重点是利用前面的学习经验，通过适当的几何变换、坐标变换，得出角与角的关系，以及点与、P1的坐标之间的关系，让学生进一步熟悉研究的一般方法通过追问，引导学生用不同的方法推导公式，从不同的角度认识公式，建立公式之间更紧密的联系，提升对诱导公式整体性的认

7、识，为灵活运用公式解决问题打下基础提升直观想象、逻辑推理素养问题四：例1 证明：（1）； （2）.师生活动：学生类比上一个问题的解决方法自行完成：证明：（1） （2）追问1：观察题目，发现题目的特征，并总结解决此类问题的思想方法师生活动：学生思考、总结：题目中的所求角与诱导公式中的角有着特殊的关系，可以将所求角转化为公式中我们熟悉的角，进而利用诱导公式解决问题例2 化简师生活动：学生选择合适的公式自行完成：解：原式 追问2：总结解决此类问题的思想方法师生活动：学生思考、总结：与第一课时利用诱导公式化简的方法一致，选择合适的公式，按照“负化正，大化小，化到锐角为终了”的步骤进行化简例3 已知，且

8、，求的值师生活动：学生自行完成可能有困难，教师给予适当的引导：追问3：题目中已知为，所求为，它们中的两个角有关系吗？师生活动：学生发现，由此可转化为，就可以使用诱导公式解决问题了解：因为，所以由诱导公式五，得因为，所以由，得所以，所以追问4：总结解决此类问题的思想方法师生活动：学生思考、总结：此类问题的解题关键是：发现所求角与已知角之间的特殊关系，将所求角用已知角表示，进而运用诱导公式解决问题设计意图：三道例题，分别是证明、化简、求值在三道例题的求解过程中，都要注意数学运算素养的培养例1例2较为简单，重点放在恰当的选择公式上例3的难点在于学生观察不到已知和所求中两个角的特殊关系，所以本例的重点

9、是引导学生观察角之间的特殊关系上，意图渗透转化与化归的数学思想，最终形成解决一类问题的思维方法，渗透算法思想问题5：回忆本节课的学习内容，回答下面的问题：（1） 探索诱导公式，我们经历了怎样的过程？用了哪些数学思想方法？（2） 公式一公式六有怎样的结构？一般可以按怎样的顺序运用这些公式？（3） 诱导公式数量很多，你觉得用什么方法可以达到不仅有效记忆，而且能灵活运用的效果？师生活动：学生思考后进行交流，教师教师在学生回答的基础上进行适当归纳（1） 诱导公式的探究过程可以归结为：单位圆的对称性角与角的关系对称点的坐标间的关系三角函数值之间的关系探究诱导公式的过程，使用了非常丰富的数学思想方法，如对

10、称变换（包括中心对称，轴对称），坐标变换，数形结合的思想，转化与化归的思想，算法思想等（2） 从变换的观点出发，公式一公式六的结构可以这样来看：公式一公式四是同名三角函数之间的变换，公式五、公式六是正弦函数与余弦函数之间的变换诱导公式的运用顺序：是以将角的范围变到为目的，具体顺序为“负化正，大化小，化到锐角为终了”（3） 公式的记忆建立在理解的基础上，要强调以单位圆为载体，数形结合地进行记忆设计意图：从诱导公式所研究的问题、过程、方法和公式的整体架构以及涉及到的数学思想等角度进行梳理，并注意从不同视角进行分析和总结，从而达成对公式的结构化认识目标检测设计1、用诱导公式求下列三角函数值（1）；（2）；（3）答案：（1）；（2）；（3）2、证明：方法一：；方法二：3、求值：已知，且，求和的值解：因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，所以，设计意图：检测学生恰当选择公式进行三角函数化简、求值的掌握情况布置作业：1教科书P194练习2(1)(3)(4)，3；2教科书习题5.3第5，6，8，9，10题