6.2.3向量的数乘运算（教学设计）-【新教材精创】 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册).docx

1、6.2.3向量的数乘运算 教学设计本小节内容选自普通高中数学必修第二册人教A版（2019）第六章平面向量及其应用的第二节平面向量的运算。以下是本节的课时安排： 第二节 平面向量的运算课时内容向量的加法运算向量的减法运算向量的数乘运算向量的数量积所在位置教材第7页教材第11页教材第13页教材第17页新教材内容分析向量的加法是向量的第一运算，是向量其他运算的基础。通过本节课让学生知道向量也是一种量，同其他量一样也有自己的运算，学好本节课为后面的学习奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运

2、算和加法运算之间的内部联系。实数与向量的乘积仍然是一个向量，即有大小又有方向，特别是与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理。教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量。核心素养培养通过理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义，掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题，培养学生数学抽象、直观想象的核心素养。借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养。理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量

3、数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养。掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养。会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.教学主线平面向量的运算在学生掌握平面向量加法、减法的基础上，再让学生了解向量的数乘运算，理解向量共线定理的意义，能用向量语言和方法，表述和解决数学和物理中的一些问题。 1.理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养。2.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素

4、养。重点：理解并掌握两向量共线的性质和判断方法难点：能熟练地运用向量共线的性质和判断方法处理有关向量共线问题（一）新知导入1. 创设情境，生成问题夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差？这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则有v1880 000v2.对于880 000v2，我们规定是一个向量，其方向与v2相同，其长度为v2长度的880 000倍这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘【想一想】向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢？2.探索交流，解决问题【问题1】实数运算,x+x+x=

5、3x,思考能否写成呢?提示可以,即=.【问题2】与的方向有什么关系?与的方向呢?提示与的方向相同,与的方向相反.【问题3】按照向量加法的三角形法则,若为非零向量,那么的长度与的长度有何关系.提示的长度是的长度的3倍,即若|=,则|=3.【问题4】实数a,b满足3(a+b)=3a+3b,(2+3)a=2a+3a,若把实数a,b换成向量,上式是否仍成立?提示成立,向量同样满足分配律、结合律.【设计意图】通过设计的问题，让学生开始认识数乘运算及其运算律，和共线向量的定理。（二）向量的数乘运算1.向量的数乘运算1定义：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a.2规定：

6、|a|a|，当0时，a的方向与a的方向相同；当0，|a|4|b|.4b与b的方向相同，a与b的方向相同答案：C【做一做2】4(ab)3(ab)b等于()Aa2bBa Ca6b Da8b答案：D2.向量共线定理【探究1】aba与b共线，对吗？【提示】正确【探究2】若a与b共线，一定有ab吗？【提示】不一定当b0，a0时，有无数个值；当b0，a0时，无解；只有当b0时，才有ab.【探究3】若两个非零向量,共线,是否一定存在实数使得=?提示一定存在,且是唯一的.向量共线定理：向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba.【辩一辩】正确的打“”，错误的打“”答案:(1)(2)(3)(4)(

7、5)【设计意图】通过探究让学生理解向量共线定理，培养数学抽象的核心素养。（三）典型例题1.向量的线性运算例1.计算：(1)6(3a2b)9(2ab)；(2)(3a2b)aba(ba)；(3)6(abc)4(a2bc)2(2ac)【解】(1)原式18a12b18a9b3b.(2)(3a2b)aba(ba)(3aa2bb)(aab)(ab)(ab)abab0.(3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c(6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c)6a2b.【类题通法】向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是

8、在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.【巩固练习1】计算：（1）；（2）.【解】（1）=.（2）=2.向量共线定理及其应用例2.已知非零向量e1，e2不共线(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值(1)证明：因为e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.所以，共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线（2）解：因为ke1e2与e1ke2共线，所以存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k1.【类题通法】向量共线定理的应用

9、：(1) 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数，使得ab(b0)（2）一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得 (或等)即可。(3)若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x、y，使且xy1。【巩固练习2】已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_解析：由题意知存在kR，使得abk(b3a)，所以解得答案：3.用已知向量表示其他向量例3.如图，ABCD是一个梯形，且|2|，M，N分别是DC，AB的中点，已知 e1，e2，试用e1，e2表示向量,.【解】因为，|2|，所以2，.(1)e2e1.(2)e1e2e1e1e2.【变式

10、探究】在本例中，若条件改为e1，e2，试用e1，e2表示向量.【解】因为，所以2()()又因为M，N分别是DC，AB的中点，所以0，0.所以2，所以()e2e1.【类题通法】用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程 【巩固练习3】如图，四边形ABCD中，已知.（1）用，表示；（2）若，用，表示.【解】（1）因为，所以；（2）因为，所以.（四）操作演练 素养提升1.(2ab)(2ab)等于()Aa2b B2b C0 Dba2.如图，已知AM是ABC的边BC上的

11、中线，若a，b，则等于() A.(ab) B(ab) C.(ab) D(ab)3.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么()AB C D4.已知e1，e2是两个不共线的向量，a2e1e2，bke1e2，若a与b是共线向量，则实数k_.答案：1.B 2.C 3.D 4.2 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第15页 练习 第1，2，3题 第16页 练习 第1,2,3题第23页 习题6.2 第8,9,14,15题