平方根、立方根与实数相关60道计算与规律探究题型专训（6大题型）（原卷版）.pdf

1、 学科网（北京）股份有限公司平方根、立方根和实数相关 60 道计算与规律探究题（6 大题型）【题型目录】题型一 解方程中的平方根、立方根题型二 平方根相关的计算题型三 立方根相关的计算题型四 实数的混合运算题型五 新定义的实数计算题型六 实数相关的规律探究题【经典例题一 解方程中的平方根、立方根】1（2024 上江苏宿迁八年级统考期末）计算：(1)2218x=；(2)()3264x=2（2023 上江苏盐城八年级统考期末）求 x 的值：(1)236x=；(2)()318x=.3（2024 上江苏淮安八年级统考期末）求 x 的值：()321540 x=4（2022 上江西南昌七年级校考期中）求解

2、下列方程：(1)29250 x=；(2)()327364x=学科网（北京）股份有限公司5（2023 下湖北襄阳七年级校联考期中）求下列方程中 x 的值(1)23(2)270 x=；(2)32140()5x+=6（2023 下黑龙江佳木斯七年级校考期中）求下列方程中的 x(1)()221180 x=(2)()33 2124x=7（2023 下重庆九龙坡七年级重庆市育才中学校考阶段练习）求解下列方程：(1)()2451120 x+=(2)()3311250 x=8（2022 下湖北孝感七年级统考期中）求下列方程中 x 的值(1)()214x=(2)31(3)027x+=9（2023 上江苏泰州八年

3、级校考阶段练习）求下列各式中 x 的值(1)21625x=；(2)2412x=；(3)()22713x+=学科网（北京）股份有限公司10（2023 上江苏常州八年级常州市第二十四中学校联考期中）求下列各式中 x 的值：(1)2152 x=；(2)2(1)16x=【经典例题二 平方根相关的计算】11（2024 上四川乐山八年级统考期末）若 x，y 都是实数，且223yxx=+，求119xy+的平方根12（2024 上湖南衡阳七年级校考期末）已知21x 的平方根为 3，且31xy+的平方根为 4，求2xy+的算术平方根13（2023 上陕西西安八年级校考期中）已知正数 x 的两个平方根分别是6m+

4、和2mn(1)求代数式163mn+的值；(2)当12n=时，求mx 的算术平方根14（2023 上四川宜宾八年级统考期中）（1）已知正数 x 的两个平方根分别是23a 和5a，求2a 和 x 的值；（2）若310 x =，求36+x的平方根15（2023 上山东济南八年级校考阶段练习）已知130 xy+=(1)求 x，y 的值；(2)求 xy+的平方根 学科网（北京）股份有限公司16（2023 上吉林四平八年级校考期末）已知21x 的平方根是 6,21xy+的算术平方根是5，求2311xy+的平方根17（2023 上河北邢台八年级统考期中）已知正实数 x 的平方根为a 和ab+（1）当6b=时

5、，x 的值为 ；（2）若22()8a xabx+=，则 x 的值为 18（2023 下七年级课时练习）已知正数 x 的平方根是 m 和 mb(1)当 b8 时，求 m 的值；(2)若()222226m xxmbx=+，求 x 的值19（2023 上江西九江八年级统考期中）已知一个正数m 的两个不相等的平方根是5a+与211a(1)求 a及m 的值；(2)求关于 x 的方程2160ax=的解20（2023 上浙江杭州七年级统考期中）已知4a 的立方根是1，b 的算术平方根是2，11 的整数部分是c(1)求 a，b，c 的值；(2)求 23abc+的平方根【经典例题三 立方根相关的计算】21（20

6、24 上四川乐山八年级统考期末）已知正数a 的两个不同平方根分别是22x和6 3x，4ab的算术平方根是 4.(1)求 a和b 的值；学科网（北京）股份有限公司(2)求2217ab+的立方根.22（2024 上浙江杭州七年级统考期末）已知6x 和314x+是 a 的两个不同的平方根，26y是 a 的立方根.(1)求 x，y，a 的值.(2)求 74y 的立方根.23（2024 下全国七年级假期作业）已知 3 182 x 与 3 1242 y 互为相反数，求xy+的立方根24（2023 上湖南衡阳八年级校考期末）已知23a 的平方根为 3，2ab+的算术平方根为 4，求16ab+的立方根25（2

