小学数学讲义暑假六年级优秀第9讲弦图.pdf

1、1第 11 级上优秀 A 版教师版第九讲漫画释义五年级春季圆与扇形进阶五年级春季特殊图形六年级暑期弦图六年级暑期切片与染色六年级秋季圆柱与圆锥复习勾股定理；由弦图求解较复杂的几何问题知识站牌第九讲 弦图2第 11 级上优秀 A 版教师版准备四个完全相同直角三角形纸片（没有等腰直角三角形），用这四个直角三角形能否拼出两个正方形呢？同学们不妨试一试.如果大家没有拼出来，可以给大家一个图纸，就是我们的“数海拾贝”中的图.有的同学会问，两个正方形在哪里呢？答案是外面一个和里面一个（很像脑筋急转弯）.大家看着图纸能拼出来吗？当然还有其他类似的拼法，同学们可以在我们的例题中去寻找.今天我们就重点来学习“数

2、海拾贝”中的那个图形，它有一个很好听的名字叫“弦图”.1.复习并掌握勾股定理极其应用2.掌握在复杂图形中构造弦图的技巧，并能用弦图解决相关面积问题一、勾股定理如图，在直角三角形中，有222abc二、勾股定理的证明自从发现勾股定理以后，世界上许多数学家和数学爱好者已经发现了 300 多种不同的证明，下面就说说两种最简洁、最有趣的证明在证明勾股定理“222abc”这个公式时，最关键的一步是怎样理解公式中的“2a、2b、2c”的几何意义，聪明的古人想到了把它们理解成边长为 a、b、c 的正方形的面积！通过把抽象的东西形象化勾股定理实际上是说“以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形

3、的面积”1、赵爽的“弦图”对比观察右边两幅图可以看出：从两个相等的大正方形(边长都为 a+b)中减去 4 块一样的直角三角形后，剩下的面积是相等的，所以222cab赵爽的证明中只用到了人所共知的数学规律：等量减等量差相等cba经典精讲教学目标课堂引入3第 11 级上优秀 A 版教师版第九讲2、刘徽的“出入相补”原理在刘徽的证明中用到了两个平面图形如果“出入相补”，则其面积相等，这就是“出入相补”原理利用“出入相补”原理，将一个图形进行割补，重新组成一个新图形，从而得到数学公式或命题的证明这是一种很重要的数学方法，它是中国古代数学方法的特色之一1.观察下列规律：222399 1(54)(54)5

4、4 22252525 1(13 12)(13 12)1312 22274949 1(2524)(2524)2524 2222281 1(4140)(41 40)414098127 3(15 12)(15 12)1512 请写出：22222222215(_)(_)(_)(_)(_)(_)(_)(_)（113 和 112，39 和 36，25和 20，17 和 8）2.观察一组式子：222222222222345 51213 72425 94041，根据以上规律，请你写出第 7 个式子【分析】观察每个等式的两边，最左边的数为连续奇数，另外两个为相邻的数，则第 7 个等式中最左边的数为 21271n

5、 =15，则根据题意，可列等式：222151aa，解之得：22225121aaa，所以112a，则等式为：22215112113知识回顾4第 11 级上优秀 A 版教师版3.如图，直角三角形 ABC 中，BD 是斜边 AC 上的高，则 BD_(2.4)4.如图，求出下列直角三角形中未知边的长度【分析】根据勾股定理得13c，8b，8a 模块一：勾股定理与弦图例 1：复习勾股定理例 2：弦图的认识模块二：弦图的应用例 3：利用弦图画正方形模块三：弦图的构造例 4、5：适当添加辅助线解决面积问题如图，等腰梯形上底长度等于 3，下底长度等于 9，高等于 4这个等腰梯形的周长等于（学案对应：学案 1）【

6、分析】两边的直角三角形的较短直角边为9323，腰长的平方为222345，所以周长为359522【想想练练】长方体的三条棱长分别为 3、4、12，对角线 AC【分析】边长为3和 4 的长方形的对角线长为 5，这条对角线和长为12 的边垂直，所以 AC 长为13 c125b10662624a例 1例题思路5第 11 级上优秀 A 版教师版第九讲（A 版（1）、（2）、（3）由四个完全相同的长方形拼出下图（1），大正方形的面积是小正方形面积的倍将图（1）中每个长方形沿对角线剪开，形成图（2）的虚线正方形 ABCD的面积是将图（2）沿虚线剪开后形成图（3），大正方形的面积与小正方形的面积差是小亮同学随

7、机地在图（3）的大正方形及其内部区域投针，则针扎到小正方形（阴影）区域的可能性是_照图中的样子，在一正方形纸板上割去两个直角三角形.求图中阴影部分的面积.从四角的 5 厘米处，用剪刀剪出45 的角度，中间便会形成一个小正方形（见下图）这个小正方形的面积是多少平方厘米？【分析】22(23)(32)25222313，或2 32 41 13 13 1 12 或2 32 412 113 方 法 一：连 接 如 右 图 所 示 的 线 段 得 到 四 个 全 等 的 三 角 形，则 阴 影 面 积 为4 6(64)(64)28方法二：利用勾股定理得正方形面积为224652，则阴影面积为524 628 图

