广东省广州市2018-2022年近五年中考数学试卷PDF版附答案.pdf

1、2018 年广东省广州中考数学一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）1四个数 0，1，2，12 中，无理数的是()A2B1C 12D02如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有()A1 条B3 条C5 条D无数条3如图所示的几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，它的主视图是()ABCD4下列计算正确的是()A222()ababB22423aaaC221(0)x yxyyD2 36(2)8xx 5 如 图，直线 AD，BE 被直线 BF 和 AC 所 截，则1 的 同位 角和5内错角 分别是A4，2B2，6C5，

2、4D2，46甲袋中装有 2 个相同的小球，分别写有数字 1 和 2；乙袋中装有 2 个相同的小球，分别写有数字 1 和 2从两个口袋中各随机取出 1 个小球，取出的两个小球上都写有数字 2 的概率是()A 12B 13C 14D 167如图，AB 是O的弦，OCAB，交O于点 C，连接 OA，OB，BC，若20ABC，则AOB的度数是()A 40B 50C 70D808九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等交易其一，金轻十三两问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金 9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银 11 枚（每枚白银重量相同

3、），称重两袋相等两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两（袋子重量忽略不计）问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，根据题意得()A 119(10)(8)13xyyxxyB 10891311yxxyxyC 911(8)(10)13xyxyyxD 911(10)(8)13xyyxxy9一次函数 yaxb 和反比例函数abyx在同一直角坐标系中的大致图象是()ABCD10在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点 O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m 其行走路线如图所示，第 1 次移动到1A，第 2 次移动到2A，第

4、n 次移动到nA 则22018OA A的面积是()A2504mB210092mC210112mD21009m二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）11已知二次函数2yx，当0 x 时，y 随 x 的增大而（填“增大”或“减小”)12如图，旗杆高8ABm，某一时刻，旗杆影子长16BCm，则 tan C 13方程 146xx的解是14如图，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为(3,0)，(2,0)，点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是15如图，数轴上点 A 表示的数为 a，化简：244aaa16如图，CE 是ABCD的边 AB 的垂直平分线，垂足为点 O，

5、CE 与 DA 的延长线交于点 E 连接 AC，BE，DO，DO 与 AC 交于点 F，则下列结论：四边形 ACBE 是菱形；ACDBAE；:2:3AF BE；:2:3CODAFOESS四边形其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分.）17解不等式组：10213xx 18如图，AB 与 CD 相交于点 E，AECE，DEBE求证：AC 19已知2296(3)(3)aTa aa a（1）化简T；（2）若正方形 ABCD 的边长为 a，且它的面积为 9，求T 的值20随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生为了解某小区居民使用共享单车

6、的情况，某研究小组随机采访该小区的 10 位居民，得到这 10 位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9（1）这组数据的中位数是，众数是；（2）计算这 10 位居民一周内使用共享单车的平均次数；（3）若该小区有 200 名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数21友谊商店 A 型号笔记本电脑的售价是 a 元/台最近，该商店对 A 型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过 5 台，每台按售价销售；若超过 5 台，超过的部分每台按售价的八折销售某公司一次性从友谊商店购买 A 型号笔记本电

7、脑 x 台（1）当8x 时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？（2）若该公司采用方案二购买更合算，求 x 的取值范围22设(,0)P x是 x 轴上的一个动点，它与原点的距离为1y（1）求1y 关于 x 的函数解析式，并画出这个函数的图象；（2）若反比例函数2kyx的图象与函数1y 的图象相交于点 A，且点 A 的纵坐标为 2求 k 的值；结合图象，当12yy时，写出 x 的取值范围23如图，在四边形 ABCD 中，90BC，ABCD，ADABCD（1）利用尺规作ADC的平分线 DE，交 BC 于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，证明：A

8、EDE；若2CD ，4AB，点 M，N 分别是 AE，AB 上的动点，求 BMMN的最小值24已知抛物线224(0)yxmxmm（1）证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点 C，A，B，C 三点都在P 上试判断：不论 m 取任何正数，P 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；若点 C 关于直线2mx 的对称点为点 E，点(0,1)D，连接 BE，BD，DE，BDE的周长记为l，P 的半径记为 r，求 lr 的值25如图，在四边形 ABCD 中，60B，30D，A

9、BBC（1）求AC 度数；（2）连接 BD，探究 AD，BD，CD 三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若1AB ，点 E 在四边形 ABCD 内部运动，且满足222AEBECE，求点 E 运动路径长度参考答案1 A 2 C 3 B 4 D 5 B 6 C 7 D 8 D 9 A 10 A 11增大12 12 132x 14(5,4)1521617解：10213xx ，解不等式，得1x ，解不等式，得2x，不等式，不等式的解集在数轴上表示，如图，原不等式组的解集为 12x 18证明：在 AED和CEB中，AECEAEDCEBDEBE，()AEDCEB SAS，AC（全等三角形对应角相等）19

10、解：（1）2222296(3)(3)1(3)(3)(3)aaaTa aa aa aa；（2）由正方形的面积为 9，得到3a ，则13T 20解：（1）按照大小顺序重新排列后，第 5、第 6 个数分别是 15 和 17，所以中位数是(1517)216，17 出现 3 次最多，所以众数是 17，（2）1(07912151732026)1410，答：这 10 位居民一周内使用共享单车的平均次数是 14 次；（3）200 142800答：该小区居民一周内使用共享单车的总次数为 2800 次21（解：设购买 A 型号笔记本电脑 x 台时的费用为 w 元，（1）当8x 时，方案一：90%87.2waa，方

