[32473180]解密13空间几何体(讲义)-【高频考点解密】2022年高考数学（理）二轮复习讲义 分层训练（全国通用）.docx

1、解密13 空间几何体考点热度 内容索引核心考点1 空间几何体与三视图核心考点2 空间几何体的表面积与体积核心考点3 空间几何体与球的切、接问题高考考点三年高考探源预测空间几何体与三视图2021全国甲卷理62021全国甲卷文72021全国乙卷理162021全国乙卷文162019课标全国 16从近三年的考查情况来看，空间几何体的三视图是高考的重点，多以三视图为背景考查几何体的结构特征，一般是选择题、填空题，难度中等空间几何体的表面积与体积2019课标全国162019课标全国 16（2）从近三年的考查情况来看，空间几何体的表面积和体积一直是高考的重点和热点，主要考查以三视图为背景的几何体的表面积和体

2、积与球有关的切、接问题，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等空间几何体与球的切、接问题2021全国甲卷理11 核心考点一 空间几何体与三视图考法 空间几何体与三视图变式一 画空间几何体的三视图 1、（2021新疆乌市八中高二阶段练习）一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、俯视图如图所示，则其侧视图（左）视图为（ ）ABCD【答案】C【分析】由正视图和俯视图可得几何体的直观图，由直观图可得侧（左）视图.【详解】由正（主）视图、俯视图可得几何体的直观图如下图所示，侧（左）视图如下图所示，故选：C2、（2021全国高一课时练习）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形若

3、三棱柱的主视图（如图所示）的面积为8，则左视图的面积为（ ）A8B4CD【答案】C【分析】根据题意求出三棱柱的侧棱，画出左视图，其左视图为一个矩形，根据矩形的长和宽即可求出面积.【详解】设该三棱柱的侧棱长为a，则，所以该三棱柱的左视图是一个矩形，如图所示，一边长为4，其相邻边长等于三棱柱底面等边三角形的高，且高为，所以左视图的面积为故选C变式二 由几何体的三视图还原几何体的形状1、（2020浙江高三专题练习）如图，在矩形中，沿将矩形折叠，连接，所得三棱锥正视图和俯视图如图，则三棱锥侧视图的面积为 A B C D 【答案】B【分析】画出几何体的直观图，判断出几何体的结构，由此画出几何体的侧视图，

4、并求得侧视图面积.【详解】画出几何体的直观图如下图所示.由正视图和俯视图可知，平面平面.过作，交于，过作，交于，根据面面垂直的性质定理可知平面，平面，又平面则.由于四边形是矩形，所以，所以三棱锥的侧视图是等腰直角三角形，画出侧视图如下图所示，其中两条直角边的长度分别等于，因为，所以，则.所以侧视图的面积为.故选：B【点睛】本题主要考查求几何体的侧视图的面积，解题的关键是根据主俯视图得到平面平面，并利用面面垂线的性质定理进行推理和计算，属于中档题.2、（2020全国高三专题练习（理）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问

5、：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周长为A3丈B6丈C8丈D丈【答案】C【分析】根据正视图和俯视图，画出侧视图，侧视图是底长3丈，高2丈的等腰三角形，再求出其周长可得答案.【详解】根据正视图和俯视图，画出侧视图，侧视图是底长3丈，高2丈的等腰三角形，如图所示：则，故周长为（丈）.故选：C【点睛】本题考查了三视图，根据正视图和俯视图，画出侧视图是解决问题的关键，属于基础题.技巧点拨1一个物体的三视图的排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一

6、样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”2要熟悉各种基本几何体的三视图同时要注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线变式三 由几何体的部分视图画出剩余部分的视图1、（2019全国高一课时练习）在正方体中，某一个三棱锥的三个顶点为此正方体的三个顶点，此三棱锥的第四个顶点为这个正方体一条棱的中点，正视图和俯视图如图所示，则侧视图可能为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据正视图和俯视图在正方体中取三个顶点和一条棱的中点进行验证可得.【详解】根据已知条件得，三棱锥在正方体中的位置如图中所示，故选A.【点睛】本题考查了根

