小学数学讲义暑假五年级第3讲棋盘中的数学超常体系.pdf

1、1第 9 级上超常体系教师版第 3 讲漫画释义四年级春季统筹与最优化四年级春季操作类智巧趣题五年级暑假棋盘中的数学五年级暑假必胜策略五年级秋季逻辑推理综合棋盘覆盖的前提；棋盘黑白染色，棋盘特殊染色(轮换式，条形，阶梯)知识站牌第三讲 棋盘中的数学第 3 讲2第 9 级上超常体系 教师版你玩过“俄罗斯方块”吗？它是一款风靡全球的游戏，原本是前苏联科学家阿列克谢帕基特诺夫所开发的教育用软件.标准的“俄罗斯方块”中共有以下七种图形：用这些图形来覆盖国际象棋棋盘有很多有趣的数学问题，让我们一起来学习吧！1、理解并掌握覆盖的前提2、掌握并能运用黑白染色的方法，结合数论知识解决一些“能”与“不能”的操作类

2、问题3、理解其他的染色方法本讲主要是通过利用染色技巧，结合数论知识，进行推理回答能与不能的问题，培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典形的染色方法模块 1：例 1，覆盖的前提模块 2：例 2-6，黑白染色模块 3：例 7-8，特殊染色（轮换式，条形，阶梯）经典精讲例题思路课堂引入教

3、学目标例 1第 11 级上超常体系教师版 3第 9 级上超常体系教师版(1)一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下列选项中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）34（B）35（C）44（D）45（E）63(2)用若干个和能否恰好不重不漏地覆盖住 1515 的方格棋盘(3)用标准的俄罗斯方块的某些图形，能否恰好不重不漏地覆盖住 56 的方格棋盘【分析】(1)B，从奇偶性考虑(2)不能，从奇偶性考虑(3)不能，俄罗斯方块每块均是 4 格，4 不能整除 56小结：此题提示孩子，在覆盖问题中，首先从面积大小及整除性来判断覆盖中的最值问题也会用到此类思想(1)下图是由 40 个小正方形组

4、成的图形，能否将它剪裁成 20 个相同 12 的长方形？(2)五年级一班有 35 名同学，共分成 5 排，每排 7 人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作他的邻座如果要让这 35 名同学每个人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？(学案对应：超常 1)【分析】(1)将 40 个小正方形剪裁成 20 个相同的长方形，就是将图形分割成 20 个 12 的小长方形，将图形黑白相间染色后，发现有 21 黑，19 白，黑、白格数目不等，而 12 的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到(2)右图是一个 57 的方格，其中每一个方格表示一个座位将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与

5、白色座位都成了邻座因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格上，所有黑格的坐到白格上但实际上图中有 17 个黑格，18 个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到【巩固】你能把下面的图形分成 7 个大小相同的 12 的长方形吗？动手画一画【分析】可以通过染色发现黑白方格个数相同，可以按一黑一白分成 7 块含有2 个小方格的长方形，答案如下（答案不唯一）：例 2第 3 讲4第 9 级上超常体系 教师版【巩固】下面三个图形都是从 44 的正方形分别剪去两个 11 的小方格得到的,问可否把它们分别剪成 12 的七个小矩形?（1）（2）（3）【分析】先对 44 的棋盘黑白相间的涂色(如图),这

6、道题的实际问题是问 7 个 12 矩形能否分别覆盖剪去 A、B；剪去 A、C；剪去 A、D 的三个棋盘.若 7 个 12 矩形可以覆盖剪残的棋盘,因为每个 12 矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是 7 个.而剪去 A 格和 C 格的棋盘(2)有 6 个白格 8 个黑格,剪去 A、D 的棋盘(3)有 6 个白格 8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被 7 个12 矩形覆盖,也就不能剪成 7 个12 的矩形.棋盘(1)可以被 7 个 12 的矩形所覆盖.下面给出一种剪法:【巩固】图中是由 14 个大小相同的方格组成的图形试问能不能剪裁成 7 个由相邻两方格组成的