11、案二：5(85)80%7.4waaa，当8x 时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是 7.2a 元；（2）若该公司采用方案二购买更合算，5x，方案一：90%0.9waxax，方案二：当5x 时，5(5)80%50.840.8waxaaaxaaax，则 0.90.8axaax，10 x，x 的取值范围是10 x 22解：（1）由题意1|yx函数图象如图所示：（2）当点 A 在第一象限时，由题意(2,2)A，22k，4k同法当点 A 在第二象限时，4k ，观察图象可知：当0k 时，2x 时，12yy或0 x 时，12yy当0k 时，2x 时，12yy或0 x 时，12yy23解：（1）如

12、图，ADC的平分线 DE 如图所示（2）解法一：在 DA 上截取 DGCD，连接 GE，由（1）知GDECDE，又 DEDE，GDECDE，90DGEC，DECDEC，在AGE和 ABE中，90AGEABE ，而 ADAGDGABCD，DGCD，AGAB，又 AEAE，Rt AEGRt AEBAEGAEB，90DEGAEGDECAEB ，即90AED，故 AEDE解法二：延长 DE 交 AB 的延长线于 F/CDAF，CDEF，CDEADE，ADFF，ADAF，ADABCDABBF，CDBF，DECBEF，DECFEB，DEEF，ADAF，AEDE作点 B 关于 AE 的对称点 K，连接 EK

13、，作 KHAB于 H，DGAB于 G 连接 MK ADAF，DEEF，AE平分DAF，则AEKAEB，4AKAB，在 Rt ADG中，224 2DGADAG，/KHDG，KHAKDGAD，464 2KH，8 23KH，MBMK，MBMNKMMN，当 K、M、N 共线，且与 KH 重合时，KMMN的值最小，最小值为 KH 的长，BMMN的最小值为 8 23 24解：（1）令0y，224 0 xmxm ，224 24816mmmm，0m，0，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；（2）令0y，224 0 xmxm ，(2)(2)0 xxm，2x或(2)xm，(2,0)A，(2)Bm，0)，2OA，

14、2OBm，令0 x ，2(2)ym，(0C，2(2)m，2(2)OCm，通过定点(0,1)理由：如图，点 A，B，C 在P 上，OCBOAF ，在 Rt BOC中，21tan2(2)2OBmOCBOCm，在 Rt AOF中，1tan22OFOFOAFOA，1OF，点 F 的坐标为(0,1)；如图 1，由知，点(0,1)F，(0,1)D，点 D 在P 上，点 E 是点 C 关于抛物线的对称轴的对称点，90DCE，DE是P 的直径，90DBE ，BEDOCB，1tan2BED，设 BDn，在 Rt BDE中，1tan2BDnBEDBEBE，2BEn，根据勾股定理得，225DEBDBEn，(35)l

15、BDBEDEn，1522rDEn，(35)106 5552lnrn25解：（1）如图 1 中，在四边形 ABCD 中，360ABCD ，60B，30C，3606030270AC （2）如图 2 中，结论：222DBDADC理由：连接 BD 以 BD 为边向下作等边三角形 BDQ60ABCDBQ，ABDCBQ，ABBC，DB BQ，ABDCBQ，AD CQ，ABCQ，270ABCDBCQBCD，90DCQ，222DQDCCQ，CQDA，DQDB，222DBDADC（3）如图 3 中，连接 AC，将ACE绕点 A 顺时针旋转 60 得到 ABR，连接 RE 则 AER是等边三角形，222EAEBE

16、C，EARE，ECRB，222RERBEB，90EBR，150RAERBE ，210ARBAEBAECAEB ，150BEC ，点 E 的运动轨迹在 O 为圆心的圆上，在O 上取一点 K，连接 KB，KC，OB，OC，180KBEC，30K ，60BOC，OBOC，OBC 是等边三角形，点 E 的运动路径6011803 2019 年广州市中考数学第一部分 选择题（共 30 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1.6-=（）（A）-6（B）6（C）61（D）612.广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美

17、好生活的好去处，到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（）（A）5（B）5.2（C）6（D）6.43.如图 1，有一斜坡 AB，坡顶 B 离地面的高度 BC 为 30m，斜坡的倾斜角是BAC，若52tanBAC，则次斜坡的水平距离 AC 为（）（A）75m（B）50m（C）30m（D）12m4.下列运算正确的是（）（A）-3-2=-1（B）313132（C）1553xxx（D）baaba5.平面内，O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作O 的切线条数为（）（A）0 条（

18、B）1 条（C）2 条（D）无数条6.甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做 8 个，甲做 120 个所用的时间与乙做150 个所用的时间相等，设甲每小时做 x 个零件，下列方程正确的是（）（A）8150120 xx（B）xx1508120（C）xx1508120（D）8150120 xx7.如图 2，平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的重点，则下列说法正确的是（）（A）EH=HG（B）四边形 EFGH 是平行四边形（C）ACBD（D）ABO的面积是 EFO的面积的 2 倍8.若点),1(

