5.6 函数y=Asin(ωx ψ)（基础知识 基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）.docx

1、5.6 函数y=Asin(x+)（基础知识+基本题型）知识点一 对函数图象的影响1、对函数的图象的影响正弦函数的图象向左（右）平移个单位长度即可得到函数的图象。其中，当时，正弦函数图象向左平移；当时，正弦函数图象向右平移。可简记为：左加右减“。这种变换属于平移变换，只改变图象的位置，不改变其大小，可表示为【拓展】（1）当时，函数的图象向右平移个单位长度即可得的图象。（2）当时，函数的图象向左平移个单位长度即可得的图象。（3）当时，函数的图象可由得图象向右平移个单位长度即可得的图象。2、对函数的图象的影响函数的图象上所有点的横坐标缩短（或伸长）到原来的倍即可得到函数的图象。其中，当时，所有点的横

2、坐标缩短到原来的倍；当时，所有点的横左边伸长到原来的倍。这种图象变换属于伸缩变换，其横坐标发生改变的同时，纵坐标并未发生任何变化，可表示为【提示】由于正弦函数为周期函数，的变化只引起图象上点的横坐标的变化，故影响的周期。由于周期的变化，也就导致了函数与函数的图象的不同，因此这一变换通常也叫周期变换。3、A（A0)对函数的图象的影响函数的图象上所有点的纵坐标伸长（或缩短）到原来的A倍即可得到函数的图象。其中，当A1时，上的所有点的纵坐标伸长为原来的A倍；当0A1时，上的所有点的纵坐标缩短到原来的A倍。在纵坐标伸长或缩短的过程中，横坐标未发生变化，其图象变化可以表示为【辨析】（1）对函数的图象的影

3、响是它引起了图象上点的横坐标的变化，而纵坐标未发生变化，即引起的是函数的周期变化。（2）A对函数的图象的影响是它引起了图象上点的纵坐标的变化，而横坐标未发生变化，即A引起的是函数的振幅变化。（3）A，同时影响的单调性。知识点二 由的图象到的图象的变换过程由的图象到的图象的变换过程可由两种方式表示，其一为先平移后伸缩，其二为先伸缩后平移，具体过程如下：左侧为先平移后伸缩，右侧为先伸缩后平移，这种既有平移变换也有伸缩变换参与的变换，称为复合变换。【提示】在进行图象的变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了个单位长度，而后者则平移了个单位长度

4、，这是因为由变换为的过程中，x增加（或减少）个单位长度，即时，即。知识点三 画函数的简图1. 图象变换利用对函数的图象的影响，通过“平移”“伸缩”等得到图象。2. 用“五点法”作图找五个关键点，分别为使y能取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点,其步骤为：(1) 先确定周期，在一个周期内作出图象；(2) 令，X分别取，求出对应的x值，列表如下：0x0A0A0【提示】利用“五点法”作图时，将看成一个整体，使分别取，然后求出相应的x，y的值，便找到了“五点”。知识点四 函数（）中各量的物理意义在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与有关. 其中，A为振幅，它表示做简谐运动的物体离

5、开平衡位置的最大距离；而表示做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间. 简谐运动的频率则为，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数. 称为相位，当x0时的相位为，称为初相.【拓展】简记图象变换步骤(1) 函数到的图象变换称为相位变换；(2) 函数到的图象变换称为周期变换；(3) 函数到的图象变换称为振幅变换.因此函数到的图象的变换途径为相位变换 周期变换 振幅变换（或周期变换 相位变换 振幅变换）。知识点五 函数（）的性质定义域值域周期奇偶性当，时为奇函数当，时为偶函数当，时为非奇非偶函数对称轴直线（）求法：令可求对称中心对称中心：，求法：令可求单调性令，可求单调递增区间令，可求单调递

6、减区间【提示】当，时，为奇函数；当，时，为偶函数.考点一 利用“五点法”作图【例1】已知函数.(1) 用“五点法”画出它的图象；(2) 求出它的振幅、周期及初相.解：(1) 令，列表如下:X0xy02020描点连线如图.(2) 由图象，知A2，.令x0，得.所以它的振幅为2，周期为，初相为.用“五点法”作函数的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点，画出该函数一个周期内的图象.作函数的图象时，关健是列表，特别是给定区间作图问题，首先确定该区间端点处的函数值，然后确定两个端点之间的最值点、零点.考点二 函数图象的变换【例2】 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A向右平移个单位. B

7、. 向右平移个单位. C. 向左平移个单位. D. 向左平移个单位.解析：因为而 所以的图象向右平移个单位长度可得到的图象.答案：B若平移前后函数名称不同，则需要首先统一函数名称，一般情况下，利用诱导公式即可完成，而判断平移方向则需结合“左加右减”原则.【例3】将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为 ( ) A B C D 解析：向左平移个单位长度得若为偶函数，则 令，得 .答案B。奇函教的图象向左(右)平移个单位长度，变换后的函数为偶函数.考点三 确定函数解析式【例4 】函数的最小值为，其图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值是，图象过点。求函

8、数的解析式.解：因为，所以.又因为,所以因为函数的最小值为，所以.设函数的解析式 将点代入解析式，得，所以或.又因为 ，所以. 所以函数的解析式为.确定函数解析式，只要求出即可. 可由最高(低)点确定，由函数的周期求得， 由特殊点确定.【例5】 图是函数的图象，求其函数解析式. 解：方法1（最值点法）：由函数图象，得，所以，将点代入，得，所以.所以，因为，所以，从而所求函数解析式是.方法2（待定系数法）：由图象，知，由图象过点，根据五点作图法的原理（ 可视为“五点法”中的第二点和第四点），有解得 ，从而所求函数解析式是.【总结】给出的图象的一部分，确定的方法： (1)若从图象可立接确定A和，则

9、选择“第一零点”(即“五.点法”作图中的第一个点)的数据代入“” (要注意正确利断哪一点是“第一零点”)求得 . (2)通过若干特珠点代入函数式，可以求得相关待定系数，.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式. (3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式，再根据图象平移规律确定相关的参数.考点四 函数的性质的应用【例6】已知函数的图象的一条对称轴是直线 .求；求函数的单调区间.解：令，则，令，则，即 ，因为，所以可令，得 由知，令 ，得，所以函数的单调递增区间为，令，得.所以函数的单调递减区间为当时，求函数的单调区间一定要先运用诱导公式将的系数化为正，再结合函数式求解.【例7 】 已知函数的周期为，且图象上一个最低点为 求的解析式；当时，求的最值.解：由周期得.又因为函数的图象上的一个最低点为，所以，且有即，所以.故.又因为，所以. 所以函数的解析式为因为，所以.又因为正弦函数在上单调递增， 所以当，即时，函数取得最小值1；当，即时，函数取得最大值在某区间内求函数的最值时，若恰好此区间在单调区间内，则可直接根据其单调性求最值；若此区间包含多个单调区间，则应在每个单调区间内分开讨论求最值，并通过比较获得最终的最值.