7、长方形？【分析】将这 14 个小方格黑白相间染色（见右上图），有 8 个黑格，6 个白格相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成 7 个小长方形，那么 14 个格应当是黑、白各 7 个，与实际情况不符，所以不能剪裁成 7 个由相邻两个方格组成的长方形第 11 级上超常体系教师版 5第 9 级上超常体系教师版(1)有一次车展共 5525个展室，如图(1)，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?(2)如图(2)，能否沿此图上的线画出一条线，使得每个节点都恰好经过一次？图(1)图(2)(学案对应：带号 1)【分析】(1)如左下图，

8、对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格入口处是黑格，从入口到出口共要走 24 步，那么最后一步必然是黑格.然而出口处是白格，因此不可能不重复由入口到出口走遍每个展室.(2)将图形中的节点黑白相间染色，那么从黑点只能走到白点，从白点只能走到黑点.如果要每个节点都恰好经过一次，那么黑点和白点的数目应该刚好相等或者差 1.而其中一共有9 个黑点，7 个白点，白点比黑点少 2 个，因此不能.【巩固】有一次车展共 4416个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?例 3国际象棋的历史关于国际象棋的产生

9、，国际上流传着一个有趣的故事。据说 2000 年以前，印度有一个非常残暴的国王，自己独断专行，想干什么就干什么。国王有个亲信大臣，他想拿“君王不能离开臣民而存在”的道理来劝告国王，但又不敢公开提出自己的意见。他想出了一个暗示的办法：在木制棋盘上，用骨制的棋子组成两支军队进行战斗；每一方都有一个首脑王，另有车、马、象、兵四个兵种，组合成一个阵容的整体，王是最主要的棋子，王一死，战斗便结束；王同时又是很弱的一环，他只能依靠战友即别的更有力的棋子保护，这些棋子必须在整个战斗过程中同心协力来保卫王。它一方面往西传到波斯、阿拉伯和欧洲，经过改变(如：增加了“后”)，形成现代的国际象棋；另一方面往东传到缅

10、甸、东南亚和中国。第 3 讲6第 9 级上超常体系 教师版【分析】如右上图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格入口处是白格，从入口到出口共要走 15 步，那么最后一步必然是黑格.然而出口处也是白格，因此不可能不重复的走遍每个展室.【巩固】如图，是连接 14 个城市的道路图.是否有一条路线可以经过每一个城市恰好一次？【分析】将图形中的节点黑白相间染色，那么从黑点只能走到白点，从白点只能走到黑点.如果要每个节点都恰好经过一次，那么黑点和白点的数目应该刚好相等或者差 1.而其中一共有 6 个黑点，8 个白点，白点比黑点多 2 个，因此不能.(1)下左图是国际象棋的棋盘，棋

11、盘的左下角的格中放有一只马.众所周知，马是走“日”字的请问：这只马能否不重复地走遍棋盘上的每一个格，最后停在右上角的格中？(2)下右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马众所周知，马是走“日”字的请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？马【分析】(1)马走“日”字，在棋盘中每次会从白格走到黑格，从黑格走到白格。从白格停到白格，则走的白格数应该比黑格数多 1，但棋盘中共有 32 黑，32 白，所以矛盾。不能。(2)马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上和，图中共有 22 个和 23 个因为马走“日”字，每步只能从

12、跳到，或由跳到，所以马从某点跳到同色的点（指或），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步现在马在点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有232245个点，所以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点例 4第 11 级上超常体系教师版 7第 9 级上超常体系教师版讨论：如果马的出发点不是在点上而是在点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它 44 个点，要跳 44步，44 是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指或）因为44 步跳过的

13、点与点各 22个，所以起点必是，终点也是也就是说，当不要求回到出发点时，只要从的位置出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点表(1)中，在有公共边的两格内的数同时加上 1 或同时减去 1 叫做一次操作经过有限次操作后由表(1)变为表(2)，那么表(2)中 A 处的数是000011111A 20102010201020102010 201020102010表(1)表(2)(学案对应：超常 2，带号 2)【分析】将表(1)黑白相间染色，因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中黑白数码和的差是不变的，原来黑白数码和的差是 5，经过若干次变化后，差仍应是 5，所以答案是5【拓展】对于表，每