19、1yA，),2(2yB，),3(3yC在反比例函数xy6的图像上，则321,yyy大小关系（）（A）123yyy（B）312yyy（C）231yyy（D）321yyy9.如图 3，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD 于点 E，F，若 BE=3，AF=5，则 AC 的长为（）（A）54（B）34（C）10（D）810.关于 x 的一元二次方程02)1(2kxkx有两个实数根21,xx，若32)2(2212121xxxxxx，则 k 的值（）（A）0 或 2（B）-2 或 2（C）-2（D）2第二部分非选择题（共 120 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每

20、小题 3 分，满分 18 分）11.如图 4，点 A，B，C 在直线 l 上，PBl，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点 P 到直线 l 的距离是_cm.12.代数式81x有意义时，x 应满足的条件是_.13.分解因式：yxyyx 22=_.14.一副三角板如图 5 放置，将三角板ADE绕点 A逆时针旋转)900(，使得三角板 ADE 的一边所在的直线与 BC 垂直，则 的度数为_.15.如图 6 放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为 2 的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为_.（结果保留）16.如图 7，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动（不与

21、点 A，B 重合），DAM=45，点 F 在射线 AM 上，且BEAF2，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC，EF，EG，则下列结论：ECF=45 AEG的周长为a 221222EGDGBE EAF的面积的最大值281 a其中正确的结论是_.（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分。）17.解方程组：931yxyx18.如图 8，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE=FE，FCAB，求证：CFEADE 19.已知)(1222bababaaP（1）化简 P；（2）若点（a，b）在一次函数2 xy的图像上，求 P 的值。20.某中学抽取了 4

22、0 名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图。频数分布表组别时间/小时频数/人数A 组10 t2B 组21 tmC 组32 t10D 组43 t12E 组54 t7F 组5t4请根据图表中的信息解答下列问题：（1）求频数分布表中 m 的值；（2）求 B 组，C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；（3）已知 F 组的学生中，只有 1 名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从 F组中随机选取 2 名学生，恰好都是女生。21.（本小题满分 12 分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 5G 等为代

23、表的战略性新兴产业，据统计，目前广东 5G 基站的数量约 1.5 万座，计划到 2020 年底，全省 5G 基站数是目前的 4 倍，到 2022 年底，全省 5G 基站数量将达到 17.34 万座。（1）计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是多少万座？；（2）按照计划，求 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率。22.（本小题满分 12 分）如图 9，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD交于点 P（-1，2），ABx 轴于点 E，正比例函数 y=mx 的图像与反比例函数xny3的图像相交于 A，P 两点。（1）求 m，n

24、 的值与点 A 的坐标；（2）求证：CPD AEO（3）求CDBsin的值23.如图 10，O 的直径 AB=10，弦 AC=8，连接 BC。（1）尺规作图：作弦 CD，使 CD=BC（点 D 不与 B 重合），连接 AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形 ABCD 的周长。24.（本小题满分 14 分）如图 11，等边 ABC中，AB=6，点 D 在 BC 上，BD=4，点 E 为边 AC 上一动点（不与点 C重合），CDE关于 DE 的轴对称图形为 FDE.（1）当点 F 在 AC 上时，求证：DF/AB；（2）设 ACD的面积为 S1，ABF的面积为 S2，记

25、 S=S1-S2，S 是否存在最大值？若存在，求出 S 的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当 B，F，E 三点共线时。求 AE 的长。25.（本小题满分 14 分）已知抛物线 G：32y2mxmx有最低点。（1）求二次函数32y2mxmx的最小值（用含 m 的式子表示）；（2）将抛物线 G 向右平移 m 个单位得到抛物线 G1。经过探究发现，随着 m 的变化，抛物线 G1顶点的纵坐标 y 与横坐标 x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）记（2）所求的函数为 H，抛物线 G 与函数 H 的图像交于点 P，结合图像，求点 P 的纵坐标的取值范围。参考答案

26、1-5：BAADC6-10:DBCAD11.5，12、8x13、2)1(xy14、15或 4515、2216、17、931yxyx解得：23yx18.证明：FCABA=FCE，ADE=F所以在ADE 与CFE 中：EFDEFADEFCFAADECFE19、（1）化简得：b-a1（2）P=2220.（1）m=5(2)B 组的圆心角是 45，C 组的圆心角是 90.(3)恰好都是女生概率是：2121、（1）6（2）70%22、（1）m=-2,n=1（2）A（1，-2）（3）55223、（1）利用尺规作图（2）512424、（1）由折叠可知：DF=DC，FED=CED=60又因为A=60所以 BFA

27、B（2）存在，S 最大为：33-632-83AE）（25、（1）-3-m（2）y=-x-2（x1）2020 年广州市中考数学第一部分选择题（共 30 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1.广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达 15233000 人次.将 15233000 用科学记数法表示应为（）A.5152.33 10B.615.233 10C.71.5233 10D.80.15233 102.某校饭堂随机抽取了 100 名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的

28、套餐种类是（）A.套餐一B.套餐二C.套餐三D.套餐四3.下列运算正确的是（）A.ababB.236aaaC.5630 xxxD.5210 xx4.ABC中，点,D E 分别是 ABC边 AB，AC 中点，连接 DE，若68C，则AED（）A.22B.68C.96D.1125.如图所示的圆锥，下列说法正确的是（）A.该圆锥的主视图是轴对称图形B.该圆锥的主视图是中心对称图形C.该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形D.该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形6.一次函数31yx 的图象过点11,xy，121,xy，132,xy，则（）A.123yyyB.321yyyC.213