7、024 上福建泉州八年级统考期末）一个正数 x 的两个平方根分别是2a+与21a(1)求 a和正数 x 的值(2)求 xa+的立方根26（2024 下江西九江八年级校考期末）已知3m nAnm=+是3nm+的算术平方根，232mnBmn+=+是2mn+的立方根，求()AB+的平方根 学科网（北京）股份有限公司27（2022 下湖北恩施七年级统考期中）已知44nMm=+是4m+的算术平方根，24315mnNn+=是15n的立方根，试求 MN的值28（2023 上黑龙江哈尔滨七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知 x 的两个平方根分别是21a 和5a ，且 322xy=，求 xy+的立方

8、根29（2023 上湖南娄底八年级统考阶段练习）已知一个数的平方根分别为21a+和 4a，24a b+的立方根为 2(1)求 a，b 的值；(2)求ab+的算术平方根30（2022 上陕西渭南八年级统考期末）已知21a+的一个平方根是 3，1 b的立方根为 1(1)求 a与b 的值；(2)求2+ab的立方根【经典例题四 实数的混合运算】31（2023 上江苏盐城八年级统考期末）计算：(1)()2024125；(2)23(2)27+.学科网（北京）股份有限公司32（2023 上浙江宁波七年级校联考期中）计算：(1)2242293；(2)()225332+33（2024 下全国七年级假期作业）计算

9、：(1)2233273(1)8+；(2)()2233(4)812 ；(3)2330.1253233(2)4+34（2023 上江苏无锡八年级校联考期中）计算：(1)239(3)8+；(2)31627|12|+35（2024 上湖南岳阳八年级统考期末）计算：(1)2024311227|32|+；(2)12011|7|(3.14)43+36（2023 上河南周口八年级校考期中）计算(1)333163270.1251464+(2)()()22328212+学科网（北京）股份有限公司37（2023 下新疆阿勒泰七年级校考期中）求下列各式的值(1)()222542+(2)()233114400+38（2

10、023 上浙江杭州七年级杭州绿城育华学校校考阶段练习）计算：(1)()211822+；(2)3 8233；(3)11112234（-+）39（2022 下湖北恩施七年级统考期中）计算：(1)()239627；(2)()3231112889+40（2023 上河南周口八年级校联考期中）计算：(1)()232791+；(2)()163213+【经典例题五 新定义的实数计算】41（2023河北沧州校考模拟预测）定义一种新的运算，对于任意实数a 和b，规定2abababa=+，例如：22 52 52 5262=+=(1)求()52的值(2)若()2214m，求m 的取值范围 学科网（北京）股份有限公司

11、42（2023 春山东德州七年级校考阶段练习）阅读下面文字，然后回答问题给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值例如：2.4 的整数部分为 2，小数部分为2.420.4=；2 的整数部分为1，小数部分可用2 1 表示；再如，2.6的整数部分为 3，小数部分为()2.630.4=由此我们得到一个真命题如果2xy=+，其中 x 是整数，且01y，那么1x=，21y=(1)如果7ab=+，其中 a是整数，且01b，那么=a_，b=_；(2)如果7cd=+，其中c 是整数，且01d，那么c=_，d=_；(3)已知37mn+=+，其中m

12、是整数，且01n，求|mn的值；(4)在上述条件下，求()ama bd+的立方根43（2023 春山东济宁七年级统考期中）【阅读理解】对于正整数 n，定义 n 为不大于n 的最大整数，例如：31=，42=，52=【问题解答】(1)直接写出7 的值为_；(2)对 72 进行如下操作：727288221=第一次第二次第三次，即对 72 进行 3 次操作后可变为 1类似地：对25进行_次操作后可变为 1；(3)先化简，再求值：()()2235xxx+，其中10 x=学科网（北京）股份有限公司44（2021 春广东广州七年级校考阶段练习）定义 x 等于不超过实数 x 的最大整数，定义 xxx=，例如

