2022版新教材高中数学 测评卷（含解析）苏教版选择性必修第一册.docx

1、第1章直线与方程(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020江苏宝应中学高二期末)过点(0,1)且斜率为12的直线在x轴上的截距是()A.4B.-4C.2D.-22.(2020江苏启东中学高二月考)已知a,bR,则“a=1”是“直线ax+y-1=0和直线x+(a2-2)y-1=0垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.(2020江苏连云港潜质联盟校高二联考)直线l1的斜率是k1=34,直线l2经过点A(1,2),B(a-1,3),l1l2

2、,则a的值为()A.-3B.1C.103D.744.(2020江苏海头高级中学高一月考)已知点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是坐标原点,则线段OP的最小值为()A.4B.23C.22D.25.(2021山东郓城一中高二上第一次月考)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线,已知ABC的顶点A(4,0),B(0,2),且AC=BC,则ABC的欧拉线方程为()A.x-2y+3=0B.2x+y-3=0C.x-2y-3=0D.2x-y-3=06.(2020江苏江宁高级中学高二期中)在直

3、线l:xa+yb=1中,a1,3,5,7,b2,4,6,8.若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10,则这样的直线的条数为()A.6B.7C.8D.167.(2020江苏南京田家炳高级中学高二月考)已知点A(1,1)和点B(4,4),P是直线l:x-y+1=0上的一点,则PA+PB的可能取值是()A.36B.34C.5D.258.(2020江苏靖江高级中学高二期中)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR),若存在非零实数t,使得f(t)+f1t=-2成立,则a2+4b2的最小值为()A.165B.145C.16D.4二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多

4、项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2020江苏无锡天一中学高二月考)下列说法中,正确的有()A.过点P(1,2)且在x,y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0B.直线y=3x-2在y轴上的截距为-2C.直线x-3y+1=0的倾斜角为60D.过点(5,4)并且倾斜角为90的直线方程为x-5=010.(2020山东潍坊高二期中)已知直线l:3x-y+1=0,则下列结论正确的是()A.直线l的倾斜角是6B.若直线m:x-3y+1=0,则lmC.点(3,0)到直线l的距离是2D.过(23,2)与直线l平行的直线方程是3x-y-4=011.(2021江苏西亭高级中

5、学高二月考)已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(kR),则下列结论错误的是()A.不存在k,使得l2的倾斜角为90B.对任意的k,l1与l2都有公共点C.对任意的k,l1与l2都不重合D.对任意的k,l1与l2都不垂直12.(2020江苏南通启东中学高一开学考试)如图,已知直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,二次函数f(x)的图象过点A,B,交x轴于另一点C(3,0).若该图象的对称轴上存在点Q满足ABQ是等腰三角形,则点Q的坐标可以是()A.(1,-6)B.(1,0)C.(1,1)D.(1,6)三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(

6、2020江苏无锡高二期中)过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程是.14.(2020江苏镇江三模)已知直线l1:x-2y+3=0,l2:2x+ky+k=0,且l1l2,则直线l1,l2间的距离为.15.(2020江苏太仓高级中学高二月考)已知a,bR*,若直线x+2y+3=0与直线(a-1)x+by=2互相垂直,则ab的最大值等于.16.(2020浙江效实中学高一期中)已知ABC为等腰直角三角形,C为直角顶点,AC中点为D(0,2),斜边上中线CE所在直线方程为3x+y-7=0,且点C的纵坐标大于点E的纵坐标,则AB所在直线的方程为.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应

7、写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020江苏苏州高一期中)已知两条直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值:(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与直线l2垂直;(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.18.(12分)(2020江苏大桥实验学校高一期中)已知直线mx+y-3m-1=0恒过定点A.(1)若直线l经过点A且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l的方程;(2)若直线l经过点A,且坐标原点到直线l的距离等于3,求直线l的方程.19.(12分)(2020江苏东台中学高二期中)在路边安装

8、路灯,灯柱OA的高为h米,路宽OC为23米,灯杆AB与灯柱OA成120角,路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线BD与灯杆AB垂直,请你建立适当直角坐标系,解决以下问题:(1)当h=10米,AB=52米时,求灯罩轴线BD所在直线的方程;(2)当h=2323-5米且灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线时,求灯杆AB的长.20.(12分)(2020江苏江宁高级中学高一月考)设直线l的方程为(a+1)x+y-5-2a=0(aR).(1)求证:无论a为何值,直线l必过一定点P;(2)若直线l分别与x轴正半轴,y轴正半轴交于点A(xA,0),B(0,yB),当AOB面积最小时,求AOB的周长;(3)当直线l在两坐标轴

9、上的截距均为整数时,求直线l的方程.21.(12分)(2021山东泰安第一中学高二月考)一束光从光源C(1,2)射出,经x轴反射后(反射点为M),射到线段y=-x+b,x3,5上的N处.(1)若M(3,0),b=7,求光从C出发,到达点N时所走过的路程;(2)若b=8,求反射光线的斜率的取值范围;(3)若b6,求光线从C出发,到达点N时所走过的最短路程s.22.(12分)(2020江苏海安高级中学高二月考)已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0.(1)求证:直线恒过定点,并求出定点P的坐标;(2)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在直线满足下列

10、条件:AOB的周长为12?AOB的面积为6?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由;(3)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于M,N两点,当PM+32PN取最小值时,求直线的方程.第2章圆与方程(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2021江苏沭阳高级中学高二月考)已知圆的方程为x2+y2+2x-4y=0,则圆的半径为()A.3B.5C.3D.42.(2021山东东营第一中学高二月考)圆(x+3)2+y2=4关于原点O(0,0)对称的圆的方程为()A.x2+(y-3)2=4B.(x-3)2

11、+y2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-2)2+y2=43.(2020江苏海门中学高二月考)以A(3,-1),B(-2,2)为直径端点的圆的方程是()A.x2+y2-x-y-8=0B.x2+y2-x-y-9=0C.x2+y2+x+y-8=0D.x2+y2+x+y-9=04.(2021江苏阜宁中学高二期中)已知圆x2+y2+2x-2y-2=0上的点到直线x+y+2a=0的最大距离为4,则实数a的值是()A.0或4B.-2或2C.-2D.25.(2020江苏南京田家炳高级中学高二上月考)已知过点P(2,1)有且仅有一条直线与圆C:x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0相切,则a=()A

12、.-1B.-2C.1或2D.-1或-26.(2020江苏淮阴中学高二上期中)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若存在圆C的弦AB,满足AB=23,且AB的中点M在直线2x+y+k=0上,则实数k的取值范围是()A.-25,25B.-5,5C.(-5,5)D.-5,57.(2020河南郑州高一期末)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别为圆C1,C2上的点,P为x轴上的动点,则PM+PN的最小值为()A.17B.17-1C.6-22D.52-48.(2020江苏宿迁四校联考)已知圆C1:x2+y2+2x+4y+4=0,圆C2:x2+

13、y2-4x+2y+1=0,M,N分别为圆C1和圆C2上的动点,P为直线l:y=x+2上的动点,则MP+NP的最小值为()A.210-3B.210+3C.10-3D.10+3二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2020全国高二课时练习)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是()A.圆M的圆心为(-3,4)B.x轴被圆M截得的弦长为8C.圆M的半径为5D.y轴被圆M截得的弦长为610.(2020江苏镇江高二期中)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=72,若直

14、线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则m=()A.2B.4C.6D.1011.(2020江苏石榴高级中学高二月考)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2-4x+2y+4=0相交于A、B两点,下列说法正确的是()A.两圆有两条公切线B.直线AB的方程为y=2x+4C.线段AB的长为455D.所有过点A、B的圆系方程可以记为x2+y2-4+(x2+y2-4x+2y+4)=0(R,-1)12.(2020江苏泰州中学高二期中)已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1上存在点M满足MAMB=3,则实数a的值可能为()A.-2B

15、.-1C.2D.0三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2020山东济南第十一中学高二期中)若直线x-y+m=0与圆x2+y2=1相切,则实数m=.14.(2020江苏高淳高级中学高二期中)直线l:x-y=0被圆C:(x-a)2+y2=1截得的弦长为2,则实数a的值为.15.(2021天津滨海新区高二月考)已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,直线l过点(1,3),且与圆C交于A,B两点,AB=23,则直线l的方程为.16.(2020江苏梅村高级中学高二期中)在平面直角坐标系xOy中,已知A,B为圆C:(x-m)2+(y-2)2=4上两个动点,且AB=23.若直线l:y=

16、-2x上存在点P,使得OC=PA+PB,则实数m的取值范围为.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2021广东深圳中学高二月考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0.(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)过点A(1,0)作圆M的切线,求切线l的方程.18.(12分)(2020江苏淮安高一期中)已知圆C的方程为x2+y2-4x-12=0,点P(3,1).(1)求圆C的圆心坐标及半径;(2)求过点P的直线被圆C截得的弦长最大时的直线l的方程;(3)若圆C

17、的一条弦AB的中点为P,求直线AB的方程.19.(12分)(2020浙江温州十五校联合体高二上期中联考)已知圆C:x2+y2+2x-4y+m=0与y轴相切,O为坐标原点,动点P在圆外,过P作圆C的切线,切点为M.(1)求圆C的圆心坐标及半径;(2)若点P运动到(-2,4)处,求此时切线l的方程;(3)求满足条件PM=2PO的点P的轨迹方程.20.(12分)(2020江苏扬州中学高一期中)已知圆O:x2+y2=r2(r0)与直线x+2y-5=0相切.(1)求圆O的方程;(2)若过点(-1,3)的直线l被圆O所截得的弦长为4,求直线l的方程;(3)若过点A(0,5)作两条斜率分别为k1,k2的直线

18、交圆O于B、C两点,且k1k2=-12,求证:直线BC恒过定点,并求出该定点的坐标.21.(12分)(2021江苏响水中学高二月考)已知以动点E为圆心的E与直线l:x=-12相切,与定圆F:(x-1)2+y2=14外切.(1)求动圆圆心E的轨迹C1的方程;(2)点D是曲线C2:y2=4x-4上的点,若在C1上存在A,B,C三点,使得四边形ABCD是平行四边形,求ACD面积的最小值.22.(12分)(2020江苏南京师大附中高二期中)已知圆C的圆心在直线3x-y=0上,与x轴正半轴相切,且直线l:x-y=0被圆C截得的弦长为27.(1)求圆C的方程;(2)设点A在圆C上运动,点B(7,6),且点

19、M满足AM=2MB,记点M的轨迹为.求的方程,并说明是什么图形;在直线l上是否存在定点T(异于原点O),使得对于上任意一点P,都有POPT为一常数?若存在,求出所有满足条件的点T的坐标;若不存在,说明理由.第3章圆锥曲线与方程(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2021江苏苏州八校联盟适应性检测)已知双曲线的方程为x2-y23=1,则该双曲线的渐近线方程为()A.y=3xB.y=2xC.y=33xD.y=3x2.(2020江苏涟水中学高二期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0

20、),若其长轴长为6,离心率为13,则此椭圆的标准方程为()A.x236+y232=1B.x236+y24=1C.x29+y24=1D.x29+y28=13.(2020江苏锡山高级中学高二期中)已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的离心率为3,则实数a的值为()A.22B.12C.1D.24.(2020江苏扬州大学附属中学高二期中)若过椭圆x24+y22=1内一点P(1,1)的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为()A.x-2y+1=0B.x-2y-3=0C.x+2y-3=0D.x+2y+3=05.(2020江苏奔牛高级中学高二期中)若直线l过抛物线y2=8x的焦点,与抛物线相交于A,B两点,且

21、AB=16,则线段AB的中点P到y轴的距离为()A.6B.8C.10D.126.(2020江苏镇江中学高二期中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P,若AP=2PB,则椭圆的离心率是()A.32B.22C.13D.127.(2021江苏连云港中学调研)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,两条渐近线分别为l1:y=bax,l2:y=-bax,过F作l1的垂线,垂足为M,该垂线交l2于点N,O为坐标原点,若OF=FN,则双曲线C的离心率是()A.2B.322C.3D.2338.(2021山东烟台