14、次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表？为什么？101000101(2)(1)987654321【分析】因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过一次变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的 2 倍，因此总和的奇偶性没有改变原来九个数的总和为12945，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，而表中九个数的总和是 4，是个偶数奇数不可能等于偶数，所以不可能变成表。例 6例 5第 3 讲8第 9 级上超常体系 教师版(1)能否用 1 个和 15 个形纸片,拼成一个 8 8 的正方形棋盘?(2)你能不能用“俄罗斯方

15、块”的七种图形各一次，拼成一个图(1)所示的长方形，如果能拼出来，画出这种拼法，如果不能拼出来，请说明理由。(3)你能不能用“俄罗斯方块”的七种图形各一次，拼成一个图(2)所示的图形，如果能拼出来，画出这种拼法，如果不能拼出来，请说明理由。图(1)图(2)(学案对应：超常 3)【分析】(1)将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住 2 个白格,一个T 字形盖住 3 个或 1 个白格.故1 个田字和 15 个T 字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和 15 个T 字形不能盖住 8 8 的棋盘.(2)黑白染色，可发现“T”字形与其他图形的染色方式奇偶性不同，因此不能(3

16、)如下图进行黑白染色，可发现共 15 黑，13 白，而“T”字形恰好可以让黑比白多 2.因此理论上可行(注：理论上可行不代表实际能办到)通过右图可发现可以办到【巩固】如图有 5 个由 4 个1 1 的小正方格组成的不同形状的硬纸板.问能用这 5 个硬纸板拼成图中的 45 的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由.【分析】不能，对45 长方形作黑白染色第 11 级上超常体系教师版 9第 9 级上超常体系教师版黑格数 白格数，但若对、这五个图形进行黑白染色，图黑格 白格，但图黑 白，所以办不到(1)能不能用 15 个和 1 个，拼成一个 88 的正方形？请说明理由(2)能不能用 1

17、 个和 15 个,拼成 88 的正方形?请说明理由(学案对应：带号 3)【分析】(1)将8 8 的方格如图条形染色.那么我们把22 的正方形放入方格中，必定可以盖住 2 个黑格子和 2 个白格子；把L 形放入方格中，必定可以盖住 1 个黑格子，3 个白格子；或 1个白格子，3 个黑格子.L 形盖住的黑白格子数都是奇数个，那么 15 个L 形盖住的黑格子和白格子也必然是奇数个.而在8 8 的方格中，共有 32 个黑格子，32 个白格子.因此不能用 15个 L形和 1 个田字形纸板，拼成一个 8 8 的棋盘.(2)若仍然将 8 8的大正方形黑白相间染色，则 22和 4 1 两种形状盖住的都是两白两

18、黑必须寻找其他的染色方法新的方法必须使得22和4 1 长方形无论放在何处，都可产生一定差别采用如右图的染色方法，则：4 1 长方形必盖住两黑两白，共15 个4 1，盖住 30黑30 白；22正方形可盖住3 白1黑或 3黑1白可以发现，总共只能盖住31黑33白或 31白33 黑，而图中实际有 32 个黑格32 个白格，故不可能用15 个4 1 和1个 22的正方形盖住8 8 的大正方形例 7第 3 讲10第 9 级上超常体系 教师版(1)用 9 个 14 的小长方形能否拼成一个 66 的正方形？请说明理由(2)在平面上有一个2727的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好 81 枚棋子,它们被摆成一个99

19、的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?(学案对应：超常 4，带号 4)【分析】(1)法 1：本题若用传统的自然染色法，不能解决问题因为要用1 4 来覆盖，我们对66 正方形用四种颜色染色为了方便起见，这里用 1、2、3、4 分别代表四种颜色为了使每个1 4 长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿轮换式染色，如下左图这样，可以发现无论将1 4 长方形放于何处，盖住的必然是 1、2、3、4 各一个要不重叠地拼出 66，需 9 个1 4长方形，则必然

20、盖住 1、2、3、4 各 9 个但实际上图中一共是 9 个 1、10 个 2、9 个 3、8 个 4，因而不可能用 9 个1 4长方形拼出66 正方形例 8第 11 级上超常体系教师版11第 9 级上超常体系教师版法 2：如下右图，可以发现共 20 个黑格，16 个白格黑比白多 4，而 14 的格子每次能盖住 2 黑 2 白，黑=白，因此不可能444444433333333222222222111111114321(2)不能.如图,将整个棋盘的每一格都分别染上黑、白、灰三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了 1 个,而第三种颜色的

