6.1平面向量的概念（教学设计）-【新教材精创】 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册).docx

1、6.1平面向量的概念 教学设计本小节内容选自普通高中数学必修第二册人教A版（2019）第六章平面向量及其应用的第一节平面向量的概念。以下是本节的课时安排：第一节课时内容平面向量的概念所在位置教材第2页新教材内容分析本节课是一节概念课，在本节中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的意义，能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。核心素养培养通过理解平面向量的概念，向量的模的概念，两个向量相等的含义以及共线向量的概念，培养学生数学抽象、逻辑推理的核心素养；通过向量的表示方法，提升直观想象的核心素养。教学主线平面向量的概念学生已经学习过数量，但是形如确定位置的问题，只用数量是

2、无法满足需要的，这就使得学习新知识是自然的有必要的，同时可以引导学生类比“学习数量的过程”明确研究向量概念的基本方向，因此，复习回顾数量的相关知识是有必要的。学生在物理学科中已经知道重力，弹力，摩擦力，位移，速度等是既有大小又有方向的物理量即矢量，知道借助有向线段来作力的图示，经历并了解了实数的形成过程，针对实际生活中一些常见的量，能识别是否具有大小，方向。 1. 通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，培养数学抽象的核心素养；2.理解平面向量的表示和两个向量平行与相等的含义，提升数学抽象的核心素养；重点：相等向量和共线向量的区别和联系难点：理解平面向量的意义和两个向量相等的含义

3、（一）新知导入1. 创设情境，生成问题向量又称为矢量，最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的作用可用平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.2.探索交流，解决问题【思考1】在物理中,位移与距离是同一个概念吗?现实世界中有各种各样的量,如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等,怎样正确区分这些量呢?【提示】位移与距离不是同一个概念;这些量中有些只有大小,没有方向,但有些既有大小又有方向,因此应该从

4、大小和方向两个方面对这些量进行区分.【设计意图】让学生体验向量表示方法的探究过程，明确向量的几何表示，在展示中可以锻炼学生的数学语言表达能力，提升自信。 （二）平面向量的概念（1）向量的实际背景与概念向量与数量的定义：我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把只有大小，没有方向的量称为数量。向量在物理学中称为矢量；数量在物理学中称为标量。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；而向量既有大小又有方向,向量是不能比较大小的。（2）向量的几何表示1.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB

5、的长度叫做有向线段的长度记作|2.向量的表示：(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，).【思考】向量与有向线段有什么区别？【提示】向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小相等和方向相同，则这两个向量就是相同的向量.有向线段有起点、方向与长度三个要素，若起点不同，尽管方向与长度相同，也是不同的有向线段.（3）模、零向量、单位向量：向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量

6、。【思考1】零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？【提示】零向量的方向是任意的两个单位向量的方向不一定相同.【思考2】向量由其模和方向所确定.对于两个向量a,b,就其模等与不等,方向同与不同而言,有哪几种可能情形?【提示】有四种情形:模相等,方向相同;模相等,方向不相同;模不相等,方向相同;模不相等,方向不相同.【辩一辩】1.如果| |，那么.()2.若a，b都是单位向量，则ab.()3.若ab，且a与b的起点相同，则终点也相同.()4.零向量的大小为0，没有方向.()（4）相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记法：向量a与b平行，记作ab规定：零向量

7、与任意向量平行。2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.共线向量与平行向量关系：如图所示,因为任一组平行向量都可移到同一直线上（向量具有自由性，与有向线段的起点无关）,所以平行向量就是共线向量。【探究1】若平行向量有相同的起点，那么它们是否一定有相同的终点？【提示】不一定，只有当两个平行向量相等时，它们才有相同的终点.【探究2】不相等的两个向量a，b可能平行吗？【提示】可能.事实上，考虑到零向量的特殊性，向量平行有如下三种情况：(1)两个向量a，b中，有一个为零向量，另一个为非零向量；(2)两个向量

8、均为非零向量，方向相同，但模不相等；(3)两个向量均为非零向量，方向相反，模相等或不相等皆可.【探究3】如果两个向量所在的直线互相平行,那么这两个向量的方向有什么关系?【提示】方向相同或相反.【辩一辩】判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“”，错误的打“”.(1)平行向量方向一定相同.()(2)不相等向量一定不平行.()(3)与零向量相等的向量是零向量.()(4)若两向量平行,则这两向量的方向相同或相反.()(5)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反()答案:(1)(2)(3)(4)（5）【设计意图】通过探究让学生理解平面向量的概念、平行向量、相等向量的概念，培养数学抽象的核心素养。

9、（三）典型例题1.平面向量的相关概念例1.给出下列命题：若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；在ABCD中，一定有；若ab，bc，则ac.其中所有正确命题的序号为_解析：，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故不正确；在ABCD中，|，与平行且方向相同，故，故正确；ab，则|a|b|，且a与b的方向相同；bc，则|b|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故ac，故正确答案：【类题通法】1单位向量、零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的相等向量是用向量的长度和方向共同定义的2对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，

10、正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系【巩固练习1】下列说法正确的是()A.向量与向量的长度相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.若ab，bc，则acD.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等解析：两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；C选项，当b0时，a与c可能不共线；两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.故选A.答案：A2.平面向量的表示例2.在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量(1)，使|4，点A在点O北偏东45方向；(2)，使|4，点B在点A正东方

11、向；(3)，使|6，点C在点B北偏东30方向解析：如图中的，和.【类题通法】1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点2注意事项：书写有向线段时，要注意起点和终点的不同；在书写字母表示时不要忘了字母上的箭头.【巩固练习2】某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点作出向量，.求的模解：作出向量，如图所示：由题意得，BCD是直角三角形，其中BDC90，BC10米，CD10米，所以BD10米ABD是直角三角形，其中ABD90，AB5米，BD10米，所以AD5(米)所以|5

12、米3.相等向量与共线向量例3.如图，四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与平行且长度为2的向量个数有_个解析：如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，共8个答案：8【变式探究1】本例中的条件不变，与同向且长度为2的向量有几个？解：与同向且长度为2的向量占与平行且长度为2的向量中的一半，共4个.【变式探究2】本例中的条件不变，如图,与向量 相等的向量有多少个?解：图中每个小正方形的对角线所在的向量中,与向量方向相同的向量与其相等,共有8个.【类题通法】相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向

13、量，再确定哪些是同向共线(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量.【巩固练习3】如图，设O是ABCD对角线的交点，则(1)与O的模相等的向量有多少个？(2)与O的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与A共线的向量解：(1)与O的模相等的向量有O，A，C三个向量(2)与O的模相等且方向相反的向量为O，A.(3)与A共线的向量有D，C，B.（四）操作演练 素养提升1在ABC中，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A.与共线 B

14、.与共线C.与相等 D.与相等2如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是()A.B|C. D3若|AB|=|AD|且BA=CD,则四边形ABCD的形状为()A.平行四边形 B.矩形C.菱形 D.等腰梯形4.下列结论中正确的是()若ab且|a|b|，则ab；若ab，则ab且|a|b|；若a与b方向相同且|a|b|，则ab；若ab，则a与b方向相反且|a|b|.AB C D答案：1.B 2.B 3.C 4.B 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第4页 练习 第1，2，3,4题 第5 页 习题6.1 第1,2,3,4题