22、第一中学高二月考)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A、B两点,直线AF,BF分别与抛物线交于另一点C,D,设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,则k1k2=()A.-12B.2C.1D.12二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2021江苏南通高二期中)已知曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法正确的是()A.若mn0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n0,则C是圆,其半径为nC.若mn0,则C是两条直线10.(2021广东联考)已知F1、F2分别

23、是双曲线C:y24-x22=1的上、下焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则下列说法正确的是()A.双曲线C的渐近线方程为y=2xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2C.点M的横坐标为2D.MF1F2的面积为2311.(2021江苏徐州第一中学高二月考)设F是抛物线C:y2=4x的焦点,直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列结论正确的是()A.AB4B.OA+OB8C.若点P(2,2),则PA+AF的最小值是3D.OAB的面积的最小值是212.(2021山东淄博实验中学高二月考)已知椭圆C:x2a+y2b=1(ab0

24、)的左、右焦点分别为F1,F2且F1F2=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是()A.QF1+QP的最小值为2a-1B.椭圆C的短轴长可能为2C.椭圆C的离心率的取值范围为0,5-12D.若PF1=F1Q,则椭圆C的长轴长为5+17三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2021江苏泗洪中学高二月考)已知椭圆x2a2+y24=1(a0)与双曲线x29-y23=1有相同的焦点,则a的值为.14.(2020江西南昌大学附属中学高二期中)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x216-y29=1的渐近线的距离为.15.(2020江苏南通高二月考)已知F1,F2是椭圆

25、和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且F1PF2=3,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则1e12+3e22=.16.(2020江苏泰州中学高二期中)抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线y2=2px(p0),如图,一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后经过抛物线的焦点F,射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于x轴的方向射出,若两条平行光线间的最小距离为6,则此抛物线的方程为.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020江苏南通高二期中)已知命题p:x2m2

26、+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆,命题q:x2m-t+y2m-t-1=1表示双曲线.(1)若命题p是真命题,求m的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求t的取值范围.18.(12分)(2020江苏扬州仪征中学高二期中)已知焦点在x轴上的双曲线C的实轴长为23,焦距为25.(1)求双曲线C的标准方程;(2)若直线l:y=33x-1与双曲线C交于A,B两点,求弦长AB.19.(12分)(2020江苏扬州高二期中)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点52,-32.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线y=x+1与椭圆交于A、B两点,求线段AB的中点坐标和AB的

27、长度.20.(12分)(2020江苏田家炳中学高二期中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2,F1F2=2,点P为椭圆短轴的端点,且PF1F2的面积为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)点B1,32是椭圆上的一点,B1,B2是椭圆上的两动点,且直线BB1,BB2关于直线x=1对称,试证明:直线B1B2的斜率为定值.21.(12分)(2021江苏淮安、连云港、徐州、宿迁四市联考) 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33,点(3,2)在椭圆C上.A、B分别为椭圆C的上、下顶点,动直线l交椭圆C于P、Q两点,满足APAQ,AHPQ,垂足为H.(1)求

28、椭圆C的标准方程;(2)求ABH面积的最大值.22.(12分)(2020江苏南京高二期中)已知点P是抛物线C1:y2=4x的准线上任意一点,过点P作抛物线C1的两条切线PA、PB,其中A、B为切点.(1)证明:直线AB过定点,并求出定点的坐标;(2)若直线AB交椭圆C2:x24+y23=1于C、D两点,S1、S2分别是PAB、PCD的面积,求S1S2的最小值.第4章数列(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2021江苏苏州星海中学高二期中)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-1

29、(nN*),则数列nan的前5项和为()A.126B.127C.128D.1292.(2021江苏苏州高三期中)设Sn为等比数列an的前n项和,若an0,a1=12,Sn1,a102a103-10,a102-1a103-11成立的最大正整数n的值为()A.102B.203C.204D.2054.(2021江苏无锡第一中学高二期中)南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列,如数列1,3,6,10,前后两项之差得到新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列,这样的数列称

30、为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为()A.184B.174C.188D.1605.(2021江苏无锡第一中学高二期中)已知数列an满足a1=12,an+1=12an(nN*).设bn=n-2an,nN*,且数列bn是递增数列,则实数的取值范围是()A.(-,1)B.-1,32C.-,32D.(-1,2)6.(2021浙江温州中学高三第一次模拟考试)已知数列an满足a0=1,a2n+1=an,a2n+2=an+an+1(nN),则a1+a2+a128=()A.1024B.1

31、101C.1103D.11287.(2021广东汕头金山中学四校高三联考)已知数列an的前n项和为Sn,对任意的nN*有Sn=23an-23,且1Sk12,则k的值为()A.2或4B.2C.3或4D.68.(2020浙江湖州高三期末)已知数列an中,a1=2,若an+1=an2+an,设Sm=2a1a1+1+2a2a2+1+2amam+1,若Sm1,a6a71,a6-1a7-10,则下列结论正确的是()A.0q1B.0a6a81C.Sn的最大值为S7D.Tn的最大值为T612.(2021江苏盐城响水中学高二学情分析)设数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=2Sn(nN*),则()A.

32、Sn=3n-1B.Sn为等比数列C.an=23n-1D.an=1,n=123n-2,n2三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2021江苏苏州陆慕高级中学高二期中)在等比数列an中,已知a3a8=10,则a53a7的值为.14.(2021江苏镇江吕叔湘中学高三月考)设Sn为数列an的前n项和,若2Sn=5an-7,则an=.15.(2021湖南三湘名校教育联盟高二期中)已知数列an满足an=1,n=1,logn+2(n+3),n2,nN*,定义使a1a2a3ak(kN*)为整数的k叫作“幸福数”,则区间1,2020内所有“幸福数”的和为.16.(2021江苏张家港外国语学校

33、高三期中)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=0,Sn=an+1-2,则Sn=,若Sn+1S2nan+1an+4,则n的最小值是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020江苏如皋中学高一月考)已知数列an的前n项和Sn满足Sn=aa-1(an-1)(a为常数,且a0,a1).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=2Snan+1,若数列bn为等比数列,求a的值.18.(12分)(2020四川内江高一期末)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a2=7,S4=40.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=3anan+1,Tn是数列

34、bn的前n项和,若2Tn-2020对所有nN*都成立,求实数的取值范围.19.(12分)(2021江苏连云港赣榆高级中学阶段测试)已知数列an满足a1=2,(n+1)an+1=2(n+2)an.(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn是数列an的前n项和,求证:Sn2an.20.(12分)(2021安徽阜阳太和第一中学高三开学考试)已知数列an的前n项和为Sn,点(n+1,Sn+3)在抛物线y=x2上.(1)求an的通项公式;(2)求数列|an-9|的前n项和Tn.21.(12分)(2020福建厦门双十中学高一期末)已知数列an中,a1=1,a2=14,且an+1=(n-1)ann-an(n=

35、2,3,4,).(1)求a3,a4的值;(2)设bn=1an+1-1(nN*),试用bn表示bn+1,并求bn的通项公式;(3)设cn=sin3cosbncosbn+1(nN*),求数列cn的前n项和Sn.22.(12分)(2021江苏南通启东中学高二上期中)已知数列an的首项a1=a,其中aN*,an+1=an3,an为3的倍数,an+1,an不为3的倍数.令集合A=x|x=an,n=1,2,3,.(1)若a=4,写出集合A中的所有元素;(2)若a2020,且数列an中恰好存在连续的7项构成等比数列,求a的所有可能取值构成的集合;(3)求证:1A.第5章导数及其应用(全卷满分150分,考试用

36、时120分钟)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020江苏张家港高二下期中)函数f(x)=x2-sinx在0,上的平均变化率为()A.1B.2C.D.22.(2021河南部分重点中学四联)设limx0f(2+x)-f(2-x)x=-2,则曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线的倾斜角是()A.4B.3C.34D.233.(2021江苏淮安中学高三上期中)若幂函数f(x)的图象过点22,12,则函数g(x)=f(x)ex的递减区间为()A.(0,2)B.(-,0)和(2,+)C.(-2,0)D.(2,+)4.(2021

37、江苏苏州中学高三上期初调研)若函数f(x)=ex-(a-1)x+1在(0,1)上不单调,则a的取值范围是()A.(2,e+1)B.2,e+1C.(-,2e+1,+)D.(-,2)(e+1,+)5.(2021江苏扬州高邮一中高三上段测)对任意xR,函数f(x)=ax3+ax2+7x不存在极值点的充要条件是()A.0a21B.0a21C.a0或a21D.a216.(2021江苏南菁、泰兴、常州一中、南京二十九中四校高三上11月联考)已知函数f(x)=x+cosx,xR,设a=f(0.3-1),b=f(2-0.3),c=f(log20.2),则()A.bcaB.cabC.bacD.cba7.(202

38、1江苏盐城高三上期中)函数f(x)=xx-sinx,x-,0)(0,的图象大致是()8.(2021江苏徐州铜山高三上一联)若函数y=f(x)的定义域为R,对于任意xR,f(x)f(x),且f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式f(x)ex的解集为()A.(2,+)B.(0,+)C.(-,0)D.(-,2)二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2021江苏扬州高二下期末联考改编)下列结论错误的是()A.若y=x2+ln2,则y=2x+12B.若y=(2x+1)2,则y=3(2x+1

39、)2C.若y=x2ex,则y=2xexD.若y=lnxx,则y=1-lnxx210.(2020江苏镇江中学高二上期末)如图是y=f(x)的导数的图象,对于下列四个判断, 其中正确的是()A.f(x)在-2,-1上是增函数B.当x=-1时,f(x)取得极小值C.f(x)在-1,2上是增函数,在2,4上是减函数D.当x=3时,f(x)取得极小值11.(2021江苏南通高三上期中)北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统,可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务,2020年7月31日上午,北斗三号全球卫星导航系统正式开通,北斗卫星导航系统能实现“天地互通”的关

40、键是信号处理,其中某语言通讯的传递可以用函数f(x)=cosx+cos5x5+cos9x9近似模拟,则下列结论正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为B.函数f(x)的图象关于点-2,0对称C.对任意xR,都有f(-x)=f(x)D.函数f(x)的最小值为-312.(2021江苏南通四校高三上二联)定义在(0,+)上的函数f(x)的导函数为f(x),且(x+1)f(x)-f(x)5B.若f(1)=2,x1,则f(x)x2+12x+12C.f(3)-2f(1)7D.若f(1)=2,0xx2+12x+12三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2021江苏泰州姜堰中学、南通如东中

41、学、宿迁沭阳如东中学高三上联考)曲线f(x)=xex+x2-1在x=0处的切线方程为.14.(2021安徽皖江名校联盟二联)已知f(x)=x3+2xf(0),则f(1)=.15. (2021江苏淮安五校高三上一联)已知三个函数h(x)=x2-2lnx,f(x)=h(x)-5lnx-5ln2,g(x)=h(x)+2lnx-bx+4.若x1(0,1,x21,2,都有f(x1)g(x2)成立,则实数b的取值范围为.16.(2021江苏无锡高三上期中)已知函数f(x)=lnx,x1,-x3+x,x1,令g(x)=f(x)-kx,当k=-2e2时,有g(x0)=0,则x0=;若函数g(x)恰好有4个零点

42、,则实数k的值为.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2021江苏苏州常熟高三上阶段性检测)已知函数f(x)=13x3-x2+ax,g(x)=2x+b,当x=1+2时,f(x)取得极值.(1)求a的值,并判断f(1+2)是函数f(x)的极大值还是极小值;(2)当x-3,4时,函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,求实数b的取值范围.18.(12分)(2021江苏淮安淮阴中学高三上阶段检测)已知函数f(x)=lnx-x-1a.(1)当a=1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间(2,e)上存在零点,求实数a的取值范围.19.(

43、12分)(2021江苏无锡梅村高级中学高三上期初检测)已知函数f(x)=x2-alnx-2x,aR.(1)若函数f(x)在(0,+)上单调,求a的取值范围;(2)若函数f(x)存在两个极值点x1,x2,求 f(x1)x1+f(x2)x2的取值范围.20.(12分)(2021江苏南通启东高三上期中联考)如图所示的容器的体积为18dm3,它由半球和圆柱两部分组成,半球的半径与圆柱的底面半径都为rdm,圆柱的高为hdm.已知顶部半球面的造价为3a元/dm2,圆柱侧面的造价为a元/dm2,圆柱底面的造价为2a3元/dm2.(1)将圆柱的高h表示为底面半径r的函数,并求出定义域;(2)当容器的总造价最低

