8　圆内接正多边形.docx

1、8圆内接正多边形关键问答正n边形的中心角是多少度？连接正六边形的中心和任意两个相邻顶点得到的三角形是一个什么样的三角形？解决与圆内接正多边形的有关计算题，应如何添加辅助线？1.2019株洲下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是()A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形2利用等分圆的方法可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的多边形是()A正三角形 B正方形 C正六边形 D正七边形3已知正六边形的半径为r，则它的边长、边心距、面积分别为()A.r，r，r2 Br，2r2 C.r，r，r2 Dr，r24如图381，正三角形ABC内接于O，若AB2 cm，求O的半径图38

2、1命题点 1正多边形的画法热度：87%5如图382，要在一个圆形纸板上截出一个面积最大的正方形，试用尺规作出这个正方形(不要求写作法，保留作图痕迹)图3826.如图383，已知O和O上的一点A，作O的内接正六边形ABCDEF.图383解题突破正六边形的半径与其外接圆的半径有什么关系？命题点 2与圆内接正多边形有关的计算热度：81%7如图384，正六边形DEFGHI的顶点分别在等边三角形ABC的各边上，则的值为()图384A. B. C. D.解题突破根据正六边形的每一个内角是120得到ADI是什么三角形？得到的值是多少？8.如图385，正五边形ABCDE内接于O，过点A的切线与CB的延长线相交

3、于点F，则F的度数是()图385A18 B36 C54 D72解题突破连接OA，OB, 你能求出AOB, BAF, ABF的度数吗？92019达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A. B. C. D.10.如图386，A，B，C在O上，AB是O内接正六边形的一边，BC是O内接正十边形的一边，若AC是O内接正n边形的一边，则n等于()图386A12 B15 C18 D20解题突破连接OA，OC，OB，你能求出AOC的度数吗？11.2019玉林如图387，正六边形ABCDEF的边长是64 ，点O1，O2分别是ABF，CDE的内心，则O1O

4、2_图387方法点拨解决正六边形问题，往往需要作辅助线将其转换为三角形问题进行求解.命题点 3与圆内接正多边形有关的证明热度：80%12如图388，已知O的内接正十边形ABCD，AD与OB，OC分别交于点M，N.图388求证：(1)MNBC；(2)MNBCOB.13.如图389，在O的内接等腰三角形ABC中，ABAC，弦BD，CE分别平分ABC，ACB，BEBC.(1)求证：五边形AEBCD是正五边形；(2)若BD，CE相交于点F，试判断四边形AEFD的形状，并证明你的结论图389知识链接(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)各边相等，各角相等的五边形是正五边形.命题点 4与正多边形有关

5、的实际应用热度：79%14.如图3810是一个宝塔，它的地基边缘是周长为26 m的正五边形ABCDE(如图3810)，点O为中心(1)求地基的中心到边缘的距离(结果精确到0.1 m)；(2)已知塔的墙体宽1 m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6 m的观光通道，则塑像底座的半径最大是多少？图3810模型建立从实际问题中建立正多边形模型，并构造直角三角形，借助三角函数进行计算.15.如图3811，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在O上做逆时针运动，AM与BN交于点P.

6、(1)求图中APB的度数(2)图中APB的度数是_，图中APB的度数是_(3)根据前面的探索，你能否由本题推出一般的正n边形的情况？若能，请写出你的结论；若不能，请说明理由图3811方法点拨从特殊到一般发现规律，再从一般到特殊验证规律.16.盼盼同学在学习正多边形时，发现了以下一组有趣的结论：(1)若P是正三角形ABC的外接圆上的一点，则PBPCPA；(2)若P是正四边形ABCD的外接圆上的一点，则PBPDPA；(3)若P是正五边形ABCDE的外接圆上的一点，请问PBPE与PA有怎样的数量关系，写出结论，并加以证明；(4)若P是正n边形A1A2A3An的外接圆上的一点，请问PA2PAn与PA1

7、又有怎样的数量关系，写出结论，不要求证明图3812方法点拨解决正多边形问题时，通常需要作辅助线构造直角三角形，借助三角函数加以计算.详解详析1A2D解析 利用圆的半径即可将圆等分成6份，这样就能得出正三角形，也可以得出正六边形；作两条互相垂直的直径即可得到圆的4等分点，连接各分点可得出正方形；但是无法只利用直尺与圆规将圆7等分，故无法得到正七边形3D4解：过点O作ODBC于点D，连接BO.正三角形ABC内接于O，点O既是三角形的内心也是外心，OBD30，BDCDBCAB cm，cos30 ，解得BO2 cm，即O的半径为2 cm.5解：作两条弦AB，BC的垂直平分线，交点即为圆心O; 作直径D