29、yyyD.312yyy7.如图，Rt ABC中，90C，5AB，4cos5A，以点 B 为圆心，r 为半径作B，当3r 时，B与 AC 的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.无法确定8.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽48ABcm，则水的最大深度为（）A.8cmB.10cmC.16cmD.20cm9.直线 yxa不经过第二象限，则关于 x 的方程2210axx 实数解的个数是（）.A.0 个B.1 个C.2 个D.1 个或 2 个10.如图，矩形 ABCD的对角线 AC，BD交于点O，6AB，8BC ，过点O作OEAC，交 AD 于点 E，过点 E 作

30、 EFBD，垂足为 F，则OEEF的值为（）A.485B.325C.245D.125第二部分 非选择题（共 120 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11.已知100A，则A的补角等于_ 12.计算：205_13.方程3122xxx的解是_14.如图，点 A 的坐标为1,3，点 B 在 x 轴上，把 OAB沿 x 轴向右平移到 ECD，若四边形ABDC 的面积为 9，则点C 的坐标为_15.如图，正方形 ABCD中，ABC绕点 A 逆时针旋转到 AB C，AB，AC分别交对角线 BD于点,E F，若4AE，则 EF ED的值为_16.对某条线段的长度进行了 3

31、 次测量，得到 3 个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用 a 作为这条线段长度的近以值，当a_ mm时，222(9.9)(10.1)(10.0)aaa最小对另一条线段的长度进行了n次测量，得到 n 个结果（单位：mm）12,nx xx，若用 x 作为这条线段长度的近似值，当 x _mm时，22212nxxxxxx最小三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分）17.解不等式组：212541xxxx 18.如图，ABAD，25BACDAC ，80D 求BCA的度数19.已知反比例函数kyx的图象分别位于第二、第四象限，化简：2216(1)444kkkkk20.为了更好地解决

32、养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共 30 名老人提供居家养老服务，收集得到这 30 名老人的年龄（单位：岁）如下：甲社区676873757678808283848585909295乙社区666972747578808185858889919698根据以上信息解答下列问题：（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；（2）现从两个社区年龄在 70 岁以下的 4 名老人中随机抽取 2 名了解居家养老服务情况，求这 2 名老人恰好来自同一个社区的概率21.如图，平面直角坐标系 xOy 中，OABC的边OC 在 x 轴上，对角线 AC，OB 交于点 M，函数0kyxx的图象经过点 3,4

33、A和点 M（1）求 k 的值和点 M 的坐标；（2）求OABC的周长22.粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标某公交集团拟在今明两年共投资 9000 万元改装 260 辆无人驾驶出租车投放市场今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是 50 万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆23.如图，ABD中，ABDADB（1）作点 A 关于 BD 的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接 BC，DC，连

34、接 AC，交 BD于点O求证：四边形 ABCD是菱形；取 BC 的中点 E，连接OE，若132OE，10BD，求点 E 到 AD 的距离24.如图，O为等边 ABC的外接圆，半径为 2，点 D 在劣弧 AB 上运动（不与点,A B 重合），连接 DA，DB，DC（1）求证：DC 是ADB的平分线；（2）四边形 ADBC 的面积S是线段 DC 的长 x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点,M N 分别在线段CA，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点 D运动到每一个确定的位置，DMN的周长有最小值t，随着点 D的运动，t 的值会发生变化，求所有t 值中的最大值

35、25.平面直角坐标系 xOy 中，抛物线2:012G yaxbxca过点 1,5Aca，1,3B x，2,3C x，顶点 D不在第一象限，线段 BC 上有一点 E，设OBE的面积为1S，OCE的面积为2S，1232SS（1）用含 a 的式子表示b；（2）求点 E 的坐标；（3）若直线 DE 与抛物线G 的另一个交点 F 的横坐标为 63a ，求2yaxbxc在16x时的取值范围（用含 a 的式子表示）参考答案1.C2.A3.D4.B5.A6.B7.B8.C9.D10.C11.8012.513.3214.(4，3)15.1616.10.0；.12nxxxn17.212541xxxx 由可得 x3

36、,由可得 x2,不等式的解集为：x318.75.19.520.（1）中位数是 82，众数是 85；（2）13.21.（1）k=12，M（6,2）；（2）2822.（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是 25 万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是 160 辆23.（1）解：如图：点C 即为所求作的点；（2）证明：ABDADB，ACBD，又 AOAO，ABOADO；BODO，又 AOCO，ACBD四边形 ABCD 是菱形；解：四边形 ABCD是菱形，AOCO，BODO，ACBD又10BD，=5BO，E 为 BC 的中点，CEBE，AOCO，OE 为 ABC的中位线，132OE，13AB，菱

37、形的边长为 13，ACBD，=5BO在 Rt AOB中，由勾股定理得：222AOABBO，即：22135=12AO，12 224AC,设点 E 到 AD 的距离为 h，利用面积相等得：124 10132h，解得：12013h，即 E 到 AD 的距离为12013 24.(1)ABC为 等边三角形,BC=AC，ACBC,都为 13 圆，AOC=BOC=120，ADC=BDC=60，DC 是ADB 的角平分线(2)是如图，延长 DA 至点 E，使得 AE=DB连接 EC，则EAC=180DACDBCAEDB，EACDBC,ACBC，EACDBC(SAS)，E=CDB=ADC=60，故EDC 是等边