44、时,圆柱的底面半径r为多少?21.(12分)(2021江苏南京六校联合体高三上11月联考节选)已知函数f(x)=ax-xlnx,g(x)=2x1+x2,a,bR.(1)讨论f(x)的单调性;(2)已知函数f(x)的极大值为1,设1nm,证明:f(m)g(n).22.(12分)(2021江苏扬州中学高三上10月月考)设函数f(x)=mx-ex+3(mR).(1)讨论函数f(x)的极值;(2)若a为整数,m=0,且x(0,+),不等式(x-a)f(x)-20,b0)的焦点为F1,F2,其渐近线上横坐标为12的点P满足PF1PF2=0,则a=()A.14B.12C.2D.47.(2020江苏连云港高

45、二期中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P,若F1PF2=60,则该椭圆的离心率是()A.3B.32C.12D.338.(2021山东莱州一中高二期中)已知椭圆C:x28+y24=1的下顶点为A,点B是C上异于点A的一点,若直线AB与以M0,-13为圆心的圆相切于点P,且AP=14AB,则tanABM=()A.12B.23C.53D.32二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2020江苏南京第九中学高二期中)下列

46、说法正确的是()A.“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件B.直线xsin-y+1=0的倾斜角的取值范围为0,434,C.直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x2+y2=5相切D.离心率为3的双曲线的渐近线方程为y=2x10.(2020江苏扬州大学附属中学高二期中)过抛物线y2=4x的焦点F作直线,交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则()A.以线段AB为直径的圆与直线x=-32相离B.以线段BM为直径的圆与y轴相切C.当AF=2FB时,AB=92D.AB的最小值为411.已知F1、F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0且ab

47、)的左、右焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点.则下列四个命题中正确的是()A.PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上B.PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上C.PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上D.PF1F2的内切圆必经过点(a,0)12.(2021山东德州一中高二月考)已知F1,F2是椭圆x2a12+y2b12=1(a1b10)和双曲线x2a22-y2b22=1(a2b20)的公共焦点,P是它们的一个公共点,且F1PF2=3,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则以下结论正确的是()A.a12-b12=a22-b22B.b12=3b22C.14e12+14e2

48、2=1D.e12+e22的最小值为1+32三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2021江苏太湖高级中学高二期中)在y轴上的截距为-1且倾斜角为135的直线的方程为.14.(2021江苏江浦高级中学高二期中)过P(2,2)作圆C:(x-1)2+y2=1的切线,则切线方程为.15.(2021江苏木渎高级中学高二月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33,若以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切,则椭圆的标准方程为.16.(2020山东平度九中高二月考)已知圆C1:(x-1)2+(y-1)2=2,C2:(x-4)2+(y-2)2=1,过原

49、点O作一条射线与圆C1相交于点A,在该射线上取点B,使得OAOB=2,圆C2上的点到点D的距离的最小值为12,则满足该条件的点D所形成的轨迹的周长为,BD的最小值为.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2021江苏如东高级中学、泰州高级中学高二联考)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.(1)若直线l过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)若直线l过点B(1,0)且与圆C相交于P,Q两点,求CPQ的面积的最大值,并求此时直线l的方程.18.(12分)(2020江苏句容高级中学高二期中)已知F1、F2分别是双曲

50、线x212-y24=1的左、右焦点,曲线C是以F2为圆心且过原点的圆.(1)求曲线C的方程;(2)动点P在曲线C上运动,点M满足F1M=MP,求点M的轨迹方程.19.(12分)(2020江苏启东中学高二月考)树林的边界是直线l(图中CD所在的直线),一只兔子在河边喝水时发现了一只狼,兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处,AB=BC=a(a为正实数),若兔子沿线段AD(或AE)方向以速度2(为正实数)向树林逃跑,同时狼沿BM(点M在线段AD上)方向或BN方向(点N在线段AE上)以速度进行追击,若狼到达点M(或点N)的时间不多于兔子到达点M(或点N)的时间,狼就会吃掉兔子.(1)求兔子的所

51、有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积S(a);(2)兔子要想不被狼吃掉,求锐角(=DAC或EAC)的取值范围.20.(12分)(2021广东佛山一中高二月考)如图,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴的正半轴交于两点M,N(点M在点N的左侧),且MN=3.(1)求圆C的方程;(2)过点M任作一直线与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,连接AN,BN,求证:kAN+kBN为定值.21.(12分)(2020江苏天一中学高二月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,且直线xa+yb=1与圆x2+y2=2相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l与椭圆C相交于不

52、同的两点A,B,M为线段AB的中点,O为坐标原点,射线OM与椭圆C相交于点P,且OP=15OM,求ABO的面积.22.(12分)(2021江苏苏州八校联盟联考)如图,已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0),且离心率为12,抛物线C2:y2=2px(p0).点P1,32是椭圆C1与抛物线C2的交点.(1)求曲线C1和曲线C2的方程;(2)过点P作斜率为k(k0,若F(x)=f(x)+1x,则函数F(x)的零点个数为()A.0B.1C.2D.0或2二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9

53、.(2021江苏连云港高二上期中)下列有关双曲线2x2-y2=8的性质的说法正确的是()A.离心率为3B.顶点坐标为(0,2)C.实轴长为4D.虚轴长为4210.(2021江苏常州教育学会高三上学业水平监测)已知等差数列an的公差d0,前n项和为Sn,若S6=S12,则下列结论中正确的有()A.a1d=-172B.S18=0C.当d0时,a6+a140D.当d|a14|11.(2021福建龙岩高二上联考)若直线y=x+b与曲线x=1-y2恰有一个公共点,则b的可能取值是()A.-1B.0C.1D.212.(2021江苏南通天星湖中学高三上二调)已知函数f(x)=3-2sinx+sin2x,则下

54、列结论正确的是()A.函数f(x)是周期函数B.函数f(x)在-,上有4个零点C.函数f(x)的图象关于(,3)对称D.函数f(x)的最大值为532三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2021江苏扬州新华中学高三上月考)已知直线l1:2x-y+a=0与直线l2:-4x+2y+1=0,且直线l1与直线l2的距离为7510,则实数a的值为.14.(2021江苏无锡一中高三上检测)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+)内不单调,则k的取值范围是.15.(2021江苏徐州高三上期中)某学习小组研究一种卫星接收天线(如图所示)时发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面内的卫星

55、波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点处(如图所示),已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m,则该抛物线的焦点到顶点的距离为m.16.(2021湖南长沙雅礼中学高三上月考)被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例:一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔,再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔,新幼兔又如此方式成长,若不考虑其他意外因素,按此规律繁殖,则每年的兔子总对数可构成一个奇妙的数列,兔子数列具有许多有趣的数学性质,该数列在西方又被称为斐波那契数列,它最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的算盘全书中.现有一兔子数列Fn:F1=F2=1,Fn=Fn-1+

56、Fn-2(n2),则F9=;若将数列Fn的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列an,则数列an的前2020项和为.(第一空2分,第二空3分)四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2021江苏盐城响水中学高二上期中) 在Sn=3n+1-32;2Sn=an+1-3,a1=3这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.问题:在数列an中,Sn为an的前n项和,且.(1)证明an为等比数列;(2)设bn=log3an,且Tn=1b1b2+1b2b3+1b3b4+1bnbn+1,证明Tnb0)过点(0,4),离心率为35.(1)求C的标

57、准方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标.19.(12分)(2021江苏扬州一中高三上月考)已知函数f(x)=x-ln(x+1),g(x)=ex-1.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x2,+)时,证明:g(x)x(x-1)2.20.(12分)(2021吉林蛟河一中高三上月考)新冠肺炎疫情期间,某企业生产的口罩能全部售出,每月生产x万件(每件5个口罩)的利润函数为p(x)=-13x2+4x-5,0x0),一平行于y轴的光线从上方射向抛物线上的点P,经抛物线2次反射后,又沿平行于y轴的方向射出,已知两平行光线间的最小距离为8.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l

58、:y=x+m与抛物线C交于A,B两点,以点A为顶点作ABN,使ABN的外接圆圆心T的坐标为3,498,求弦AB的长度.22.(12分)(2020江苏南通中学高三月考)中国高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t(单位:分钟)满足5t25,tN*,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t相关:当20t25时,高铁为满载状态,载客量为1000人;当5t0,b0,所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=12ab,于是12ab10,ab20.当a=1时,没有这样的b满足条件;当a=3时,b=8;当a=5时,b4,6,8;当a=7时,b4,

59、6,8,所以这样的直线的条数为7.故选B.7.D如图所示,直线l:x-y+1=0与y轴的交点为C(0,1),且倾斜角为4,因为A(1,1),所以ACx轴,所以ACy 的平分线在直线l上,所以A(1,1)关于直线l:x-y+1=0的对称点在y轴上,设为点D,则D(0,2)所以直线l为AD的中垂线,则PD=PA,所以PA+PB=PB+PD,连接BD,当B,P,D三点共线时,PB+PD最小.此时PA+PB的最小值为BD=16+4=25.故选D.8.A因为函数f(x)=x2+ax+b(a,bR),所以f(t)=t2+at+b,f1t=1t2+at+b,因为存在非零实数t,使得f(t)+f1t=-2,所

60、以存在实数t0,使t+1t2+at+1t+2b=0成立,a2+4b2的几何意义为坐标原点与点(a,2b)的距离的平方,记2b=m,u=t+1t,则u24.故t+1t2+at+1t+2b=0可化为ua+m+u2=0,其表示动点(a,m)的轨迹,设为直线l,则原点与点(a,m)的距离的最小值为原点到直线l的距离,故a2+4b2u2u2+12=u2+1-1u2+12,令s=u2,s4.因为y=s+1-1s+1在4,+)上是增函数,所以y=s+1-1s+1455,所以a2+4b2165,当且仅当t=1时,取等号.故选A.9.BD对于A,点P(1,2)在直线y=2x上,且该直线在x,y轴截距都为0,故A

61、错误;对于B,令x=0,则y=-2,所以直线y=3x-2在y轴上的截距为-2,故B正确;对于C,x-3y+1=0可化为y=33x+33,则该直线的斜率k=tan=33,所以倾斜角=30,故C错误;对于D,过点(5,4)并且倾斜角为90的直线上的所有点的横坐标为5,故D正确.故选BD.10.CD对于选项A,直线l:3x-y+1=0的斜率k=tan=3,故直线l的倾斜角是3,故A错误;对于选项B,因为直线m:x-3y+1=0的斜率k=33,kk=1-1(k为直线l的斜率),故直线l与直线m不垂直,故B错误;对于选项C,点(3,0)到直线l的距离d=|33-0+1|(3)2+(-1)2=2,故C正确

62、;对于选项D,过(23,2)与直线l平行的直线方程是y-2=3(x-23),整理得3x-y-4=0,故D正确.故选CD.11.AC存在k=0,使得l2的方程为x=0,其倾斜角为90,故A错误;直线l1:x-y-1=0过定点(0,-1),直线l2:(k+1)x+ky+k=0(kR)k(x+y+1)+x=0过定点(0,-1),故B正确;当k=-12时,直线l2的方程为12x-12y-12=0,即x-y-1=0,l1与l2重合,故C错误;两直线垂直,则1(k+1)+(-1)k=0,方程无解,故对任意的k,l1与l2都不垂直,选项D正确.故选AC.12.ABC直线y=3x+3与x轴交点为A(-1,0)

63、,与y轴交点为B(0,3),又C(3,0),故可设f(x)=a(x+1)(x-3),将B(0,3)代入,得3=a1(-3)a=-1,所以f(x)=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,其图象的对称轴为直线x=1.设Q(1,a),当AB=AQ时,(-1-0)2+(0-3)2=(-1-1)2+(0-a)2,解得a=6,所以Q(1,-6）或Q(1,6),所以A选项正确.当AB=BQ时,(-1-0)2+(0-3)2=(0-1)2+(3-a)2,解得a=0或a=6.由于点(1,6)在直线y=3x+3上,故舍去,所以Q(1,0),所以B选项正确,D选项错误.当QA=QB时,(-1-1)2+(0-a)2