13、3=，3=(1)填空（直接写出结果）：3=_，3=_，33+=_(2)计算：252525+45（2021 春广东汕头七年级校考期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9 这三个数，1 42=，1 93=，4 96=，其结果分别为 2，3，6，都是整数，所以 1，4，9 三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是 2，最大算术平方根是 6(1)请直接判断 3，12，32 是不是“和谐组合”，_(2)请证明 2，18，

14、8 这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根(3)已知 9，a，25 三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的 3 倍，求a 的值46（2023 春广西玉林七年级统考期中）阅读下面文字，然后回答问题给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值例如：2.4 的整数部分为 2，小数部分为2.420.4=；2 的整数部分为1，小数部分可用2 1 表示；再如，2.6的整数部分为 3，小数部分为()2.630.4=由此我们得到一个真命题如果2xy=+，其中 x 是整数，且01y，那么1x=，21y=(1)如

15、果7ab=+，其中 a是整数，且01b，那么=a_，b=_；(2)如果7cd=+，其中c 是整数，且01d，那么c=_，d=_；(3)已知37mn+=+，其中m 是整数，且01n，求|2|mn的值；(4)在上述条件下，求()ama bd+的立方根 学科网（北京）股份有限公司47（2023 秋全国八年级专题练习）阅读下列材料，并完成问题解答：（一）小明阅读 7 年级数学第二学期课本 44-46 页关于平方根的定义：如果2xa=，那么 x 叫做 a 的平方根，记作 xa=，其中0a，例如25x=，那么5x=，即5是 5 的平方根，也就是二次方程25x=的解是5x=，请你根据以上定义解答下列问题：(

16、1)解方程：()235x=(2)选择题：式子2a 中的 a 的取值可以是（）A1B 2C3D5（二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果3xa=，那么 x 叫做 a 的立方根记作3xa=，其中 a 可以是任意实数，例如：227x=，那么327x=，即3x=，请你根据以上信息解答下列问题：(3)解方程：()32216x=如果4xa=，那么 x 叫做 a 的 4 次方根，记作4xa=，其中0a，例如：如果481x=那么4 81x=，即3x=，请你根据以上信息解答下列问题：(4)填空题：若()41625x+=，则 x 的值是_48（2023 春福建龙岩七年级统考期中）规定(),a b 表示一对数对，

17、给出如下定义：1ma=，(0,0).nb ab=将(),m n 与(),n m 称为数对(),a b 的一对“对称数对”例如：当4a=，1b=时，1124m=，11n=，数对()4,1 的一对“对称数对”为1,12 与11,2(1)数对()9,5 的一对“对称数对”是_ 与_；(2)若数对()16,y 的一对“对称数”相同，则 y 的值是多少？(3)若数对(),3x的一个“对称数对”是()3,1，则 x 的值是多少？学科网（北京）股份有限公司49（2023 春山东临沂七年级统考期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：mTn，（其中m 为满足不等式的最大整数，n 为满足不等式

18、的最小整数），则称无理数T 的“近整区间”为(),m n，如122，所以 2 的“近整区间”为()1,2(1)无理数5 的“近整区间”是_；无理数10的“近整区间”是_；(2)实数 x，y 满足关系式：20232023yxx=+，求 xy+的算术平方根的“近整区间”50（2023 春湖南长沙七年级统考期中）给出定义如下：若点()ab，满足()2abba=，（0a，0b），则称这个点为“show 点”如：()29669=，故点()9 6，是“show 点”(1)点()16 8A，点()2515B，点4 29 9C，中，是“show 点”的是_；(2)若点949Dx，是“show 点”，求 x 的