7、据几何体的正视图和俯视图作左视图,属于基础题.2、（2021全国高三专题练习（理）一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 ABCD【答案】C【分析】本题首先可以通过三视图的几何性质得知三视图之间的联系，然后通过三视图的主视图与左视图来确定锥体的顶点所在的位置，最后对四个选项依次分析，即可得出结果【详解】本题中给出了主视图与左视图，故可以根据主视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项，由主视图与左视图可知，锥体的顶点在左前方，中的视图满足作图法则；中的视图满足作图法则；中的视图不满足锥体的顶点在左前方；中的视图满足作图法则，故选【点睛】本题考查了三

8、视图的相关性质，主要考查了三视图中的主视图、左视图与俯视图的联系，考查空间想象能力，体现了基础性，是简单题核心考点二 空间几何体的表面积与体积考法 空间几何体的表面积与体积变式一 柱体、锥体、台体的表面积与体积 1、（2019云南丽江高一期末）若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为（ ）ABCD【答案】D【分析】首先还原三棱柱，然后结合三视图求出所有棱长，即可求出体积.【详解】根据几何体还原三棱柱，如图：结合三视图可知：，故,所以体积，故选：D2、（2022全国高三专题练习）若某正方体被截去一部分后的空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_.【答案】

9、【分析】由三视图可知，该几何体是将一个棱长为的正方体沿着如图所示的截面截去之后剩下的几何体如图所示，从而可求出其表面积【详解】由三视图可知，该几何体是将一个棱长为的正方体沿着如图所示的截面截去之后剩下的几何体如图所示，表面积为，所以该几何体的表面积为.故答案为：3、（2021全国高一课时练习）已知四棱锥的高为，其三视图如图所示，其中主视图为等腰三角形，左视图为直角三角形，俯视图是直角梯形（1）求主视图的面积；（2）求四棱锥的侧面积【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由三视图还原直观图，进而求棱锥的高，结合主视图即可求面积.（2）过A作交于E，连接，易知是的中点，且、，进而求的侧面积【详解】（

10、1）将所给三视图还原为直观图，如图所示的四棱锥，其高为，故主视图的面积（2）如图所示，过A作交于E，连接， 由，则是的中点且，由（1）知：面，面，则，由，又，即面，面，有，又，得四棱锥的侧面积技巧点拨求解几何体的表面积或体积的方法：（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解.对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解（3）求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用变式二 球的表面积和体积1、（2021全国高一课时练习）已知，是球的球面上两点，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面

11、积为（ ）ABCD【答案】D【分析】根据给定条件确定出三棱锥体积最大时的点C位置，再求出球半径即可得解.【详解】设球的半径为，因，则的面积，而，且面积为定值，则当点到平面的距离最大时，最大，于是，当是与球的大圆面垂直的直径的端点时，三棱锥体积最大，最大值为，解得，所以球的表面积为.故选：D2、（2022全国高三专题练习）已知球O是正三棱锥A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=3，AB=，点E在线段BD上，且BD=3BE过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）ABCD【答案】A【分析】如图，O1是A在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径

12、，利用余弦定理求出O1E=1，当截面垂直于OE时，截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.【详解】解：如图，O1是A在底面的射影，由正弦定理得，BCD的外接圆半径；由勾股定理得棱锥的高AO1；设球O的半径为R，则，解得，所以OO1=1；在BO1E中，由余弦定理得所以O1E=1；所以在OEO1中，OE=；当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时半径为，截面面积为.故选：A技巧点拨有关球的截面问题，常画出截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径之间满足关系式：.核心考点三 空间几何体与球的切、接问题考法 空间几何体与球的切、接问题变式一 与球切、接求

13、表面积与体积问题 1、（2021黑龙江佳木斯一中高三阶段练习（理）九章算术是中国古代的一部数学著作，著作中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”.现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD是边长为4的正方形，ADE与BCF是等边三角形，EF/AB，AB2EF，则该刍甍的外接球的半径为（ ）ABCD【答案】A【分析】连接交于点，过点作平面，设为外接球的球心，取的中点分别为，证得平面，求得，设，得到，结合求得截面性质，列出方程，即可求解.【详解】连接交于点，过点作平面,因为四边形为正方形，所以外接球