38、三角形，DC=x，根据等边三角形的特殊性可知 DC 边上的高为32 x2133(2 34)224DBCADCEACADCCDESSSSSSxxxx(3)依次作点 D 关于直线 BC、AC 的对称点 D1、D2,根据对称性 CDMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2D1、M、N、D 共线时DMN 取最小值 t,此时 t=D1D2,由对称有 D1C=DC=D2C=x，D1CB=DCB，D2CA=DCA,D1CD2=D1CB+BCA+D2CA=DCB+60+DCA=120CD1D2=CD2D1=60，在等腰D1CD2中,作 CHD1D2，则在 RtD1CH 中，根据 30特殊直角三角形的比例可

39、得 D1H=13322CDx，同理 D2H=23322CDxt=D1D2=33DCxx 取最大值时,t 取最大值即 D 与 O、C 共线时 t 取最大值,x=4所有 t 值中的最大值为 4 3 25.解：（1）把 1,5Aca代入：2:012G yaxbxca，5,caabc 6,ba （2）6,ba 抛物线为：26012,yaxaxca 抛物线的对称轴为：63,2axa 顶点 D不在第一象限，顶点 D在第四象限，如图，设1x 2,x记对称轴与 BC 的交点为 H，则,BHCH,OBHOCHSS1232SS，3,2OBHOHEOCHOHESSSS3,4OHES133,24EH 1,2EH7,3

40、,2E 当1x 2,x 同理可得：5,3.2E 综上：7,32E 或5,3.2E（3）22639,yaxaxca xca 3,9,Dca当7,32E ，设 DE 为：,ykxb73239kbkbca解得：621876318kcabca DE为621876318,yca xca26621876318yaxaxcyca xca消去 y 得：26224663180,axca xca 由根与系数的关系得：6622433,caaa 解得：9,ca22693,yaxaxaa x当1x 时，4,ya当6x 时，9,ya当3x 时，0y，当16x时，有 0y9.a当5,32E ，3,9,Dca由于抛物线开口向

41、上，情况不存在综上：当16x时，有 0y9.a2021 年广东省广州市中考数学一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，满分 30 分）1下列四个选项中，为负整数的是（）A0B0.5CD22如图，在数轴上，点 A、B 分别表示 a、b，且 a+b0，若 AB6，则点 A 表示的数为（）A3B0C3D63方程的解为（）Ax6 Bx2 Cx2Dx64下列运算正确的是（）A|（2）|2B3+3C（a2b3）2a4b6D（a2）2a245下列命题中，为真命题的是（）（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形（2）对角线互相垂直的四边形是菱形（3）对角线相等的平行四边形是菱形（4）有一个角是直角的平

42、行四边形是矩形A（1）（2）B（1）（4）C（2）（4）D（3）（4）6为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有 3 名女学生，1 名男学生，则从这 4 名学生中随机抽取 2 名学生，恰好抽到 2 名女学生的概率为（）ABCD7一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是 24cm，若ACB60，则劣弧 AB 的长是（）A8cmB16cmC32cmD192cm8抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0）、（3，0），且与 y 轴交于点（0，5），则当 x2时，y 的值为（）A5B3C1D59如图，在 RtABC 中，C90，AC6

43、，BC8，将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到ABC，使点 C落在 AB 边上，连结 BB，则 sinBBC的值为（）ABCD10在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A 在函数 y（x0）的图象上，顶点 C在函数 y（x0）的图象上，若顶点 B 的横坐标为，则点 A 的坐标为（）A（，2）B（，）C（2，）D（，）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11代数式在实数范围内有意义时，x 应满足的条件是12方程 x24x0 的实数解是13如图，在 RtABC 中，C90，A30，线段 AB 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点 D、E，连接 BD若 CD

44、1，则 AD 的长为14一元二次方程 x24x+m0 有两个相等的实数根，点 A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数 y上的两个点，若 x1x20，则 y1y2（填“”或“”或“”）15如图，在ABC 中，ACBC，B38，点 D 是边 AB 上一点，点 B 关于直线 CD 的对称点为 B，当 BDAC 时，则BCD 的度数为16如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是边 BC 上一点，且 BE3，以点 A 为圆心，3 为半径的圆分别交 AB、AD 于点 F、G，DF 与 AE 交于点 H并与A 交于点 K，连结 HG、CH给出下列四个结论其中正确的结论有（填写所有正确结论的序

45、号）（1）H 是 FK 的中点（2）HGDHEC（3）SAHG：SDHC9：16（4）DK三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分）17解方程组18如图，点 E、F 在线段 BC 上，ABCD，AD，BECF，证明：AEDF19已知 A（）（1）化简 A；（2）若 m+n20，求 A 的值20某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级 20 名学生，统计得到该 20 名学生参加志愿者活动的次数如下：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：次数123456人数12a6b2（1）表格中的 a，b；

46、（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为，中位数为；（3）若该校初三年级共有 300 名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为 4 次的人数21民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共 100 万人次（1）若“广东技工”今年计划新增加培训 31 万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的 2 倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动 33.6 万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提