19、值；(3)是否存在点()M mm，使点 M 是“show 点”，若存在，求出23mm+的值；若不存在，说明理由【经典例题六 实数相关的规律探究题】51（2023 春河南新乡七年级统考期中）根据下表回答下列问题：x18.318.418.518.618.718.818.919x334.89338.56342.25345.96349.69353.44357.21361(1)350 在 和 之间（填表中相邻的两个数）(2)346 ，3.5721=(3)338.56 的平方根是 学科网（北京）股份有限公司52（2021 春安徽合肥七年级合肥市第四十二中学校考阶段练习）观察下列等式：111242=；112

20、393=；1134164=(1)猜想：根据观察所发现的规律，猜想第 4 个等式为_，第 9 个等式为_(2)归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想，用含n 的式子表示第n 个等式所反映的规律为_53（2023 春云南昆明七年级云南师范大学实验中学校考期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据：0.03240.3243.2432.43243240324000.180.5691.85.691856.9180(1)通过观察可以发现当被开方数扩大 100 倍时，它的算术平方根扩大_倍；(2)已知72.646，根据上述规律直接写出下列各式的值；0.07 _；700 _；(3

21、)已知 10404102=，10.2x=，1020y=，则 x=_，y=_；(4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若 3 0.30.669，3 31.442，3 300 _，3 3000 _54（2023 春安徽淮南七年级校联考阶段练习）（1）计算：()2933+（2）求()2116x=中的 x 的值（3）2 到底有多大？下面是小芯探索 2 的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是 2 的正方形边长是 2，且21.4设21.4x=+，画出如下示意图 学科网（北京）股份有限公司由面积公式，可得2x+2=因为 x 值很小，所以2x 更小，略去2x，得方程，解得 x （保留到0.001），即

22、2 55（2023 春福建厦门七年级校考期中）已知一个三位自然数，若满足百位数等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数等于十位数和个位数的平方差，则称这个数为“谐数”如果一个数既是“和数”又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”例如321，32 1=+，321是“和数”，22321=，321是“谐数”，321是“和谐数”(1)最小的和谐数是_，最大的和谐数是_(2)观察下列各式：()()22212 1 2 1=+，()()225454 5 4=+，()()227575 7 5=+，2296(96)(96)=+，2284(84)(84)=+L L请你用含字母的式子写出你所观察到

23、的一般规律，并证明任意的“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数(3)已知103817mbc=+（07b，14c，且b，c 均为整数），是一个“和数”求m 的值56（2023 春湖北咸宁七年级统考期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：0.00010.01,0.010.1,11,10010,10000100,=，(1)归纳：已知数 a的小数点的移动与它的算术平方根a 的小数点移动间有何规律？(2)已知21.414,204.47，则0.2=_；已知3.681.918,191.8a，则=a_；学科网（北京）股份有限公司(3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知 3320.23,2

24、023nm，用含n 的代数式表示m 57（2023 春云南昭通七年级统考阶段练习）先阅读理解，再回答下列问题：因为2112+=，且122，所以211+的整数部分为1；因为2226+=，且 263，所以222+的整数部分为2；因为23312+=，且3124，所以233+的整数部分为3；(1)以此类推，我们会发现2nn+（n 为正整数）的整数部分为_，请说明理由(2)已知20 的整数部分为 a，132 的整数部分为b，求ab+的值58（2023 春江西南昌七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题：a0.00010.01110010000a0.01x1yz(1)表格中 x=，y=；z=；(2)从表

25、格中探究 a 与a 数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：已知 103.16，则 1000 ；已知8.973m=，若897.3b=，用含 m 的代数式表示 b，则 b ；(3)试比较a 与 a 的大小当 时，aa；当 时，aa=；当 时，aa 学科网（北京）股份有限公司59（2022 秋四川成都七年级石室中学校考期中）观察算式：21 3 142+=；22 4 193+=；23 5 1164+=；24 6 1255+=根据你发现的规律解决下列问题：(1)写出第 5 个算式：；(2)写出第 n 个算式：；(3)计算：1111111111111 32 43 54 65 798 100 +60（2023 春吉林长春七年级统考期末）观察表格回答下列问题：a0.00010.01110010000a 0.01x1y100(1)表格中 x=，y=(2)从表格中探究 a 与a 数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题：已知 103.16，则 1000 已知2.561.6=，若160a=，则 a