14、的球心在上，设为外接球的球心，取的中点分别为，连接，因为，可得，因为为等比三角形，所以，因为，所以平面，因为，所以，所以，因为，所以，设，则，所以，所以，即，解得，即，所以，所以.故选：A.2、（2021全国高三专题练习（理）已知在中，角所对的边分别为，且又点都在球的球面上，且点到平面的距离为，则球的体积为（ ）ABCD【答案】C【分析】设三角形ABC的外接圆的圆心为O,根据球的截面性质可知OO平面ABC,利用正弦定理求得AO,计算球的半径，进而求得体积.【详解】设三角形ABC的外接圆的圆心为O,根据球的截面性质可知OO平面ABC,如图所示，,AO=,OA=球的体积为,故选：C.3、（2021

15、全国高一课时练习）已知，是球的球面上两点，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【分析】根据给定条件确定出三棱锥体积最大时的点C位置，再求出球半径即可得解.【详解】设球的半径为，因，则的面积，而，且面积为定值，则当点到平面的距离最大时，最大，于是，当是与球的大圆面垂直的直径的端点时，三棱锥体积最大，最大值为，解得，所以球的表面积为.故选：D技巧点拨1解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系2构造法在定几何体外接球球心中的应用常见的构造条件及构造方法有：（1）正四

16、面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；（4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体3性质法在定几何体外接球球心中的应用立体几何问题转化为平面几何问题，体现了等价转化思想与数形结合思想，方法是利用球心O与截面圆圆心O的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心4记住几个常用的结论：（1）正方体的棱长为a，球的半径为R.对于正方体的外接球

17、，2Ra；对于正方体的内切球，2Ra；对于球与正方体的各棱相切，2Ra（2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，球的半径为R，则2R.（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.变式二 与球切、接有关的几何体的最值问题1、（2022四川泸州高二期末（理）一个几何体的三视图都是半径为1的圆，在该几何体内放置一个高度为1的长方体，则长方体的体积最大值为（ ）ABCD1【答案】B【分析】根据题意得到几何体为半径为1的球，长方体的体对角线为球的直径时，长方体体积最大，设出长方体的长和宽，得到等量关系，利用基本不等式求解体积最大值.【详解】由题意得：此几何体为半径为1的球，长方体为球的内接

18、长方体时，体积最大，此时长方体的体对角线为球的直径，设长方体长为，宽为，则由题意得：，解得：，而长方体体积为，当且仅当时等号成立，故选：B2、（2022全国高三专题练习）三棱锥的各个顶点都在球的表面上，且是等边三角形，底面，.若点在线段上，且，则过点的平面截球所得截面的最小面积为（ ）ABCD【答案】A【分析】如图，设外接圆的圆心为，求出和外接球的半径,取的中点，求出,即得解.【详解】如图，设外接圆的圆心为，则外接圆半径，设三棱锥的外接球的球心为，则外接球的半径.取的中点，由，得，.则过点的平面截球所得截面圆的最小半径为，过点的平面截球所得截面的最小面积为.故选：A3、（2021河南商丘高二期

19、末（文）棱长为8的正方体密闭容器内有一个半径为2的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则在运动过程中，小球表面上的点与正方体表面上的点之间的最大距离为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据题意可知，当小球位于正方体角且与三个相邻面相切时，球心所在的体对角线上的远端点与该体对角线与小球一个交点之间的距离最大，即可求出【详解】如图所示：当小球位于正方体一个角且与三个相邻面相切时，小球表面上的点与正方体表面上的点之间的距离最大，故选：B技巧点拨与球切、接有关的几何体的最值问题多涉及体积最值问题、截面面积最值问题求解此类问题的关键是结合图形分析取得最值的条件转化求解，有时也可建立目标函数转化为函数最值求解