64、=(0-1)2+(3-a)2,解得a=1,故Q(1,1),所以C选项正确.故选ABC.13.答案2x+y-1=0解析与直线x-2y+3=0垂直的直线斜率为-2,又直线过点P(-1,3),则所求直线方程为y-3=-2(x+1),即2x+y-1=0.14.答案5解析由题意可得l1:y=12x+3,l2:y=-2kx-1,l1l2,12=-2k,解得k=-4,当k=-4时满足条件,故直线l2为x-2y-2=0,故直线l1,l2间的距离d=|3-(-2)|12+(-2)2=5.15.答案18解析根据题意,若直线x+2y+3=0与直线(a-1)x+by=2互相垂直,则a-1+2b=0,变形可得a+2b=

65、1,则ab=12(a2b)12a+2b22=18,当且仅当a=2b=12时,等号成立,即ab的最大值为18.16.答案x-3y+1=0解析因为中线CE所在直线方程为3x+y-7=0,所以可设C(a,-3a+7),E(b,-3b+7)(a0,xA=5+2aa+10得a-1,(6分)所以SAOB=12(5+2a)5+2aa+1=124(a+1)+9a+1+121224(a+1)9a+1+12=12,当且仅当4(a+1)=9a+1,即a=12时,取等号.所以A(4,0),B(0,6),所以AOB的周长为OA+OB+AB=4+6+42+62=10+213.(8分)(3)直线l在两坐标轴上的截距均为整数

66、,即5+2a,5+2aa+1均为整数,因为5+2aa+1=2+3a+1,所以a=-4,-2,0,2,(10分)又当a=-52时,直线l在两坐标轴上的截距均为零,也符合题意,所以直线l的方程为3x-y-3=0,x-y+1=0,x+y-5=0,3x+y-9=0,3x-2y=0.(12分)21.解析(1)C(1,2)关于x轴的对称点C(1,-2),直线CM的方程为y=x-3,由y=x-3,y=-x+7,得x=53,5,则此时N(5,2),所以光所走过的路程CN=42.(4分)(2)对于线段y=-x+8,x3,5,令其端点为A(3,5),B(5,3),则kCA=72,kCB=54,所以反射光线斜率的取

67、值范围是54,72.(8分)(3)若反射光线与直线y=-x+b垂直,光所走过的路程最短,则由y=-x+b,y=x-3得x=b+32.b6,x=b+3292.当x=b+3292,5,即6b7时,光所走过的最短路程为点C到直线y=-x+b的距离,此时s=|1-2-b|2=b+12=2(b+1)2;(10分)当x=b+32(5,+),即b7时,光所走过的最短路程为线段CB,其中B(5,b-5),此时s=(5-1)2+(b-3)2=b2-6b+25,综上,s=2(b+1)2,6b7,b2-6b+25,b7.(12分)22.解析(1)依题意,直线方程为3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0,即(3x

68、+y-6)m+3x-y-2=0,所以3x+y-6=0,3x-y-2=0,解得x=43,y=2,故直线过定点P43,2.(4分)(2)依题意设直线方程为xa+yb=1(a0,b0),则A(a,0),B(0,b),将P43,2代入得43a+2b=1.(*)由题易得a+b+a2+b2=12,12ab=6,解得a=3,b=4或a=4,b=3.(6分)其中a=3,b=4不满足(*),a=4,b=3满足(*).所以存在直线x4+y3=1,即3x+4y-12=0满足条件.(8分)(3)由(1)知直线过定点P43,2,若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于M,N两点,则直线的倾斜角2,所以PM=2sin,PN=-

69、43cos,所以PM+32PN=2sin-3243cos=2sin-2cos=2cos-sinsincos,(9分)令t=cos-sin=2cos+4,由于2,所以+434,54,所以cos+4-1,-22,所以t=2cos+4-2,-1).(10分)则可化为PM+32PN=2t1-t22=41t-t,由于y=1t-t在-2,-1)上为减函数,所以y=41t-t在-2,-1)上为增函数,故当t=-2,即=34时,PM+32PN取得最小值,为41-2+2=42.此时直线方程为y-2=-x-43,即3x+3y-10=0.(12分)第2章圆与方程1.B将方程x2+y2+2x-4y=0化为标准形式,得

70、(x+1)2+(y-2)2=5,圆的半径r=5.故选B.2.B由圆的方程可知,圆心(-3,0),半径r=2,圆心(-3,0)关于原点对称的点的坐标为(3,0),则圆(x+3)2+y2=4关于原点O(0,0)对称的圆的方程为(x-3)2+y2=4.故选B.3.A设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意得圆心(a,b)为AB的中点,根据中点坐标公式可得a=3-22=12,b=-1+22=12,易知r=AB2=(3+2)2+(-1-2)22=342,所以圆的标准方程为x-122+y-122=172,化简整理得x2+y2-x-y-8=0.故选A.4.B由题意可得圆的标准方程为(x+1)

71、2+(y-1)2=4,则圆心(-1,1),半径为2,圆心到直线x+y+2a=0的距离为d=|2a|1+1=|a|,由圆x2+y2+2x-2y-2=0上的点到直线x+y+2a=0的最大距离为4,可得|a|+2=4,解得a=2.故选B.5.A因为过点P(2,1)有且仅有一条直线与圆C:x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0相切,所以点P(2,1)在圆上,则22+12+4a+a+2a2+a-1=0,解得a=-2或a=-1.又x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0为圆的方程,所以(2a)2+a2-4(2a2+a-1)0,即-2a0恒成立,所以方程(x2+y2-4)+(x2+y2-4x+2y

72、+4)=0(R,-1)表示圆,但此圆系不包括圆M,故D不正确.故答案为AC.12.BD设点M(x,y),则MA=(-1-x,-y),MB=(1-x,-y),所以MAMB=(-x-1)(-x+1)+y2=3,即x2+y2=4,所以M的轨迹方程为x2+y2=4,圆心为(0,0),半径为2,由此可知圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1与x2+y2=4有公共点,又因为圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1的圆心为(2a-1,2a+2),半径为1,所以1(2a-1)2+(2a+2)23,解得-1a12.故选BD.13.答案2解析圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,由题意得|0-0

73、+m|1+1=1,解得m=2.14.答案1解析由题意得圆心C(a,0),半径r=1,故圆心C(a,0)到直线l:x-y=0的距离d=|a|2,因为直线l:x-y=0被圆C:(x-a)2+y2=1截得的弦长为2,所以2=2r2-d2=21-a22,解得a=1.15.答案x=1或3x+4y-15=0解析圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的圆心C(2,1),半径r=2,设圆心C到直线l的距离为d,则d=r2-AB22=4-3=1,当直线l的斜率不存在时,直线l:x=1,满足d=1;当直线l的斜率存在时,设l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,所以d=|2k-1+3-k|k2+1=|k+

74、2|k2+1=1,解得k=-34,所以l的方程为3x+4y-15=0,综上所述,直线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.16.答案-1-5,-1+5解析由题意知圆心C(m,2),半径r=2.取AB的中点Q,连接CQ,则CQAB.所以CQ=r2-AQ2=4-3=1,所以点Q在圆(x-m)2+(y-2)2=1上.易知OC=PA+PB=2PQ,设P(x0,y0),Q(x1,y1),则PQ=(x1-x0,y1-y0),OC=(m,2),所以m=2(x1-x0),2=2(y1-y0),则x1=m2+x0,y1=y0+1,所以m2+x0-m2+(y0-1)2=1,即x0-m22+(y0-1)2=1,所

75、以点P在以D12m,1为圆心,1为半径的圆D上,又点P在直线l:y=-2x上,所以直线l与圆D有公共点,所以|m+1|51,解得-1-5m-1+5.17.解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径r=5.(2分)(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0),圆N与x轴相切,与圆M外切,0y00)与直线x+2y-5=0相切,|-5|12+22=r,r=5,(2分)圆O的方程为x2+y2=5.(3分)(2)直线l被圆O所截得的弦长为4,圆心到直线l的距离d=5-4=1.当直线l的斜率不存在时,x=-1,满足题意;当直线l的斜率存在时,设方程为y-3=k(x

76、+1),即kx-y+k+3=0,(5分)则d=|k+3|k2+1=1,k=-43,直线l的方程为4x+3y-5=0.(6分)综上所述,直线l的方程为4x+3y-5=0或x=-1.(7分)(3)设直线AB的方程为y=k1x+5,与圆方程联立,消去y得(1+k12)x2+25k1x=0,xB=-25k11+k12,yB=5-5k121+k12,即B-25k11+k12,5-5k121+k12,(9分)设直线AC:y=k2x+5,同理可得xC=-25k21+k22,yC=5-5k221+k22,k1k2=-12,k2=-12k1,用-12k1代替k2得C45k11+4k12,45k12-51+4k1

77、2,则kBC=5-5k121+k12-45k12-51+4k12-25k11+k12-45k11+4k12=2k12-13k1,直线BC的方程为y-5-5k121+k12=2k12-13k1x+25k11+k12,(11分)令x=0,可得y=5k12+12(2k12-1)3+(1-k12)=53,则直线BC过定点0,53.(12分)21.解析(1)设点E(x,y),E的半径为R,则R=x+12,EF=R+12=x+1,(2分)所以点E到直线x=-1的距离与到点F(1,0)的距离相等,即x+1=(x-1)2+y2,化简得动圆圆心E的轨迹C1的方程为y2=4x.(4分)(2)由题意得,直线AC斜率

78、不可能为零,设点A(x1,y1),C(x2,y2),D(x0,y0),直线AC的方程为x=my+t,与y2=4x联立,消去x得y2-4my-4t=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4t,故线段AC的中点M(2m2+t,2m),(6分)在曲线C1上存在A,B,C三点,使得四边形ABCD是平行四边形,则点B,D关于点M对称,所以B(4m2+2t-x0,4m-y0),又因为点B在曲线C1:y2=4x上,所以(4m-y0)2=4(4m2+2t-x0),整理得my0+t=y028+x02,(*)(9分)设点D到直线AC的距离为d,则SACD=12ACd=121+m2|y1-y2|my0-x0+t|1+

79、m2=12(4m)2+16t|my0-x0+t|,将(*)代入上式,得SACD=4m2+4ty028+x02-x0,又因为y02=4x0-4,所以SACD=m2+t=m2+y028+x02-my0=m2+y024+12-my0=y02-m2+12,当m=y02时,ACD的面积有最小值,且最小值为22.(12分)22.解析(1)设圆心C(t,3t),则由圆C与x轴正半轴相切,可得半径r=3|t|.圆心到直线l:x-y=0的距离d=|t-3t|2=2|t|,由7+2t2=r2,解得t=1.故圆心为(1,3)或(-1,-3),半径为3.(2分)圆C与x轴正半轴相切,C(1,3),故圆C的方程为(x-

80、1)2+(y-3)2=9.(3分)(2)设A(xA,yA),M(x,y),则AM=(x-xA,y-yA),MB=(7-x,6-y),x-xA=14-2x,y-yA=12-2y,xA=-14+3x,yA=-12+3y,(5分)点A在圆C上运动,(3x-14-1)2+(3y-12-3)2=9,(x-5)2+(y-5)2=1,点M的轨迹方程为(x-5)2+(y-5)2=1,它是一个以(5,5)为圆心,1为半径的圆.(7分)假设存在一点T(t,t),满足POPT=(其中为常数),设P(x,y),则x2+y2(x-t)2+(y-t)2=,化简得x2+y2=2(x2-2tx+t2+y2-2ty+t2),(

81、9分)P在轨迹上,(x-5)2+(y-5)2=1,化简得x2+y2=10x+10y-49,10x+10y-49=2(10x+10y-49-2tx-2ty+2t2),整理得x(10-102+2t2)+y(10-102+2t2)+492-22t2-49=0,10-102+2t2=0,492-22t2-49=0,解得t=4910.存在T4910,4910满足条件.(12分)第3章圆锥曲线与方程1.D双曲线的渐近线方程为y=bax=3x.故选D.2.D因为椭圆的长轴长为6,离心率为13,所以2a=6,e=ca=13,所以a=3,c=1,又b2=a2-c2=8,所以椭圆的标准方程为x29+y28=1.故