47、升，已知李某去年的年工资收入为 9.6 万元，预计李某今年的年工资收入不低于 12.48 万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？22如图，在四边形 ABCD 中，ABC90，点 E 是 AC 的中点，且 ACAD（1）尺规作图：作CAD 的平分线 AF，交 CD 于点 F，连结 EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作图中，若BAD45，且CAD2BAC，证明：BEF 为等边三角形23如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：yx+4 分别与 x 轴，y 轴相交于 A、B 两点，点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点（1）求 A、B 两点的坐标；（2）设PAO

48、的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；（3）作PAO 的外接圆C，延长 PC 交C 于点 Q，当POQ 的面积最小时，求C 的半径24已知抛物线 yx2（m+1）x+2m+3（1）当 m0 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线顶点随着 m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点 E（1，1）、F（3，7），若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围25如图，在菱形 ABCD 中，DAB60，AB2，点 E 为边 AB 上一个动点，延长 BA 到点 F，使 AFAE，且 CF、DE 相交于

49、点 G（1）当点 E 运动到 AB 中点时，证明：四边形 DFEC 是平行四边形；（2）当 CG2 时，求 AE 的长；（3）当点 E 从点 A 开始向右运动到点 B 时，求点 G 运动路径的长度参考答案1D2A3D4C5B6B7B8A9C10A11x612x10，x2413214153316解：（1）在ABE 与DAF 中，ABEDAF（SAS），AFDAEB，AFD+BAEAEB+BAE90，AHFK，由垂径定理，得：FHHK，即 H 是 FK 的中点，故（1）正确；（2）如图，过 H 分别作 HMAD 于 M，HNBC 于 N，AB4，BE3，AE5，BAEHAFAHM，cosBAEco

50、sHAFcosAHM，AH，HM，HN4，即 HMHN，MNCD，MDCN，HD，HC，HCHD，HGDHEC 是错误的，故（2）不正确；（3）过 H 分别作 HTCD 于 T，由（2）知，AM，DM，MNCD，MDHT，故（3）正确；（4）由（2）知，HF，DKDFFK，故（4）正确17解：，将代入得，x+（x4）6，x5，将 x5 代入得，y1，方程组的解为18证明：ABCD，BC在ABE 和DCF 中，ABEDCF（AAS）AEDF19解：（1）A（）（m+n）m+n；（2）m+n20，m+n2，当 m+n2时，Am+n（m+n）2620解：（1）由该 20 名学生参加志愿者活动的次数得

51、：a4，b5，（2）该 20 名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，4 出现的最多，有 6 次，众数为 4，中位数为第 10，第 11 个数的平均数4，（3）30090（人）答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为 4 次的人数有 90 人21解：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训 x 万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训 2x 万人次，依题意得：31+2x+x100，解得：x23（2）设李某的年工资收入增长率为 m，依题意得：9.6（1+m）12.48，解得：m0.330%答：李某的年工资收入

52、增长率至少要达到 30%22（1）解：如图，图形如图所示（2）证明：ACAD，AF 平分CAD，CAFDAF，AFCD，CAD2BAC，BAD45，BAEEAFFAD15，ABCAFC90，AEEC，BEAEEC，EFAEEC，EBEF，EABEBA15，EAFEFA15，BECEAB+EBA30，CEFEAF+EFA30，BEF60，BEF 是等边三角形23解：（1）直线 yx+4 分别与 x 轴，y 轴相交于 A、B 两点，当 x0 时，y4；当 y0 时，x8，A（8，0），B（0，4）；（2）点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点，P（x，），SAPO2x+16（8x0）；S2x+

53、16（8x0）；（3）A（8，0），B（0，4），OA8，OB4，在 RtAOB 中，由勾股定理得：AB，在C 中，PQ 是直径，POQ90，BAOQ，tanQtanBAO，OQ2OP，SPOQ，当 SPOQ最小时，则 OP 最小，点 P 在线段 AB 上运动，当 OPAB 时，OP 最小，SAOB，sinQsinBAO，PQ8，C 半径为 424解：（1）当 m0 时，抛物线为 yx2x+3，将 x2 代入得 y42+35，点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线 yx2（m+1）x+2m+3 的顶点为（，），化简得（，），顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，而（m3）2+5，m3 时，纵坐

54、标最大，即是顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为：（2，5）；（3）设直线 EF 解析式为 ykx+b，将 E（1，1）、F（3，7）代入得：，解得，直线 EF 的解析式为 y2x+1，由得：或，直线 y2x+1 与抛物线 yx2（m+1）x+2m+3 的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在线段 EF 上，若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段 EF 上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，m+11 或 m+13 或 m+12（此时 2m+35），此时抛物线顶点横坐标 x 顶点或 x 顶点或 x 顶点125解：（1）证明：连接 DF，CE，如

55、图所示：E 为 AB 中点，AEAFAB，EFABCD，四边形 ABCD 是菱形，EFABCD，四边形 DFEC 是平行四边形（2）作 CHBH，设 AEFAm，如图所示，四边形 ABCD 是菱形，CDEF，CDGFEG，FG2m，在 RtCBH 中，CBH60，BC2，sin60，CH，cos60，BH1，在 RtCFH 中，CF2+2m，CH，FH3+m，CFCH+FH，即（2+2m）（）+（3+m），整理得：3m+2m80，解得：m1，m22（舍去），（3）G 点轨迹为线段 AG，证明：如图，（此图仅作为证明 AG 轨迹用），延长线段 AG 交 CD 于 H，作 HMAB 于 M，作 D