21、棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部分的棋子的奇偶性要发生改变.因为一开始时,81 枚棋子摆成一个 99 的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.【拓展】用若干个1 6 和1 7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11 12的大长方形，问最少要用小长方形多少个?第 3 讲12第 9 级上超常体系 教师版【分析】因为大长方形的面积是12 11132，小长方形的面积分别是 6 和 7，所以小长方形的个数有四种可能，分别是

22、1 个1 6的小长方形和 18 个1 7 的小长方形；8 个1 6 的小长方形和12 个1 7的小长方形；15 个1 6的小长方形和 6 个1 7的小长方形；22 个1 6 的小长方形.如果使所用的小长方形的个数尽量少，即最少要用 1 个1 6 的小长方形和 18 个1 7 的小长方形.将大长方形划分成 132 个1 1 的小正方形，选取如图的 20 个小正方形染成黑色.这 19个小长方形无论怎样放置，每个小长方形最多只能覆盖 1 个黑色的小正方形，一共最多只能覆盖 19 个黑色的小正方形，所以用 1 个1 6 的小长方形和 18 个1 7 的小长方形无法覆盖 1112 的大长方形.如果使用

23、8 个1 6 的小长方形和 12 个1 7 的小长方形，用 8 个1 6的小长方形可以拼成 1个124的长方形，12 个1 7 的小长方形可以拼成 1 个127的长方形，而这两个长方形即可拼成11 12的大长方形，所以最少要用小长方形 20 个.棋盘覆盖问题的解决方法：1.判断面积；四皇后问题国际象棋棋局中实力最强的一种棋子是皇后，它横、竖、斜都可以走，步数不受限制，但不能越子。吃子与走法相同。在一个 44 棋盘上，放置 4 个皇后，使她们相互之间不能攻击，该怎么布局？答案：有两种布局方法：知识点总结第 11 级上超常体系教师版13第 9 级上超常体系教师版2.通过适当的染色方式区分出理论与实

24、际的差别；3.若不行，说明原因；若可行，写出方案常见的染色方式：1.黑白染色(最常用)2.轮换式染色(可区分“一”字形)3.条形染色(可区分“L”形和“田”字形)4.阶梯染色(可区分“田”字形和“一”字形)1.在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：可以用若干个和拼成的图形是_号。【分析】（1）（2）不是 3 的倍数。（3）不能拼成（4）号可以。2.某影院有 31 排,每排 29 个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前、后、左、右相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?【分析】把影院的座位图画成黑白相间的矩形(2931),

25、共有 899 个小方格.不妨假定四角为黑格，则共有黑格 450 个,白格 449 个.要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换.由于黑白格的总数不相等,因此是不可能的3.如右图，在55 方格的 A 格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格中那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到 A 格中?AA【分析】由小虫的爬法，仍可黑白相间对方格染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑格所以，它由 A 出发回到 A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步而小方格为5 525个，每格爬过一次，就应该为 25 步，不是偶数于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格

26、再回到A 格4.下图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马众所周知，马是走“日”字的请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点？家庭作业第 3 讲14第 9 级上超常体系 教师版马【分析】如下图方式进行染色，可看出共 23 个黑点，22 个白点，从白点出发，白黑相间的走，若能成功，必是“白=黑”或是“白黑=1”的情况因此不可能实现5.在图的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加 1 或减 1，这算一次操作，经过若干次操作后变为图，问：图中的 A 格中的数字是几？1111111A11111111(2)(1)0000000111111110【分析】将 44的方格进行黑白相间染色，如

27、右图所示，每个小格同时加 1 或减 1，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，由图知这个差是 8，由图可知：白格数之和 黑格数之和(7)88A，所以9A 6.能否用 9 个“”形卡片拼成一个 66的棋盘？【分析】不能将66的棋盘黑白相间染色（见图），有 18 个黑格而每张卡片盖住的黑格数只能是 1 或者 3，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，9 张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住 18 个黑格注：从本题强调“T”形拼板在染色上的特殊性.7.能不能用 15 个形和 1 个形纸板，拼成一个 88 的棋盘？第 11 级上超常体系教师版15第 9 级上超常体系教师版