82、选D.3.A由双曲线x2a2-y2=1(a0)的离心率为3,可得a2+1a=3,解得a=22(负值舍去).故选A.4.C设此弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x124+y122=1,x224+y222=1,-得y1-y2x1-x2=-x1+x22(y1+y2)=-12,又kAB=y1-y2x1-x2,则kAB=-12,故弦所在的直线方程为y-1=-12(x-1),化简得x+2y-3=0.故选C.5.A由题意,可得抛物线的准线方程为x=-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以AB=x1+x2+4=16,即x1+x2=12,所以点P的横坐标为x1+x22=6,所以点P到

83、y轴的距离为6.故选A.6.B由题意,不妨设点B在x轴上方,则B-c,b2a,设P(0,t),又A(a,0),且AP=2PB,(-a,t)=2-c,b2a-t,a=2c,e=ca=22.故选B.7.D直线FN与直线l1垂直,kFNba=-1,即kFN=-ab,直线FN的方程为y=-ab(x-c),联立y=-bax,y=-ab(x-c),得x=-a2cb2-a2,y=abcb2-a2,N-a2cb2-a2,abcb2-a2,OF=FN,c2=-a2cb2-a2-c2+abcb2-a22,解得3b2=a2,e=c2a2=3b2+b23b2=233.8.D易知F(1,0),设A(x1,y1),B(x

84、2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则直线AB:y=k1(x-2),直线AF:y=y1x1-1(x-1),直线BF:y=y2x2-1(x-1),由y=y1x1-1(x-1),y2=4x得x2-2x-4(x1-1)2y12x+1=0,则x1x3=1,x3=1x1,y3=y1x1-11x1-1=-y1x1,同理,x4=1x2,y4=-y2x2,k2=-y1x1-y2x21x1-1x2=-x2y1+x1y2x2-x1=-x2k1(x1-2)+x1k1(x2-2)x2-x1=-k1x1x2+2k1x2+k1x1x2-2k1x1x2-x1=2k1(x2-x1)x2-x1=2k1.k1k2=1

85、2.故选D.9.ACD对于选项A,mx2+ny2=1可化为x21m+y21n=1,因为mn0,所以1m0,则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n,此时曲线C是圆心在原点,半径为nn的圆,故B不正确;对于选项C,mx2+ny2=1可化为x21m+y21n=1,因为mn0,则mx2+ny2=1可化为y2=1n,即y=nn,此时曲线C是平行于x轴的两条直线,故D正确.故选ACD.10.ACD由双曲线方程y24-x22=1知a=2,b=2,焦点在y轴上,其渐近线方程为y=abx=2x,故A正确;c=a2+b2=6,以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=6,故B错误;联立x2+y2=6,y=2x,

86、得x=2,y=2或x=-2,y=-2,由对称性知M点的横坐标是2,故C正确;SMF1F2=12F1F2|xM|=12262=23,故D正确.故选ACD.11.ACD易知F(1,0),不妨设点A在第一象限.若直线l的斜率不存在,则A(1,2),B(1,-2),此时AB=4,OA+OB=2OA=25,此时SOAB=1241=2,故B错误;若直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,显然k0,则直线l的方程为y=k(x-1),联立y=k(x-1),y2=4x,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2=2+4k2,AB=x1+x2+

87、2=4+4k24,原点O到直线l的距离d=|k|k2+1,SOAB=12ABd=124+4k2|k|k2+1=21+1k22,综上,AB4,SOAB2,故A正确,D正确;如图,过点A向准线作垂线,垂足为N,则PA+AF=PA+AN,故当P,A,N三点共线时,PA+AF取得最小值,最小值为3,故C正确.故选ACD.12.ACD选项A中,因为F1F2=2,所以F2(1,0),PF2=1,所以QF1+QP=2a-QF2+QP2a-PF2=2a-1,当Q,F2,P三点共线时取等号,故A正确;选项B中,若椭圆C的短轴长为2,则b=1,a=2,此时椭圆方程为x22+y2=1,由12+11,可知点P在椭圆外

88、,故B错误;选项C中,因为点P(1,1)在椭圆内部,所以1a+1b1,又a-b=1,所以b=a-1,所以1a+1a-10,所以a3+52=6+254=(1+5)24,所以a1+52,所以e=1a2m+8,2m+80,(3分)解得-4m4,即m的取值范围为(-4,-2)(4,+).(5分)(2)若命题q为真命题,则(m-t)(m-t-1)0,即tmt+1,(6分)因为p是q的必要不充分条件,所以m|tmt+1m|-4m4,(8分)即-4t或t+1-2或t4,解得-4t-3或t4.即实数t的取值范围为-4,-34,+).(10分)18.解析(1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1.由题意可

89、得2a=23,2c=25,所以a=3,c=5,(2分)所以b2=c2-a2=2,所以b=2,所以双曲线C的标准方程为x23-y22=1.(5分)(2)联立x23-y22=1,y=33x-1,消去y,整理可得x2+23x-9=0,(8分)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-23,x1x2=-9,(10分)所以AB=1+332|x1-x2|=1+13(x1+x2)2-4x1x2=4348=8.(12分)19.解析(1)由题意知,椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由椭圆的定义知c=2,2a=52+22+-322+52-22+-322=210,

90、(3分)所以a=10,所以b2=a2-c2=10-4=6,故椭圆的标准方程为x210+y26=1.(5分)(2)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),联立x210+y26=1,y=x+1,得8x2+10x-25=0,所以x1+x2=-54,x1x2=-258.(8分)设线段AB的中点坐标为(x0,y0),则x0=x1+x22=-58,y0=38,所以线段AB的中点坐标为-58,38.(10分)由弦长公式得AB=1+12(x1+x2)2-4x1x2=222516=1524.(12分)20.解析(1)由F1F2=2得c=1,又SPF1F2=122b=3,所以b=3,(2分)所以a

91、=1+3=2.所以椭圆的标准方程为x24+y23=1.(4分)(2)证明:已知点B1,32,当直线BB1的斜率不存在时显然不满足题意,所以直线BB1的斜率存在.设直线BB1:y-32=k(x-1),即y=kx+32-k,由于直线BB1,BB2关于直线x=1对称,因此直线BB2的斜率为-k,故直线BB2:y=-kx+32+k,(6分)设B1(x1,y1),B2(x2,y2),联立y=kx+32-k,x24+y23=1,整理得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4k2-12k-3=0,(7分)则x1=4k2-12k-34k2+3(方程有一解是x=1),同理x2=4k2+12k-34k2+3,(

92、9分)则kB1B2=y2-y1x2-x1=-kx2+32+k-kx1+32-kx2-x1=2k-k(x1+x2)x2-x1=2k-k8k2-64k2+324k4k2+3=12,所以直线B1B2的斜率为定值.(12分)21.解析(1)由题意知ca=33,3a2+2b2=1,a2=b2+c2,解得a=6,b=2,c=2,(3分)所以椭圆C的标准方程为x26+y24=1.(5分)(2)由题意知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为y=kx+m,其中m2,联立y=kx+m,x26+y24=1,得(3k2+2)x2+6kmx+3m2-12=0,=36k2m2-12(3k2+2)(m2-4)=24(6k2

93、+4-m2),设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-6km3k2+2,x1x2=3m2-123k2+2,(6分)易得A(0,2),B(0,-2),因为APAQ,所以APAQ=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+(kx1+m-2)(kx2+m-2)=(k2+1)x1x2+k(m-2)(x1+x2)+(m-2)2=0,所以(k2+1)3m2-123k2+2+k(m-2)-6km3k2+2+(m-2)2=0,即(k2+1)(3m2-12)-6k2m(m-2)+(m-2)2(3k2+2)=0,因为m2,所以(k2+1)(3m+6)-6k2m+(m-2)(3k2+2)=0,所以

94、3k2m+6k2+3m+6-6k2m+3k2m+2m-6k2-4=0,即5m+2=0,所以m=-25,满足0.所以直线PQ的方程为y=kx-25,即直线PQ过定点0,-25.(8分)解法一:因为ABH存在,所以k0,所以直线AH的斜率为-1k,方程为y=-1kx+2,联立y=kx-25,y=-1kx+2,解得点H的横坐标为xH=125k+1k,(10分)所以SABH=12AB|xH|=124125|k|+1|k|=245|k|+1|k|125,当且仅当|k|=1|k|,即k=1时取等号,即ABH面积的最大值为125.(12分)解法二:设直线PQ所过的定点为D,则D0,-25.(9分)因为AHP

95、Q,所以点H在以AD为直径的圆上,所以(SAH)max=12ABAD2=1242-252=125,即ABH面积的最大值为125.(12分)22.解析(1)设点(x0,y0)在抛物线y2=2px上,则y02=2px0.下面证抛物线y2=2px在点(x0,y0)处的切线方程为y0y=p(x+x0),联立y2=2px,y0y=p(x+x0),消去x,得y2-2y0y+2px0=0,即y2-2y0y+y02=0,(2分)所以关于y的方程y2-2y0y+y02=0有两个相等的实根,即y1=y2=y0,此时x=y022p=x0,因此直线y0y=p(x+x0)与抛物线y2=2px相切,且切点为(x0,y0)

96、.设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(1,t),则以A为切点的切线方程为y1y=2(x+x1),同理,以B为切点的切线方程为y2y=2(x+x2),(4分)因为两条切线均过点P(-1,t),所以ty1=2(-1+x1),ty2=2(-1+x2),即2x1-ty1-2=0,2x2-ty2-2=0,所以点A、B的坐标满足直线2x-ty-2=0的方程,所以直线AB的方程为2x-ty-2=0,令y=0,可得x=1,所以直线AB过定点(1,0).(6分)(2)设点P到直线AB的距离为d,则SPABSPCD=12dAB12dCD=ABCD.由题意可知,直线AB不与x轴重合,可设直线AB的方程为x=

97、my+1,设C(x3,y3),D(x4,y4),联立y2=4x,x=my+1,得y2-4my-4=0,=16(m2+1)0恒成立,由根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-4,(8分)由弦长公式可得AB=1+m2|y1-y2|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=4(m2+1),联立x24+y23=1,x=my+1,得(3m2+4)y2+6my-9=0,=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)0恒成立,则y3+y4=-6m3m2+4,y3y4=-93m2+4,(10分)由弦长公式得CD=1+m2|y3-y4|=1+m2(y3+y4)2-4y3y4=12(m2+1)3m2+4

98、.所以SPABSPCD=ABCD=4(m2+1)12(m2+1)3m2+4=3m2+43=m2+4343,当且仅当m=0时,等号成立.因此S1S2的最小值为43.(12分)第4章数列1.D当n=1时,S1=2a1-1=a1,解得a1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,所以an是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1,所以nan的前5项和为120+221+322+423+524=129,故选D.2.A设等比数列an的公比为q,依题意可得q1.an0,a1=12,Sn0,12(1-qn)1-q2,0q1,1-qn4-4q,0qn1,01-qn0,

99、得a102a1031,则a1022q1,所以q0,所以等比数列an的各项均为正数,由a102-1a103-10,得(a102-1)(a103-1)1,所以a1021,a1031,T205=a1a2a203a204a205=a1031031成立的最大正整数n的值为204,故选C.4.B设数列3,4,6,9,13,18,24,为an,易得an-an-1=n-1(n2),a1=3,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+1+3=(n-1+1)(n-1)2+3=n(n-1)2+3.所以a19=19182+3=174.故选B.5.C由an+1=

100、12an(nN*)可知数列an是公比为12的等比数列,所以an=1212n-1=12n,所以bn=n-2an=(n-2)2n,因为数列bn是递增数列,所以bn+1bn对于任意的nN*恒成立,即(n+1-2)2n+1(n-2)2n,整理得n+22,又nN*,32,故选C.6.B因为数列an满足a0=1,a2n+1=an,a2n+2=an+an+1(nN),所以a1=a3=a7=a2k-1=1,kN*,a2k+1=a2k-1+a2k=1+a2k,kN*,a2k+1=a2k-1,a2k+2=a2k-1+a2k-1+1,a2k+3=a2k-1+1,a2k+1=a2k-1+a2k,kN*,设S(k)=a

