5_05-专题五　三角函数与解三角形.docx

1、专题五三角函数与解三角形一、单项选择题1.(2023届黑龙江牡丹江绥芬河高级中学月考,4)已知tan =cos2sin,则sin =()A.154B.12C.32D.14答案B由tan =cos2sin=sincos,可得cos2=2sin -sin2,所以2sin =cos2+sin2=1,则sin =12.故选B.2.(2023届贵州联考,9)若cos -3cos =22,sin +3sin =1,则cos(+)=()A.-16B.16C.-14D.14答案B由cos -3cos =22,两边平方可得cos2-6cos cos +9cos2=8.由sin +3sin =1,两边平方可得si

2、n2+6sin sin +9sin2=1.+可得1+9+6(sin sin -cos cos )=9,所以cos cos -sin sin =16,即cos(+)=16,故选B.3.(2023届长春第二实验中学月考,6)已知sin+12=28,则sin2+23=()A.116B.23C.12D.1516答案D因为sin+12=28,所以sin2+23=sin2+2+6=cos2+6=12sin2+12=12282=1516.故选D.4.(2023届山西临汾期中,5)为了得到y=sin 3x的图象,只需将y=cos3x4的图象()A.向左平移34个单位长度B.向左平移712个单位长度C.向右平移

3、54个单位长度D.向右平移4个单位长度答案B设f(x)=cos3x4,则fx+34=cos3x+344=cos(3x+2)=cos 3x, fx+712=cos3x+7124=cos3x+32=sin 3x, fx54=cos3x544=cos(3x-4)=cos 3x,fx4=cos3x44=cos(3x-)=-cos 3x,所以只需将y=cos3x4的图象向左平移712个单位长度,即可得到y=sin 3x的图象.故选B.5.(2023届昆明一中双基检测三,4)若函数f(x)=1cosxsinxx3,2,则f(x)的值域为() A.3,+)B.33,+C.1,3D.33,1答案Df(x)=1

4、cosxsinx=11+2sin2x22sinx2cosx2=sinx2cosx2=tanx2,x3,2,x26,4,tan6tanx2tan4,即f(x)33,1,故选D.6.(2023届皖南八校开学考,9)函数f(x)=tan2x3的图象的一个对称中心为()A.12,0B.712,0C.512,0D.12,0答案D令2x-3=k2,kZ,则x=6+k4,kZ,当k=-1时, f(x)的一个对称中心为12,0.故选D.7.(2023届赣南五校期中,6)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,A=4,C=512,则b=() A.23 B.25C.26 D.6答案C由已知得B

5、=-A-C=3,由正弦定理得b=asinBsinA=4sin3sin4=43222=26.故选C.8.(2022哈尔滨三中二模,12)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若sin(A+C)=2Sb2a2,则tan A+13tan(BA)的取值范围为()A.233,+B.233,43C.233,43D.233,43答案C在ABC中,sin(A+C)=sin B,S=12acsin B,故由sin(A+C)=2Sb2a2得b2-a2=ac,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得c=2acos B+a,所以由正弦定理得sin C=2sin Acos B+s

6、in A,又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin(B-A)=sin A,故B-A=A或B-A=-A(舍去),得B=2A.又ABC为锐角三角形,所以0A2,02A2,03A2,解得6A4,故33tan A1,故tan A+13tan(BA)=tan A+13tanA233,43,故选C.二、多项选择题9.(2022河北仿真模拟卷(二),9)已知tan =2,则下列结论正确的是()A.tan(-)=-2B.tan(+)=-2C.sin3cos2sin+3cos=17D.sin 2=45答案ACD对于A,tan(-)=-tan =-2,故A正确;对于B

7、,tan(+)=tan =2,故B错误;对于C,sin3cos2sin+3cos=tan32tan+3=234+3=17,故C正确;对于D,sin 2=2sin cos =2sincossin2+cos2=2tantan2+1=44+1=45,故D正确.故选ACD.10.(2022重庆巴蜀中学3月适应性月考(八),10)已知cos(+)=-55,cos 2=-45,其中,为锐角,则以下命题正确的是()A.sin 2=35B.cos(-)=255C.cos cos =510D.tan tan =13答案ABC因为cos(+)=-55,cos 2=-45(,为锐角),故sin(+)=255,sin