8、E，作直径DE的垂直平分线，交圆O于点F，G；顺次连接D，G，E，F，四边形DGEF即为所求，如图所示6解：如图，首先作直径AD，然后分别以点A，D为圆心，OA长为半径画弧，与O分别交于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形ABCDEF即为所求7C解析 六边形DEFGHI是正六边形，EDI120，ADI60，ADI是等边三角形，ADDE.同理，BEDE，ADDEBE，SADISABC，同理，SBEFSABC，SCGHSABC，.故选C.8D解析 连接OA，OB.AF是O的切线，OAF90.正五边形ABCDE内接于O，AOB72.OAOB，OABOBA54，BAF9

9、05436.ABF72，F180367272.故选D.9A10B解析 连接OC，OA，OB.AB是O内接正六边形的一边，AOB360660.BC是O内接正十边形的一边，BOC3601036，AOCAOBBOC603624，n3602415.故选B.11124 解析 过点A作AMBF于点M，连接O1F，O1B.六边形ABCDEF是正六边形，FAB120，AFAB，点A，O，M在一条直线上，AFBABF(180120)30，ABF中BF边上的高AMAF(64 )32 ，FMBMAM3 6，BF3 63 6126 .设ABF的内切圆的半径为r，SABFSAO1FSAO1BSBFO1，(32 )(6

10、12)(64 )r(64 )r(126 )r，解得r3，即O1Mr3，O1O22364 124 .12证明：(1)如图，连接OA，OD.BC，CD为O的内接正十边形的边长，BOCCOD36，BOD72，BADBOD36.OBOC，12(18036)72.同理可得372，ABC13144，BADABC180，ADBC，即MNBC.(2)BAD36，372，AMB180BAD372，OMNAMB72.OMNAOMOAM，OAM36，OMAM.在OMN和AMB中，MONMAB，OMAM，OMNAMB，OMNAMB，MNMB，ONAB.OMON，OBOMBMABMN.ABBC，MNBCOB.13解：(

11、1)证明：ABAC，ABCACB.BD，CE分别平分ABC，ACB，ABDDBCECBACE.BEBC，BECBCE.BACBEC，ABDDBCECBACEBAC，AEADDCBCBE，五边形AEBCD是正五边形(2)四边形AEFD是菱形理由如下：五边形AEBCD是正五边形，EBCEADAEBADCBCD108.BCDC，CBDBDC36，ADB72，EADADB180，AEBD，同理可得：ECAD，四边形AEFD是平行四边形又AEAD，四边形AEFD是菱形14解：(1) 如图，过点O作OMAB于点M，连接OA，OB，则OM为边心距，AOB是中心角由正五边形的性质得AOB360572.又AB2

12、65.2(m)，所以AM2.6 m，AOM36.在RtAMO中，边心距OM3.6(m)所以地基的中心到边缘的距离约为3.6 m.(2)3.611.61(m)所以塑像底座的半径最大约为1 m.15解：(1)ABC是正三角形，ABC60.点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在O上做逆时针运动，BAMCBN，APB180ABNBAM180ABNCBN180ABC120.(2)9072(3)能图中APB.16解：(3)PBPE与PA满足的数量关系是：PBPE2PAcos36.理由：连接OA，OE，过点A作AMPB于点M，ANPE于点N.因为APMAPN，所以RtAMPRtANP，所以AMAN，PMPN.因为ABAE，所以RtAMBRtANE，所以MBNE，所以PBPE(PMMB)(PNNE)2PN.因为APEAOE，且五边形ABCDE为正五边形，所以AOE72，所以APE36.在RtANP中，cosAPN，所以PNPAcos36，所以PBPE2PAcos36.(4)若P是正n边形A1A2A3An的外接圆上的一点，则PA2PAn与PA1满足的数量关系是PA2PAn2PA1cos()关键问答 .等边三角形连接中心和顶点或过中心向一边作垂线段，构造以边心距、边长的一半和外接圆半径为三边长的直角三角形，通过解直角三角形进行解答