101、2k+1+a2k+2+a2k+1,所以S(k)=a2k+1+a2k+2+a2k+1=3(a2k-1+1+a2k-1+2+a2k)+2a2k-1-2a2k=3S(k-1)-2,又a0=1,所以a1=1,a2=2,a3=1,a4=3,S(1)=a3+a4=4,所以S(k)-1=3S(k-1)-1,S(1)-1=3,所以S(k)-1=3k,即S(k)=3k+1,所以a1+a2+a128=1+2+S(1)+S(6)=3+(3+1)+(32+1)+(36+1)=1101.故选B.7.A对任意的nN*有Sn=23an-23,可得a1=S1=23a1-23,解得a1=-2,当n2时,Sn=23an-23,S

102、n-1=23an-1-23,两式相减得Sn-Sn-1=23an-23an-1=an,即an=-2an-1,所以an是首项为-2,公比为-2的等比数列,所以an=(-2)n,所以Sn=-21-(-2)n1-(-2)=-231-(-2)n,所以1Sk=-231-(-2)k12,所以52(-2)k0,an+1-an=an20,即数列an为递增数列,an+1=an(an+1)6,即1an+1=1an(an+1)=1an-1an+116.易得1an+1=1an-1an+1.2amam+1=21-1am+1,Sm=2a1a1+1+2a2a2+1+2amam+1=21-1a1+1+21-1a2+1+21-1

103、am+1=2m-21a1+1+1a2+1+1am+1=2m-21a1-1a2+1a2-1a3+1am-1am+1=2m-21a1-1am+1=2m-1+2am+1,mN*,a2=a12+a1=6,2m-1+2am+12m-1+2a2=2m-23,Sm2020恒成立,2m-232020,即m1010+13,正整数m的最大值为1010.9.AC因为Sn为数列an的前n项和,且Sn=2an+1(nN*),所以S1=2a1+1,因此a1=-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,所以数列an是以-1为首项,2为公比的等比数列,故C正确;所以an=-2n-1,因此a5

104、=-124=-16,故A正确;又Sn=2an+1=-2n+1,所以S5=-25+1=-31,故B错误;因为S1+1=0,所以数列Sn+1不是等比数列,故D错误.故选AC.10.BC由a2a3a4=64得a33=43,则a3=4.设等比数列an的公比为q(q0),由a2+a4=10,得4q+4q=10,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=12.又数列an单调递增,所以q=2,所以2a1+8a1=10,解得a1=1,所以an=2n-1,Sn=1(1-2n)1-2=2n-1,所以Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n.故选BC.11.ABD若q0,则a60,a6a71矛盾,故舍去;若q

105、1,则a61,a71,a6-1a7-10,与a6-1a7-10矛盾,故舍去,0q1,A正确.a6-1a7-11a70,a6a8=a72(0,1),B正确.an0,Sn单调递增,即Sn的最大值不为S7,C错误.当n7且nN*时,an(0,1),当1n6且nN*时,an(1,+),Tn的最大值为T6,D正确.故选ABD.12.ABD数列an的前n项和满足an+1=2Sn(nN*),当n2时,an=2Sn-1,两式相减,整理得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an(n2),所以an+1=3an(n2),即an+1an=3(n2),又a1=1,a2=2S1=2a1=2,所以a2a1=2,所以数列

106、an的通项公式为an=1,n=1,23n-2n2.当n2时,Sn=an+12=23n-12=3n-1,又S1=a1=1,符合此式,所以数列an的前n项和Sn=3n-1,又Sn+1Sn=3n3n-1=3,所以数列Sn为公比为3的等比数列.故选ABD.13.答案100解析a53a7=a52(a5a7)=a52a62=(a5a6)2=(a3a8)2=100.14.答案75n-13n解析由题意知,数列an满足2Sn=5an-7,当n2时,2Sn-1=5an-1-7,两式相减,可得2Sn-2Sn-1=5an-7-(5an-1-7),即2an=5an-5an-1(n2),即anan-1=53(n2),当n

107、=1时,2S1=5a1-7,即2a1=5a1-7,解得a1=73,所以数列an是首项为73,公比为53的等比数列,所以数列an的通项公式为an=7353n-1=75n-13n.15.答案1349解析当k=1时,a1=1,符合题意.当k2时,a1a2a3ak=log45log56logk+2(k+3)=log4(k+3).令log4(k+3)=m,mZ,则k+3=4m,k=4m-3.令2k=4m-32020,则54m2023,2m5,mZ.区间1,2020内所有“幸福数”的和为1+(42-3)+(43-3)+(44-3)+(45-3)=(4-3)+(42-3)+(43-3)+(44-3)+(45

108、-3)=4(1-45)1-4-15=1349.16.答案2n-2;4解析因为Sn+2=an+1=Sn+1-Sn,所以Sn+1=2Sn+2,所以Sn+1+2=2(Sn+2),所以Sn+2是等比数列且公比q=2,又S1+2=a1+2=2,所以Sn+2=2n,所以Sn=2n-2.当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,则an+1an+4=18,因为Sn+1S2nan+1an+4,所以2n+1-222n-20,解得2n8+52或2n8+52,则nmin=4.17.解析(1)当n=1时,S1=aa-1(a1-1)=a1,所以a1=a.(1分)当n2时,an=Sn-Sn-1=aa-1(an-an-1),

109、(3分)整理得anan-1=a,即数列an是以a为首项,a为公比的等比数列,所以an=aan-1=an(a0,a1).(5分)(2)由(1)知,bn=2aa-1(an-1)an+1=(3a-1)an-2a(a-1)an,b1=3,b2=3a+2a,b3=3a2+2a+2a2,(7分)由数列bn是等比数列,得b22=b1b3,所以3a+2a2=33a2+2a+2a2,解得a=13.(10分)18.解析(1)设等差数列an的公差为d,因为a2=7,S4=40,所以a1+d=7,4a1+432d=40,(2分)解得a1=1,d=6,(4分)所以an=6n-5.(6分)(2)由(1)得bn=3anan

110、+1=3(6n-5)(6n+1)=1216n-5-16n+1,(8分)所以Tn=121-17+17-113+16n-5-16n+1=121-16n+10,所以Sn2an.(12分)20.解析(1)因为点(n+1,Sn+3)在抛物线y=x2上,所以Sn+3=(n+1)2,所以Sn=n2+2n-2.(2分)当n=1时,a1=S1=1;(3分)当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-2-(n-1)2+2(n-1)-2=2n+1.(5分)当n=1时,a1=121+1,所以an=1,n=1,2n+1,n2,nN*.(6分)(2)易得an-9=-8,n=1,2n-8,n2,nN*.(8分)当n=1时,

111、T1=|-8|=8.当1n4,nN*时,Tn=-Sn+9n=-n2-2n+2+9n=-n2+7n+2.当n=1时,-12+71+2=8=T1,满足此式,所以当n4,nN*时,Tn=-n2+7n+2.(9分)当n5,nN*时,Tn=T4+Sn-S4-9(n-4)=14+n2+2n-2-22-9n+36=n2-7n+26.(11分)综上,Tn=-n2+7n+2,n4,nN*,n2-7n+26,n5,nN*.(12分)21.解析(1)数列an中,a1=1,a2=14,且an+1=(n-1)ann-an(n=2,3,4,),a3=(2-1)a22-a2=142-14=17,(2分)a4=(3-1)a3

112、3-a3=2173-17=110.(3分)(2)当n2时,1an+1-1=n-an(n-1)an-1=n(1-an)(n-1)an=nn-11an-1,(4分)当n2时,bn=nn-1bn-1,bn+1=n+1nbn,nN*,(6分)bn=nn-1n-1n-2n-2n-3n-3n-421b1=nb1,b1=1a2-1=3,bn=3n,nN*.(8分)(3)cn=sin3cosbncosbn+1=sin(3n+3-3n)cos3ncos(3n+3)=tan(3n+3)-tan3n,(10分)Sn=c1+c2+cn=(tan6-tan3)+(tan9-tan6)+tan(3n+3)-tan3n=t

113、an(3n+3)-tan3.(12分)22.解析(1)因为a1=a=4,a2=a1+1=5,a3=a2+1=6,a4=a33=2,a5=a4+1=3,a6=a53=1,a7=a6+1=2,所以集合A中的所有元素为4,5,6,2,3,1.(2分)(2)不妨设成等比数列的连续7项中的第一项为ak,kN*,若ak是3的倍数,则ak+1=13ak;若ak被3除余1,则由递推关系可得ak+2=ak+2,所以ak+2是3的倍数,所以ak+3=13ak+2;若ak被3除余2,则由递推关系可得ak+1=ak+1,所以ak+1是3的倍数,所以ak+2=13ak+1.所以成等比数列的连续7项的公比为13.(5分)

114、因为anN*,所以这7项中的前6项一定都是3的倍数,而第7项一定不是3的倍数(否则构成等比数列的连续项数会大于7).设第7项为p,则p是被3除余1或被3除余2的正整数,则ak=p36,因为3620203,则akak+3.因为akN*,所以ak-ak+31,所以数列an中必存在某一项am3(否则会与上述结论矛盾).若am=1,结论得证.若am=3,则am+1=1;若am=2,则am+1=3,am+2=1,所以1A.(12分)第5章导数及其应用1.Cf(x)在0,上的平均变化率为 f()-f(0)-0=2=.故选C.2.C因为limx0f(2+x)-f(2-x)x=2f(2)=-2,所以f(2)=

115、-1,则曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为-1,故所求切线的倾斜角为34.故选C.3.B因为f(x)为幂函数,所以设f(x)=x,又f(x)的图象过点22,12,所以22=12,所以=2,所以f(x)=x2,所以g(x)=x2ex,则g(x)=x(2-x)ex.当x2或x0时,g(x)0;当0x0,所以g(x)=f(x)ex的递减区间为(-,0)和(2,+),故选B.4.Af(x)=ex-(a-1)x+1,f(x)=ex-a+1,f(x)在(0,1)上不单调,f(x)在(0,1)上有变号零点,又f(x)单调递增,f(0)f(1)0,即(1-a+1)(e-a+1)0,解得2a0,f

116、(x)单调递增,无极值点;a0时,则=4a2-84a0,解得02-0.3log20.2,所以f(0.3-1)f(2-0.3)f(log20.2),所以cba.故选D.7.Bf(x)=xx-sinx,x-,0)(0,其定义域关于原点对称,因为f(-x)=-x-x-sin(-x)=xx-sinx=f(x),所以f(x)=xx-sinx,x-,0)(0,为偶函数,其函数图象关于y轴对称,所以排除A.易得f(x)=x(x-sinx)-(x-sinx)x(x-sinx)2=xcosx-sinx(x-sinx)2.令g(x)=xcosx-sinx,则g(x)=-xsinx,所以当x(0,时,g(x)0,所

117、以g(x)=xcosx-sinx在x(0,上单调递减,所以g(x)g(0)=0在x(0,上恒成立,所以f(x)0在x(0,上恒成立,即函数f(x)=xx-sinx在(0,上单调递减,故排除C,D.故选B.8.B设函数g(x)=f(x)ex,则g(x)=f (x)ex-f(x)ex(ex)2=f (x)-f(x)ex,因为f(x)f(x),所以f(x)-f(x)0,所以g(x)0,所以函数g(x)单调递减,因为f(x+1)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(2)=1,所以f(0)=1,所以g(0)=f(0)e0=1,不等式f(x)ex,即f(x)ex1,即g(x)0,即不等

118、式f(x)ex的解集为(0,+).故选B.9.ABC对于A,若y=x2+ln2,则y=2x,故A中结论错误;对于B,若y=(2x+1)2=4x2+4x+1,则y=8x+4,故B中结论错误;对于C,若y=x2ex,则y=2xex+x2ex=(x2+2x)ex,故C中结论错误;对于D,若y=lnxx,则y=1xx-lnxx2=1-lnxx2,故D中结论正确.故选ABC.10.BC根据题中图象可知,当x-2,-1时,f(x)0,则f(x)在-2,-1上是减函数,故A错误;当x=-1时,f(x)=0,当x(-2,-1)时,f(x)0,故当x=-1时,f(x)取得极小值,故B正确;当x-1,2时,f(x