8、 2=1cos22=35,故A正确;cos(-)=cos2-(+)=cos 2cos(+)+sin 2sin(+)=4555+35255=255,故B正确;由cos(-)=cos cos +sin sin =255,cos(+)=cos cos -sin sin =-55,得cos cos =12cos(+)+cos(-)=1255+255=510,故C正确;sin sin =12cos(-)-cos(+)=1225555=3510,所以tan tan =sinsincoscos=3,故D错误,故选ABC.11.(2022山东烟台、德州一模,9)将函数y=sin 2x的图象向右平移6个单位长度

9、后得到函数f(x)的图象,则()A. f(x)=cos2x+6B.6,0是f(x)图象的一个对称中心C.当x=-12时, f(x)取得最大值D.函数f(x)在区间,54上单调递增答案BDA,将函数y=sin 2x的图象向右平移6个单位长度后得到函数f(x)=sin 2x6=sin2x3=cos2x+6,错误;B,f 6=sin263=0,则6,0是f(x)图象的一个对称中心,正确;C,f 12=sin2123=-1,故当x=-12时, f(x)取得最小值,错误;D,由x,54,可得2x-353,13632,52,易知函数y=sin x在32,52上单调递增,则函数f(x)=sin2x3在区间,

10、54上单调递增,正确.故选BD.12.(2022新高考信息检测原创卷(七),12)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,a(cos C-2cos B)=cos A(ab-c),则以下四个结论中正确的是()A.b=2cB.ABC面积的取值范围为0,43C.已知M是BC边的中点,则MAMB的取值范围为13,3D.当A=2C时,ABC的周长为2+23答案ABD对于A,a(cos C-2cos B)=cos A(ab-c),a=2,a(cos C-2cos B)=cos A(2b-c),sin Acos C+cos Asin C=2(sin Acos B+cos Asin B),即

11、sin(A+C)=2sin(A+B),所以sin B=2sin C,b=2c,故A正确;对于B,如图,以BC的中点O为坐标原点,BC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则B(-1,0),C(1,0),设A(m,n),因为b=2c,所以(m1)2+n2=2(m+1)2+n2,化简得m+532+n2=169,所以点A在以53,0为圆心,43为半径的圆上运动(B、C除外),所以点A到BC边的距离的最大值为43,所以ABC面积的最大值为12243=43,ABC面积的取值范围为0,43,故B正确;对于C,由上述分析知,点A在以53,0为圆心,43为半径的圆上运动(B、C除外),则-5343m53+43

12、,即-3mC,所以cos C=32,则sin C=12,所以sin B=2sin C=1,所以B=2,C=6,A=3,即ABC为直角三角形,所以c=233,b=433,所以ABC的周长为2+23,故D正确.故选ABD.三、填空题13.(2023届山西临汾期中,13)已知sin cos =13,则sin4+cos4=.答案79解析因为sin cos =13,所以sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=1-2132=79.14.(2018北京,11,5分)设函数f(x)=cosx6(0).若f(x)f4对任意的实数x都成立,则的最小值为.答案23解析f(x)f4对任意的实

13、数x都成立,f4=1,46=2k,kZ,整理得=8k+23,kZ.又0,当k=0时,取得最小值23.15.(2022西宁一模,15)函数f(x)=Asin(x+)A0,0,2的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 022)=.答案2解析由题中图象可得A=2,2=2(6-2),解得=4,由图象过原点,且|0,0,2的部分图象如图所示,将f(x)的图象先向右平移12个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数g(x)的图象.(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)在6,1324上的值域.解析(1)由题图可知A=2,T4=7123=4,即T=,则=2T=2,所以f(x)=2sin