28、【分析】将 88 的方格如图条形染色.那么我们用的方格必定可以盖住 2 个黑格子和 2个白格子或 4 黑或 4 白；把形放入方格中，必定可以盖住 1 个黑格子，3 个白格子；或 1 个白格子，3 个黑格子 L 形盖住的黑白格子数都是奇数个，那么 15 个 L 形盖住的黑格子和白格子也必然是奇数个.而在 88 的方格中，共有 32 个黑格子，32 个白格子.因此不能用 15 个形和 1 个形纸板，拼成一个 88 的棋盘.8.用 8 个 13 的小长方形格子去覆盖 55 的正方形，会多出一个格子未被覆盖。请在下图中画出一种覆盖方式。【分析】可先对大正方形轮换式染色（或编号），可以说明只能挖掉含“2

29、”的格子。再经过尝试，可发现只能挖掉中间的格子。【超常班学案 1】如图，缺两格的8 8 方格有 62 个格，能否用 31 个不重复地盖住它且不留空隙?【分析】这种覆盖问题是典形的用染色方法解决的问题之一用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等但从染色后整个图来看，黑格 30 个，白格 32 个，故不可能将整个超常班学案第 3 讲16第 9 级上超常体系 教师版图不重不漏地盖住【超常班学案 2】如图，对图 1 中的数进行如下操作：选择上、下或左、右紧邻的两个数；若这两个数都不小于 1，则两个数都要加 1 或减 1；

30、若这两个数不管哪个是 0，则两个都要加 10000000111111111111111110000000000101 111111111111111111111111111A1111111图 1图 2按此方法操作若干次后形成图 2，则 A 应该填入的数是多少？【分析】我们可以直接将题目中的图形涂成黑白相间图案，黑色代表，白色代表则如下图：由于是每次上、下或左右同时加或者同时减，则涂色部分与未涂色部分必然是同时变动，所以他们的总和之间的差是没有变化的根据图，发现白格中的数字之和为 18;黑格中的数字之和为 0，其差为 18根据图 2，发现白格中的数字之和为 17+A，黑格中的数字之和为 18所以

31、 A=19【超常班学案 3】在66的方格表中，用若干由 3 个单位方格组成的“L”形纸片和由 4 个单位方格组成的“凸”形纸片将其完全覆盖，所用纸片最少为多少张?并在图中画出覆盖的方法.【分析】因为一共有 36 个方格，而两种纸片分别有 3 个方格和 4 个方格，所以纸片的张数共有四种可能，分别是 9 张“凸”形纸片；6 张“凸”形纸片和 4 张“L”形纸片；3 张“凸”形纸片和 8 张“L”形纸片；12 张“L”形纸片.如果使所用的纸片尽量少，即要用 9 张“凸”形纸片.对这个 66的方格表按国际象棋棋盘的方式染色，可以得到 18 个黑格和 18 个白格.对于一张“凸”形纸片来说，或者可以覆

32、盖到 1个黑格，或者可以覆盖到 3 个黑格，所以需要偶数个“凸”形纸片才能将 18 个黑格完全覆盖，所以用 9 张“凸”形纸片覆盖方格表是不可能的.如果使用 6 张“凸”形纸片和 4 张“L”形纸片，则很容易将方格表完全覆盖.可以先用 4 张“凸”形纸片覆盖 1 个 44的方格表，将剩余的部分用 2 张“凸”形纸片和 4 张“L”形纸片覆盖即可.所以，所用纸片最少为 10 张.【超常班学案 4】用 54 个 114 的小长方体能否拼成一个 666 的大正方体？请说明理由【分析】如下图对大正方体黑白染色，可知道图中共有 112 个黑色小正方体，104 个白色小正方体，黑比白多 8 个而不管怎么放