119、)0,故f(x)在-1,2上是增函数,当x2,4时,f(x)0,故f(x)在2,4上是减函数,故C正确;当x=3时,f(x)不能取到极小值,故D错误.故选BC.11. BCD易知函数y=cosx,y=cos5x5,y=cos9x9的周期分别是2,25,29,其最小公倍数为2,所以f(x)的最小正周期为2,故A中结论错误;因为 f-2=cos-2+cos-525+cos-929=0,所以函数f(x)的图象关于点-2,0对称,故B中结论正确;f(x)=-sinx-sin5x-sin9x=f(-x),故C中结论正确; 易知当x=2时,f(x)取得最小值,f2=-sin2-sin52-sin92=-3

120、,故D中结论正确.故选BCD.12.CD构造函数g(x)=f(x)-x2x+1,则g(x)=f (x)-2x(x+1)-f(x)-x2(x+1)2=(x+1)f (x)-f(x)-x2-2x(x+1)2.因为(x+1)f(x)-f(x)x2+2x在x(0,+)上恒成立,所以g(x)=(x+1)f (x)-f(x)-x2-2x(x+1)20在x(0,+)上恒成立,即g(x)在(0,+)上递减,所以g(2)g(1),即 f(2)-43f(1)-12,整理得2f(2)-3f(1)5,故A错误;所以g(3)g(1),即 f(3)-94f(1)-12,整理得f(3)-2f(1)1,则g(x)g(1)在(

121、1,+)上恒成立,所以f(x)-x2x+1f(1)-12=12,整理得f(x)x2+12x+12,所以B错误;若f(1)=2,0xg(1)在(0,1)上恒成立,所以f(x)-x2x+112,整理得f(x)x2+12x+12,故D正确.故选CD.13.答案x-y-1=0解析易得f(x)=ex+xex+2x,f(0)=-1,根据导数的几何意义可知曲线f(x)在点(0,-1)处的切线斜率为f(0)=1,切线方程为y+1=x,即x-y-1=0.14.答案3解析由题意得f(x)=3x2+2f(0),令x=0,得f(0)=2f(0),则f(0)=0,则f(x)=x3,所以f(x)=3x2,所以f(1)=3

122、.15.答案8,+)解析由题意知h(x)=2x-2x,f(x)=2x-2x-5lnx-5ln2,g(x)=x2-bx+4,f(x)=2+2x2-5x=2x2-5x+2x2=(x-2)(2x-1)x2,f(x)在0,12上单调递增,在12,2上单调递减.易知f(x)在区间(0,1上的最大值为f12=-3,x1(0,1,x21,2,都有f(x1)g(x2)成立,即f(x)在(0,1上的最大值大于或等于g(x)在1,2上的最大值,即f12g(1),f12g(2),即-35-b,-38-2b,解得b8,即实数b的取值范围为8,+).16.答案0或-2e2+1;1e解析由k=-2e2,得g(x)=f(x

123、)+2e2x,则当x1时,g(x)=f(x)-kx=lnx+2e2x0恒成立,所以不存在x0,使g(x0)=0;当x1时,g(x)=-x3+x+2e2x,因为g(x0)=0,所以-x03+x0+2e2x0=0,解得x0=0或x0=-1+2e2或x0=1+2e2(舍去).易知x=0为函数g(x)的一个零点.当x0时,令f(x)-kx=0,则k=f(x)x.即k=lnxx,x1,-x2+1,x0,(x)单调递增,当x(e,+)时,(x)0,(x)单调递减,所以当x=e时,函数(x)取得极大值,极大值为(e)=1e,作出直线y=k与函数y=lnxx,x1,-x2+1,x1且x0的图象,如图所示,要使

124、函数g(x)恰好有4个零点,只需直线y=k与函数y=lnxx,x1,-x2+1,x1且x0的图象有3个不同的交点,由图可知,当k=1e时,满足条件.综上,要使函数g(x)恰好有4个零点,则k=1e.17.解析(1)由题意得f(x)=x2-2x+a,(1分)当x=1+2时,f(x)取得极值,f(1+2)=0,(2分)(1+2)2-2(1+2)+a=0,a=-1,f(x)=x2-2x-1.(3分)当x0;当1-2x1+2时,f(x)1+2时,f(x)0,f(x)在(-,1-2)上单调递增,在(1-2,1+2)上单调递减,在(1+2,+)上单调递增,f(1+2)是函数f(x)的极小值.(5分)(2)

125、由(1)知f(x)=13x3-x2-x,设f(x)=g(x),整理得13x3-x2-3x=b,设F(x)=13x3-x2-3x,则F(x)=x2-2x-3,令F(x)=0,解得x=-1或x=3.(7分)列表如下:x-3(-3,-1)-1(-1,3)3(3,4)4F(x)+0-0+F(x)-9极大值极小值203易得F(-1)=53,F(3)=-9.(9分)函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,函数F(x)的图象与直线y=b有两个公共点,结合图象(图略)可知-203b0,yln2-1+12=ln2e0,(7分)g(x)0,g(x)在(2,e)上单调递增,(9分)即g(x)g(2)=1ln2,g

126、(x)0).(1分)由题意得f(x)0在x(0,+)上恒成立,即a2x2-2x在x(0,+)上恒成立,而2x2-2x=2x-122-12-12,(3分)a-12.(4分)(2)由题意知2x2-2x-a=0在(0,+)内有2个不等实根x1,x2,则-12a0,且x1+x2=1,x1x2=-a2,(5分)不妨设x1x2,则0x112,则f(x1)x1+f(x2)x2=x1-alnx1x1-2+x2-alnx2x2-2=-3-alnx1x1+lnx2x2=-3+2x1x2lnx1x1+lnx2x2=2x2lnx1+2x1lnx2-3=2(1-x1)lnx1+2x1ln(1-x1)-3,(7分)令g(

127、x)=(1-x)lnx+xln(1-x)0x1,1-2x0,x(1-x)0,故g(x)0,则g(x)在0,12上单调递增,(10分)所以g(x)g12=ln12=-ln2,当x0时,g(x)-,故g(x)(-,-ln2),则f(x1)x1+f(x2)x2的取值范围是(-,-2ln2-3).(12分)20.解析(1)因为半球的半径与圆柱的底面半径都为rdm,所以半球体积V1=23r3dm3,圆柱的体积V2=r2hdm3.因为V1+V2=18,所以V2=r2h=18-23r3,(2分)所以h=18r2-2r3.(3分)因为V1=23r318,所以r3,因此0r3,(4分)所以h=18r2-2r3,

128、定义域为r|0r3.(5分)(2)易得半球的表面积S1=2r2dm2,圆柱的侧面积S2=2rhdm2,圆柱的底面积S3=r2dm2.(6分)设容器的总造价为y元,则y=3aS1+aS2+2a3S3=6r2a+2rha+2a3r2=203r2a+2r18r2-2r3a=4a34r2+27r(0r3).(8分)令f(r)=4r2+27r,则f(r)=8r-27r2=8r3-27r2,令f(r)=0,得r=32.(9分)当0r32时,f(r)0,则f(r)在0,32上为单调递减函数;当32r0,则f(r)在32,3上为单调递增函数.(11分)因此当r=32时,f(r)取得极小值,也是最小值,为27,

129、此时y有最小值36a.所以当容器的总造价最低时,圆柱的底面半径r为32dm.(12分)21.解析(1)易得f(x)的定义域为(0,+),(1分)f(x)=a-(lnx+1)=a-1-lnx.(2分)令f(x)0,解得0xea-1;令f(x)ea-1,(3分)所以f(x)的单调递增区间为(0,ea-1),单调递减区间为(ea-1,+).(4分)(2)证明:由(1)可知,f(x)的极大值为f(ea-1)=aea-1-ea-1lnea-1=ea-1,因为函数f(x)的极大值为1,所以ea-1=1,所以a=1,(5分)所以f(x)=x-xlnx,所以f(x)=1-lnx-1=-lnx,当x1时,f(x

130、)0,所以f(x)在(1,+)上单调递减,因为1nf(m),(7分)所以g(n)-f(n)=2nn2+1-(n-nlnn)=nlnn-n2-1n2+1,(8分)设(n)=lnn-n2-1n2+1,n1,则(n)=(n2-1)2n(n2+1)20,所以(n)在(1,+)上单调递增,所以(n)(1)=0,(10分)所以lnn-n2-1n2+10,所以g(n)f(n).又f(n)f(m),所以f(m)g(n).(12分)22.解析(1)由题意可得f(x)的定义域为R,f(x)=m-ex.当m0时,f(x)0时,令f(x)=0,解得x=lnm,当x(lnm,+)时,f(x)0,f(x)单调递增,(3分

131、)f(x)在x=lnm处取得极大值,极大值为f(lnm)=mlnm-m+3,无极小值,综上所述,当m0时,f(x)无极值,当m0时,f(x)的极大值为mlnm-m+3,无极小值.(5分)(2)把m=0,f(x)=mx-ex+3代入(x-a)f(x)-2x+2得(a-x)(ex-1)0,ex-10,a-xx+2ex-1,a0(*).(7分)令g(x)=x+2ex-1+x,则g(x)=ex(ex-x-3)(ex-1)2.(8分)设h(x)=ex-x-3.由(1)可知,当m=1时,f(x)=-ex+x+3在(0,+)上单调递减,函数h(x)=ex-x-3在(0,+)上单调递增,又h(1)0,(9分)

132、h(x)在(0,+)上存在唯一的零点x0,且x0(1,2).g(x)在(0,+)上也存在唯一的零点,且为x0.当x(0,x0)时,g(x)0,g(x)min=g(x0).(10分)由g(x0)=0得ex0=x0+3,g(x0)=x0+1,g(x0)(2,3),(11分)由(*)式可知,a0),灯口直径是20cm,灯深10cm,点(10,10)在抛物线y2=2px(p0)上,100=2p10,p=5.p2=2.5.光源到反射镜顶点的距离为2.5cm.故选A.5.A已知O为原点,OP=1,所以点P的轨迹为圆,其方程为x2+y2=1,又M14,-34,所以OM2=14-02+-34-02=14,即O

133、M=12,所以点M在圆内,则有PM1-OM=12, 线段PM的长的最小值为12.故选A.6.B双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax,故P12,b2a,设F1(-c,0),F2(c,0),则PF1=-c-12,b2a,PF2=c-12,b2a.因为PF1PF2=0,所以-c+12c-12+b24a2=0,即4a2c2-a2=b2=c2-a2,所以4a2c2-c2=0,因为c20,所以4a2-1=0,因为a0,所以a=12.故选B.7.D不妨设点P在x轴上方,如图所示:将x=-c代入 x2a2+y2b2=1,解得y=b2a,所以P-c,b2a,因为F1PF2=60,所

134、以tan60=F1F2PF1=2cb2a=3,所以2ac=3b2,即2ac=3(a2-c2),所以3e2+2e-3=0,解得e=33(e=-3舍去),所以该椭圆的离心率是33.故选D.8.B如图所示:由题意可知A(0,-2),设B(x0,y0)(x00,y0-2),则B点的坐标满足x028+y024=1,AB=(x0,y0+2).AP=14AB,AP=14x0,14y0+12,P14x0,14y0-32,MP=14x0,14y0-76.直线AB与圆M相切于P点,MPAB,14x0x0+14y0-76(y0+2)=0,即14x02+14y02-23y0-73=0,将x028+y024=1代入上式

135、可得y024+23y0+13=0.解得y0=-23或y0=-2(舍去),B83,-23,P23,-53,AB=83-02+-23-(-2)2=453,BP=34AB=5,MP=232+-53-132=253.又BPM=90,tanABM=MPBP=2535=23.故选B.9.BC选项A,由点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3,可得|6+4+c|5=3,解得c=5或c=-25,则“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充分不必要条件,故选项A错误;选项B,直线xsin-y+1=0的斜率k=sin-1,1,设直线的倾斜角为,则0tan1或-1tan52-32,所以

136、BD的最小值为52-32.17.解析(1)圆C的圆心为C(3,4),半径r=2,直线l被圆C截得的弦长为23,圆心C到直线l的距离d=22-2322=1.(2分)当直线l的斜率不存在时,l:x=2,显然满足d=1;当直线l的斜率存在时,设l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.由圆心C到直线l的距离d=1得|k-1|k2+1=1,解得k=0,故l:y=3.综上所述,直线l的方程为x=2或y=3.(5分)(2)由题意可知直线l的斜率一定存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x-1)(k0),即kx-y-k=0,则圆心C到直线l的距离d=|2k-4|k2+1,又CPQ的面积S=12d2