56、NAB 于 N，四边形 ABCD 是菱形，BFCD，DHGEGA，HGCAGF，AEAF，DHCH1，在 RtADN 中，AD2，DAB60sin60，DNcos60，AN1，在 RtAHM 中，HMDN，AMAN+NMAN+DH2，tanHAM，G 点轨迹为线段 AGG 点轨迹是线段 AG如图所示，作 GHAB，四边形 ABCD 为菱形，DAB60，AB2，CDBF，BD2，CDGFBG，即 BG2DG，BG+DGBD2，BG，在 RtGHB 中，BG，DBA60，sin60，GH，cos60，BH，在 RtAHG 中，AH2，GH，AG（）+（），AGG 点路径长度为解法二：如图，连接 A

57、G，延长 AG 交 CD 于点 WCDBF，AFAE，DWCW，点 G 在 AW 上运动2022 年广东省广州中考数学一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（）A圆锥B圆柱C棱锥D棱柱2下列图形中，是中心对称图形的是（）ABCD3代数式有意义时，x 应满足的条件为（）Ax1Bx1Cx1Dx14点（3，5）在正比例函数 ykx（k0）的图象上，则 k 的值为（）A15B15CD5下列运算正确的是（）A2Ba（a0）C+Da2a3a56如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为 x2，下列结论正确的是（）Aa0Bc

58、0B C当 x2 时，y 随 x 的增大而减小D当 x2 时，y 随 x 的增大而减小7实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则（）AabBabC|a|b|D|a|b|8为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4 名志愿者中随机抽取 2 名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（）ABCD9如图，正方形 ABCD 的面积为 3，点 E 在边 CD 上，且 CE1，ABE 的平分线交 AD 于点 F，点 M，N 分别是 BE，BF 的中点，则 MN 的长为（）ABC2D10如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第 1 个图形需要 6 根小木棒，拼第 2 个图形需要 14 根小木棒，拼第

59、 3 个图形需要 22 根小木棒若按照这样的方法拼成的第 n 个图形需要 2022 根小木棒，则 n 的值为（）A252B253C336D337二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）11在甲、乙两位射击运动员的 10 次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为 S 甲21.45，S 乙20.85，则考核成绩更为稳定的运动员是（填“甲”、“乙”中的一个）12分解因式：3a221ab13如图，在ABCD 中，AD10，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC+BD22，则BOC 的周长为14分式方程的解是15如图，在ABC 中，ABAC，点 O 在边 AC

60、上，以 O 为圆心，4 为半径的圆恰好过点 C，且与边 AB 相切于点 D，交 BC 于点 E，则劣弧的长是（结果保留）16如图，在矩形 ABCD 中，BC2AB，点 P 为边 AD 上的一个动点，线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60得到线段 BP，连接 PP，CP当点 P落在边 BC 上时，PPC 的度数为；当线段 CP的长度最小时，PPC 的度数为三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分）17解不等式：3x2418如图，点 D，E 在ABC 的边 BC 上，BC，BDCE，求证：ABDACE19某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘

61、制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图频数分布表运动时间t/min频数频率30t6040.160t9070.17590t120a0.35120t15090.225150t1806b合计n1请根据图表中的信息解答下列问题：（1）频数分布表中的 a，b，n；（2）请补全频数分布直方图；（3）若该校九年级共有 480 名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min 的学生人数20某燃气公司计划在地下修建一个容积为 V（V 为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积 S（单位：m2）与其深度 d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示（1）求储存室的容积 V

62、 的值；（2）受地形条件限制，储存室的深度 d 需要满足 16d25，求储存室的底面积 S 的取值范围21已知 T（a+3b）2+（2a+3b）（2a3b）+a2（1）化简 T；（2）若关于 x 的方程 x2+2axab+10 有两个相等的实数根，求 T 的值22如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，且 AC8，BC6（1）尺规作图：过点 O 作 AC 的垂线，交劣弧于点 D，连接 CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求点 O 到 AC 的距离及 sinACD 的值23某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度如图，在某一时刻，旗杆 AB 的影子为

63、 BC，与此同时在 C 处立一根标杆 CD，标杆 CD 的影子为 CE，CD1.6m，BC5CD（1）求 BC 的长；（2）从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆 AB 高度条件：CE1.0m；条件：从 D 处看旗杆顶部 A 的仰角为 54.46注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分参考数据：sin54.460.81，cos54.460.58，tan54.461.4024已知直线 l：ykx+b 经过点（0，7）和点（1，6）（1）求直线 l 的解析式；（2）若点 P（m，n）在直线 l 上，以 P 为顶点的抛物线 G 过点（0，3），且开口向下求 m 的取值范围；设抛物线

64、 G 与直线 l 的另一个交点为 Q，当点 Q 向左平移 1 个单位长度后得到的点 Q也在 G 上时，求 G 在x+1 的图象的最高点的坐标25如图，在菱形 ABCD 中，BAD120，AB6，连接 BD（1）求 BD 的长；（2）点 E 为线段 BD 上一动点（不与点 B，D 重合），点 F 在边 AD 上，且 BEDF当 CEAB 时，求四边形 ABEF 的面积；当四边形 ABEF 的面积取得最小值时，CE+CF 的值是否也最小？如果是，求 CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由参考答案1A2C3B4D5D6C7C8A9D10B11乙123a（a7b）132114x315216120，7