33、入 114 的小长方体，都只能盖住 2 黑 2 白，黑=白，因此不能办到第 11 级上超常体系教师版17第 9 级上超常体系教师版【超常 123 班学案 1】棋盘由如图所示的 9 个小圆圈排列而成，用 19 编号在 3 号和 9 号小圆圈中各放一枚棋子，分别代表警察和小偷若两个小圆圈之间有线相连，则棋子可以从其中的一个走入另一个现在由警察先走，两人轮流，每人每次走一步，每步可以从一格走到有线相连的邻格之中如果在 6 步之内，警察走入小偷所在的格子之中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；如果警察走了 6 步还没有抓住小偷，就算他失职而失败问：警察应如何取胜？小偷警察987645123警察小偷9876

34、45213【分析】如果警察直逼小偷，反而抓不到小偷如果警察求胜心切，一开始就向 9 号方向扑去，那么他一定抓不到小偷为了说明这一点，将3，6，9 号小圆圈染成黑色，其余为白色容易看到：除 1，2 号两个相邻的小圆圈同色以外，其余相邻的小圆圈都不同色(即都黑白相间)如果警察不经过 1，2 号小圆圈而直逼小偷，那么他总是由黑到白、由白到黑，反复交替，小偷也是如此所以双方走了相同的步数之后，必处于同色的小圆圈中，轮到警察走时，他只能走入另一种颜色的小圆圈中，当然抓不到小偷，这说明直逼小偷，反而不能成功警察“以退为进”，就能一举成功从前面的分析可以看出：警察要抓住小偷必须把他所在的小圆圈的颜色调整到与

35、小偷所在的小圆圈的颜色不同才有可能为此，就得利用、号同色且相邻的小圆圈所以警察应采取“以退为进”的策略，先退到，前三步走123 这三步之后，警察回到原来的黑圈这时，小偷在黑白相间的小圆圈之间也走了三步，必然走入白圈之中，即在、号小圆圈中的一个如果是在、号小圆圈中，只需再走一步123 班学案第 3 讲18第 9 级上超常体系 教师版就可以抓住小偷了如果是在、号小圆圈中，警察可以再走两步走到号小圆圈中，此时小偷走了两步仍在、号小圆圈中的一个此时警察只需再走一步也可以抓住小偷因为前后不超过 6 步，所以警察获胜【超常 123 班学案 2】如图，图1的8 8 方格中交替填满了 0 和1，图2 是从图1

36、中任意位置截取的、三种图形，并对每种图形进行操作：每个小方格同时加1或同时减1，如此反复多次，再将这三种图形不重叠地拼成的问：图 2 中的 A 格中的数字应该是多少？00000000000000000000000000000000图11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111图211111A11111111111111111111111111【分析】此题似乎脱离了染色问题，问的是数字，但注意到图1中0 和1的交替，想到将8 8 方格自然染色(如右图)，则黑格里全为1，白格里全为 0而题中的三种图形，22方格必

37、占 2 白2 黑，2 3的方格必占3白3黑，黑白格数都相同再想到对它们的操作：每个小格同时加1或减1，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，三种图形拼出的图 2 中这个差也应该不变于是对比图1和图 2，图1中：黑格数字和 白格数字和32；图2 中：黑格数字和-白格数字和(31)32A，即(31)3232A，得33A【超常 123 班学案 3】用若干个 22 和3 3的小正方形能不能拼成一个11 11的大正方形？请说明理由【分析】不能.如下图所示，将22 或3 3 的小正方形沿格线摆在下图的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有 77个，是奇数，所以只用 22和3 3的小正方形，不可能拼成11 11的大正方形第 11 级上超常体系教师版19第 9 级上超常体系教师版【超常 123 班学案 4】在8 8 的棋盘上有一枚棋子.它每一步只能向上、向右或向左下方走一步，如图.那么它能不能从棋盘的左下角出发，走遍所有方格，并且每个方格恰好走一次吗？【分析】不能.如图，把8 8的棋盘黑、白、灰三染色.那么现在可以发现，这枚棋子的行走路线只能是灰白黑灰走遍棋盘共需 64 步，那么会经过 22 个灰格子，21 个白格子和 21 个黑格子.而图中共有 22 个白格子、21 个黑格子和 21 个灰格子.因此这枚棋子不可能走遍所有方格，并且每个方格恰好经过一次.