137、4-d2=d4-d2=d2(4-d2)=-(d2-2)2+4,当d=2时,S取得最大值2,(8分)由d=|2k-4|k2+1=2,得k=1或k=7,直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.(10分)18.解析(1)由已知得a2=12,b2=4,故c=a2+b2=4,所以F1(-4,0)、F2(4,0),(2分)因为曲线C是以F2为圆心且过原点的圆,所以此圆圆心为(4,0),半径为4,所以曲线C的方程为(x-4)2+y2=16.(4分)(2)设点M(x,y),P(x0,y0),则F1M=(x+4,y),MP=(x0-x,y0-y),由F1M=MP,得(x+4,y)=(x0-x,y0-y)

138、,(6分)即x+4=x0-x,y=y0-y,解得x0=2x+4,y0=2y,(9分)因为点P在曲线C上,所以(x0-4)2+y02=16,即(2x+4-4)2+(2y)2=16,化简得x2+y2=4.所以点M的轨迹方程为x2+y2=4.(12分)19.解析(1)建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,2a),B(0,a),设M(x,y),由题意得,若狼能吃掉兔子,则BMAM2,整理得x2+y-2a324a29,(3分)所以点M在以0,2a3为圆心,2a3为半径的圆上及其内部,所以S(a)=4a29.(6分)(2)由题意可知直线AD的斜率存在且不为0,故可设lAD:y=kx+2a(k0),兔子要

139、想不被狼吃掉,则需2a-2a3k2+12a3,(8分)解得k(-3,0)(0,3),可得0ADC0),则圆C的半径为m,又MN=3,所以m2=4+322=254,(2分)解得m=52(负值舍去),所以圆C的方程为x-522+(y-2)2=254.(4分)(2)证明:令y=0,得x-522=94,解得x=1或x=4,(6分)所以M(1,0),N(4,0).当直线AB的斜率为0时,易知kAN=kBN=0,即kAN+kBN=0,为定值.(7分)当直线AB的斜率不为0时,设直线AB:x=1+ty,联立x=1+ty,x2+y2-4=0,整理得(t2+1)y2+2ty-3=0.(8分)设A(x1,y1),

140、B(x2,y2),所以y1+y2=-2tt2+1,y1y2=-3t2+1,(9分)则kAN+kBN=y1x1-4+y2x2-4=y1ty1-3+y2ty2-3=2ty1y2-3(y1+y2)(ty1-3)(ty2-3)=-6tt2+1+6tt2+1(ty1-3)(ty2-3)=0,为定值.综上可知,kAN+kBN=0,为定值.(12分)21.解析(1)椭圆的离心率为22,ca=22.直线xa+yb=1与圆x2+y2=2相切,11a2+1b2=2.(2分)又c2+b2=a2,a2=6,b2=3.椭圆C的标准方程为x26+y23=1.(4分)(2)当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程为x=n(-

141、6n0,即6k2-m2+30.x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-62k2+1.线段AB的中点M-2km2k2+1,m2k2+1.(8分)当k=0时,M(0,m),OP=15OM,3=15|m|,m2=15,SABO=|m|61-m23=275.(9分)当k0时,射线OM所在的直线方程为y=-12kx.联立y=-12kx,x26+y23=1,消去y,得xP2=12k22k2+1,yP2=32k2+1.OMOP=|yM|yP|=m23(2k2+1)=115.5m2=2k2+1.经检验满足0.(10分)设点O到直线l的距离为d,则d=|m|k2+1.SABO=12dk2+1|x1-x

142、2|=2|m|6k2+3-m22k2+1=2|m|14m25m2=275.综上,ABO的面积为275.(12分)22.解析(1)因为曲线C2过点P1,32,所以代入得p=98,所以曲线C2的方程为y2=94x.(1分)由题意得1a2+94b2=1,ca=12,a2=b2+c2,所以a2=4,b2=3,则曲线C1的方程为x24+y23=1.(2分)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,设直线l1的方程为y=k(x-1)+32.联立y=k(x-1)+32,x24+y23=1,得(4k2+3)x2+4k(3-2k)x+4k2-12k-3=0,所以x1=4k2-12k-34k2+3,联立

143、y=k(x-1)+32,y2=94x,得k2x2+k(3-2k)-94x+k2-3k+94=0,所以x2=4k2-12k+94k2,(4分)因为PB=3PA,所以(x2-1)2+y2-322=3(x1-1)2+y1-322,则1+k2(x2-1)=31+k2(x1-1),即-12k+94k2=3-12k-64k2+3,(6分)化简得(2k+3)(16k2-6k+3)=0,且k0,所以k-34.(9分)因为S1S2121,311,所以12PCPAsinAPC12PDPBsinDPB121,311,即PCPAPDPB121,311,所以(2k+1)(4k+3)(2k-1)(4k-3)121,311

144、,所以k(-2,-1)-38,-316.(11分)又因为k0,由题意知x2=16,x=4.故选A.3.Dy=1-2x.当x=1时,y=1-2=-1.所以曲线y=x-x2在点(1,0)处的切线方程为y=-1(x-1),即x+y-1=0.故选D.4.C圆C1:(x+1)2+(y+2)2=4,圆心 C1(-1,-2),半径r1=2;圆C2:(x-2)2+(y-2)2=9,圆心C2(2,2),半径r2=3.圆心距C1C2=(-1-2)2+(-2-2)2=5.C1C2=r1+r2,两圆外切,有3条公切线.故选C.5.A设只能堆放n层,则从最上层往下,每层铅笔数组成首项为1,公差为1的等差数列,且余下的铅

145、笔数小于n+1,于是n(n+1)2100,且100-n(n+1)20.当x0时,g(x)=f(x)+xf(x)g(0)=1;当x0时,g(x)=f(x)+xf(x)0,此时函数y=g(x)单调递增,则g(x)g(0)=1.所以当x0时,F(x)=f(x)+1x=xf(x)+1x0时,F(x)=f(x)+1x=xf(x)+1x0.综上所述,函数F(x)的零点个数为0.故选A.9.ACD由2x2-y2=8,得x24-y28=1,所以a2=4,b2=8,所以a=2,b=22,c=23,所以离心率e=ca=232=3,实轴长2a=4,虚轴长2b=42,顶点坐标为(2,0).故选ACD.10.ABC由S

146、6=S12,得S12-S6=a7+a8+a9+a10+a11+a12=0,即3(a9+a10)=0,即a9+a10=0.由a9+a10=0,得2a1+17d=0,所以a1d=-172,故A正确.S18=18(a1+a18)2=18(a9+a10)2=0,故B正确.a6+a14=a9+a11=a9+a10+d=d,若d0,则a6+a14=d0,故C正确.当d0时,a6+a14=d0,则a6-a14,因为d0,a140,所以|a6|a14|,故D不正确.故选ABC.11.BC方程x=1-y2可化为x2+y2=1(x0),表示圆x2+y2=1的右半部分.当直线y=x+b过点A(0,1)时,b=1;当

147、直线y=x+b过点B(0,-1)时,b=-1;当直线y=x+b与半圆相切于点C时,由圆心到直线y=x+b的距离等于半径,可得|0-0+b|2=1,解得b=-2或b=2(舍).由图可知,直线y=x+b与曲线x=1-y2恰有一个公共点时,-10恒成立,所以f(x)在(1,+)上单调递增,不符合;当k0时,f(x)0恒成立,所以f(x)在(1,+)上单调递减,不符合;当0k1时,若x1,1k,则f(x)0,所以f(x)在1,1k上单调递减,在1k,+上单调递增,符合题意.综上,k(0,1).15.答案1.44解析建立如图所示的直角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,焦点F在x轴上.

148、设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),由已知条件可得,点A(1,2.4)在抛物线上,所以2p=2.42,解得p=2.88.所以抛物线的标准方程为y2=5.76x,焦点坐标为(1.44,0).所以抛物线的焦点到顶点的距离为1.44m.16.答案34;1347解析由题意可得Fn=1,1,2,3,5,8,13,21,34,所以F9=34.数列an=1,1,0,1,1,0,1,1,0,所以数列an是一个周期为3的周期数列.20203=6731,所以数列an的前2020项和为2673+1=1347.17.证明(1)选条件:当n=1时,S1=a1=3,(1分)当n2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-

149、32-3n-32=3n,(3分)经检验,a1=3符合此式,所以an=3n,nN*.(4分)又an+1an=3, 所以数列an是以3为首项,3为公比的等比数列.(5分)选条件:当n=1时,2S1=a2-3,即a2=2a1+3=9,(1分)当n2时,由2Sn=an+1-3,2Sn-1=an-3,得2an=an+1-an,即an+1=3an.(3分)又a2=3a1,所以an+1an=3,nN*.所以数列an是以3为首项,3为公比的等比数列.(5分)(2)由(1)得bn=n.(6分)所以Tn=112+123+134+1n(n+1)=1-12+12-13+13-14+1n-1n+1=1-1n+1.(9分

150、)所以Tn-1.(1分)令f(x)=0,得x=0.当-1x0时,f(x)0时,f(x)0.(3分)所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.(4分)(2)证明:当x2,+)时,要证g(x)x(x-1)2,即证g(x)-2x(x-1)0.(5分)令h(x)=g(x)-2x(x-1)=ex-1-2x(x-1),则h(x)=ex-4x+2.(6分)令I(x)=h(x)=ex-4x+2,则I(x)=ex-4e2-40,所以I(x)=h(x)在2,+)上单调递增.(8分)所以h(x)h(2)=e2-60,所以h(x)在2,+)上单调递增,(10分)所以h(x)h(2)=e2-1-22

151、=e2-50恒成立.所以当x2,+)时,g(x)x(x-1)2.(12分)20.解析(1)当0x7时,p(x)=-13x2+4x-5,p(5)=-253+20-5=203,即当每月生产5万件口罩时,利润为203万元.(3分)(2)当0x7时,p(x)=-13(x-6)2+7,当x=6时,p(x)取得最大值,最大为p(6)=7万元.(5分)当x7时,p(x)=12-lnx-e3x,p(x)=-1x+e3x2=e3-xx2,令p(x)=0,解得x=e3.(8分)当7x7,当x=e3时,p(x)取得最大值.故当月产量为e3万件时,生产的口罩所获月利润最大,最大月利润为8万元.(12分)21.解析(1

152、)易得F0,p2.设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为y=kx+p2,kR.联立x2=2py,y=kx+p2,得x2-2pkx-p2=0,x1+x2=2pk,x1x2=-p2,(2分)两平行光线间的距离d=|x1-x2|=4p2k2+4p22p,(4分)2p=8,抛物线C的方程为x2=8y.(5分)(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),AB的中点M(x0,y0).联立x2=8y,y=x+m,得x2-8x-8m=0,令0,得m-2.x0=xA+xB2=4,y0=4+m.(7分)易知MTAB,kMTkAB=-1,即 4+m-4984-31=-1,解得m=98,(9分)xAx

153、B=-9,又xA+xB=2x0=8,AB=1+12|xA-xB|=2(xA+xB)2-4xAxB=102.(12分)22.解析(1)当5t20时,不妨设P(t)=1000-k(20-t)2,由P(5)=100,解得k=4.(2分)因此P(t)=1000-4(20-t)2,5t20,tN*,1000,20t25,tN*.(4分)(2)设y(t)=Q(t)t.当5t20,tN*时,Q(t)=t4P(t)-40t2+650t-2000=-t3+500t-2000,因此y(t)=Q(t)t=-t2-2000t+500,5t20,tN*,(5分)y(t)=-2t+2000t2=-2(t3-1000)t2.当5t0,y(t)单调递增;当10t20,tN*时,y(t)0,y(t)单调递减.所以y(t)max=y(10)=200.(7分)当20t25,tN*时,Q(t)=-40t2+900t-2000,因此y(t)=Q(t)t=900-40t+50t,20t25,tN*.(8分)易得y(t)=-40(t2-50)t20,所以y(t)单调递减,所以y(t)max=y(20)=0.(10分)综上,当发车时间间隔为10分钟时,单位时间的净收益Q(t)t最大.(12分)