65、517解不等式：3x2418证明：BC，ABAC，在ABD 和ACE 中，ABDACE（SAS）19解：（1）由题意可知，n40.140，a400.3514，b6400.15，（2）补全频数分布直方图如下：（3）480300（人），答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min 的学生人数为 300 人20解：（1）设底面积 S 与深度 d 的反比例函数解析式为 S，把点（20，500）代入解析式得 500，V100002）由（1）得 S，S 随 d 的增大而减小，当 16d25 时，400S625，21解：（1）T（a+3b）2+（2a+3b）（2a3b）+a2a2+6ab+9

66、b2+4a29b2+a26a2+6ab；（2）关于 x 的方程 x2+2axab+10 有两个相等的实数根，（2a）24（ab+1）0，a2+ab1，T61622解：（1）分别以 A、C 为圆心，大于AC 为半径画弧，在 AC 的两侧分别相交于 P、Q两点，画直线 PQ 交劣弧于点 D，交 AC 于点 E，即作线段 AC 的垂直平分线即可；（2）AB 是O 的直径，ACB90，在 RtABC 中，且 AC8，BC6AB10，ODAC，AECE，又OAOB，OE 是ABC 的中位线，OEBC4，即点 O 到 AC 的距离为 4，DEODCE541，CEAC3，CD，sinACD23解：（1）BC

67、5CD，CD1.6m，BC51.68（m），BC 的长为 8m；（2）若选择条件：由题意得：，AB12.8，旗杆 AB 的高度为 12.8m；若选择条件：过点 D 作 DFAB，垂足为 F，则 DCBF1.6m，DFBC8m，在 RtADF 中，ADF54.46，AFDFtan54.4681.411.2（m），ABAF+BF11.2+1.612.8（m），旗杆 AB 的高度约为 12.8m24解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入 ykx+b，解得，yx+7；（2）点 P（m，n）在直线 l 上，nm+7，设抛物线的解析式为 ya（xm）2+7m，抛物线经过点（0，3），am2+7m3，a

68、，抛物线开口向下，a0，a0，m10 且 m0；抛物线的对称轴为直线 xm，Q 点与 Q关于 xm 对称，Q 点的横坐标为 m+，联立方程组，整理得 ax2+（12ma）x+am2m0，P 点和 Q 点是直线 l 与抛物线 G 的交点，m+m+2m，a2，y2（x+m）2+7m，2m2+7m3，解得 m2 或 m，当 m2 时，y2（x2）2+5，此时抛物线的对称轴为直线 x2，图象在x上的最高点坐标为（2，5）；当 m时，y2（x+）2+，此时抛物线的对称轴为直线 x，图象在2x1 上的最高点坐标为（2，9）；综上所述：G 在x+1 的图象的最高点的坐标为（2，9）或（2，5）25解：（1）

69、过点 D 作 DHAB 交 BA 的延长线于 H，如图：四边形 ABCD 是菱形，ADAB6，BAD120，DAH60，在 RtADH 中，DHADsinDAH63，AHADcosDAH63，BD6；（2）设 CEAB 交 AB 于 M 点，过点 F 作 FNAB 交 BA 的延长线于 N，如图：菱形 ABCD 中，ABBCCDAD6，ADBC，BAD120，ABC+BAD180，ABC180BAD60，在 RtBCM 中，BMBCcosABC63，BD 是菱形 ABCD 的对角线，DBAABC30，在 RtBEM 中，MEBMtanDBM3，BE2，BEDF，DF2，AFADDF4，在 Rt

70、AFN 中，FAN180BAD60，FNAFsinFAN42，ANAFcosFAN42，MNAB+ANBM6+235，S 四边形 ABEFSBEM+S 梯形 EMNFSAFNEMBM+（EM+FN）MNANFN3+（+2）522+27；当四边形 ABEF 的面积取最小值时，CE+CF 的值是最小，理由：设 DFx，则 BEDFx，过点 C 作 CHAB 于点 H，过点 F 作 FGCH 于点 G，过点 E 作 EYCH 于点 Y，作 EMAB 于 M 点，过点 F 作 FNAB 交 BA 的延长线于 N，如图：EYFGAB，FNCH，四边形 EMHY、FNHG 是矩形，FNGH，FGNH，EY

71、MH，EMYH，由可知：MEBEx，BMBEx，ANAF（ADDF）3x，FNAF，CHBC3，BHBC3，AMABBM6x，AHABBH3，YHMEx，GHFN，EYMHBMBHx3，CYCHYH3x，FGNHAN+AH6，CGCHGH3x，MNAB+ANBM6+3xx92x，S 四边形 ABEFSBEM+S 梯形 EMNFSAFNEMBM+（EM+FN）MNANFNxx+（x+）（92x）（3x）x2x+9（x3）2+，0，当 x3 时，四边形 ABEF 的面积取得最小值，CE+CF+，（x3）20，当且仅当 x3 时，（x3）20，CE+CF+12，当且仅当 x3 时，CE+CF12，即当 x3 时，CE+CF 的最小值为 12，当四边形 ABEF 的面积取最小值时，CE+CF 的值也最小，最小值为 12