14、(2x+),因为函数f(x)的图象过点712,2,所以-2=2sin2712+,即2712+=32+2kkZ,所以=3+2k(kZ),因为|0,所以a=2,所以a=b.又a2+b2=c2,故ABC是等腰直角三角形.(2)由(1)可知,ACB=2,设PAC=,其中0,4,因为PA=AC,所以PCA=22,则PCB=2.取BC的中点D,连接PD,则PDBC,故PC=22cos2.又AP=AC=2,在APC中,由正弦定理得,22cos2sin=2sin22.化简可得,sin =12.因为0,4,所以=6,故cosPAB=cos46=6+24.20.(2022郑州二模,18)ABC的内角A,B,C的对

15、边分别为a,b,c.ABC的面积为S,若4aStanA=(2b-a)(a2+b2-c2).(1)求角C;(2)求sin A+sin B的取值范围.解析(1)由4aStanA=(2b-a)(a2+b2-c2)可得4aScosAsinA=(2b-a)(a2+b2-c2),因为S=12bcsin A,a2+b2-c2=2abcos C,所以ccos A=(2b-a)cos C.由正弦定理得sin Ccos A=(2sin B-sin A)cos C,则sin Ccos A+sin Acos C=2sin Bcos C,所以sin(A+C)=2sin Bcos C.在ABC中,sin(A+C)=sin

16、 B,sin B0,所以cos C=12,所以C=3.(2)sin A+sin B=sin A+sin(A+C)=sin A+sinA+3=32sin A+32cos A=3sinA+6.因为0A23,所以6A+656,所以sinA+612,1,故sin A+sin B32,3.21.(2023届四川内江六中月考,17)在锐角ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asinA+C2=bsin A,b=23.(1)求角B的大小;(2)求2a-c的取值范围.解析(1)A+B+C=,A+C=-B,asinB2=bsin A,即acosB2=bsin A,由正弦定理得sin AcosB2

17、=sin Bsin A,sin A0,cosB2=sin B=2sinB2cosB2,sinB2=12,又B为锐角,B2=6,即B=3.(2)由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2332=4,a=4sin A,c=4sin C=4sin23A=432cosA+12sinA=23cos A+2sin A.2a-c=8sin A-23cos A2sin A=6sin A23cos A=4332sinA12cosA=43sinA6.0A2,0C=23A2,6A2,0A-60,0,2的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式,并求出f(x)图象的对称轴方程;(2)是否存在实数a,使得

18、函数F(x)=f(x)-a在0,n(nN*)上恰有2 023个零点?若存在,求出a和对应的n的值;若不存在,请说明理由.解析(1)由题图可得A=1,34T=5612=34,所以T=.因为T=2=,所以=2.因为f(x)=sin(2x+)的图象过点12,1,所以212+=2+2k,kZ,又|2,所以=3,则f(x)=sin2x+3,所以f(x)图象的对称轴方程为2x+3=k+2,kZ,即x=k2+12,kZ.(2)假设同时存在实数a和正整数n满足条件,则y=f(x)的图象与直线y=a在0,n(nN*)上恰有2 023个交点,且函数y=f(x)的周期是,当x0,时,2x+33,73.当a1时,y=

19、f(x)的图象与直线y=a在0,n(nN*)上无交点.当a=-1或a=1时,y=f(x)的图象与直线y=a在0,上仅有一个交点,此时要使y=f(x)的图象与直线y=a在0,n(nN*)上恰有2 023个交点,则n=2 023.当-1a32或32a1时,y=f(x)的图象与直线y=a在0,上恰有2个交点,此时y=f(x)的图象与直线y=a在0,n(nN*)上有偶数个交点,不可能有2 023个交点.当a=32时,y=f(x)的图象与直线y=a在0,上恰有3个交点,在0,2上恰有5个交点,找规律可得y=f(x)的图象与直线y=a在0,n(nN*)上有(2n+1)个交点,则2n+1=2 023,解得n=1 011.综上,当a=-1或a=1时,n=2 023;当a=32时,n=1 011.