8、3图2图132ABCDDCBA236464例 26第 11 级上优秀 A 版教师版如图所示右上角阴影三角形斜边的平方为小正方形的面积，可求得小正方形面积为：225550（cm2）【想想练练】如图，大正方形是由一个小正方形和四个相同的直角三角形构成，直角三角形的两条直角边分别是 2 和 5，那么大正方形的面积是多少？【分析】中间小正方形的面积为 9，大正方形的面积为 4 个三角形与中间小正方形的面积之和，所以，大正方形的面积 12254929或根据勾股定理，大正方形的面积为222529请只用刻度尺画出一个面积为 5 平方厘米的正方形.（学案对应：学案 2）【分析】由于22512，利用勾股定理，如

9、图4646例 37第 11 级上优秀 A 版教师版第九讲（2011 年学而思杯六年级数学试题）如图，一个边长为 10 厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计），AO 距离为 8 厘米，那么点 C 距离地面的高度是厘米（学案对应：学案 3）【分析】如下图，由勾股定理得，直角三角形的短边为 6 厘米，所以高为 6814（厘米）例 4中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅勾股圆方图，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.2002 年 8 月在北京召开的国际数学大会会标就取材于

10、赵爽的勾股圆方图.赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且另有发展.例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义.8第 11 级上优秀 A 版教师版如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为 12 厘米的正方

11、形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？（学案对应：学案 4）【分析】如图所示，分别过阴影四边形 EFGH 的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形MNPQ，易知长方形 MNPQ 的面积为 428平方厘米从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的 2 倍，等于 AENH、BFME、CGQF、DHPG 四个长方形的面积之和，等于正方形 ABCD 的面积加上长方形MNPQ 的面积，为12 128152平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为152276平方厘米，那么阴影四边形 EFGH 的面积为1447668平方厘米【想想练练】如图，中心直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么图

12、中 3 个正方形的面积比四个三角形的面积大多少？【分析】法一：如右图，三个正方形的面积是 9162550，四个三角形的面积为 6424，所以差为 26.法二：或者四个三角形可以转换到大正方形弦图的四个直角三角形，所以面积差为22243126，4cm2cmQPNMHGFEABCD3434例 59第 11 级上优秀 A 版教师版第九讲【分析】这个梯形的面积为222()()22aabbSab ab，也可以用左右 2 个三角形和中间大三角形的和来表示2222ababcS 所以有22222222aabbababc，即222abc如图，长方形中被嵌入了 8 个相同的正方形已知长 20 厘米，宽 16 厘米

13、，那么每一个正方形的面积为平方厘米【分析】将所有的正方形按照弦图进行分割如图：设每个小直角三角形的长直角边长为 a，短直角边长为b，那么根据大长方形的长宽可列出方程组：42203216abab，解得42ab，所以每个小正方形的面积为222422 4 22420平方厘米杯赛提高关于勾股定理的证明方法已有 500 余种.其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.具体证法如下图.同学们你们能看图说明总统是怎样证明勾股定理的吗？10第 11 级上优秀 A 版教师版1.下图中有三个直角三角形请问 x

14、=厘米【分析】两个直角三角形完全一样，所以两直角三角形的两直角边分别为 9cm 和 12cm，由勾股定理得，222291215x，所以15x 2.三条边长分别为 5、12、13 的直角三角形如图所示，将它的短直角边对折到斜边上去，与斜边相重合，问图中阴影部分的面积是多少？【分析】由边长的比例关系，直角三角形被分成了 3 块，份数关系如图，所以阴影部分面积为8405 122 1833.如图是由边长为3cm 和4cm 的两个正方形组成，请按尺寸在发给你的彩纸上画上这一图形，再将它剪成 3 块，拼成一个大的正方形，并求这个大正方形的边长是多少？【分析】边长 5 厘米拼法如图：12135558附加题1

15、1第 11 级上优秀 A 版教师版第九讲4.（第 7 届日本算术奥林匹克决赛试题）在直角边为 3 与 4 的直角三角形各边上向外分别作正方形，三个正方形顶点顺次连接成如左下图所示的六边形 ABCDEF 求这个六边形的面积是多少？【分析】根据图中三个正方形的特点，我们以直角三角形的斜边上的正方形为基础来构造弦图(如右上图)这样，弦图中的 4 个直角三角形都与原直角三角形相同，中间阴影小正方形的面积为4312，且图中阴影三角形的面积都等于弦图中直角三角形的面积所以，六边形 ABCDEF 的面积6个直角三角形面积 2 个阴影三角形面积 3 个正方形面积8个直角三角形面积 3 个正方形面积22283

16、4234174（）5.从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5 米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为 5平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？【分析】构造一个用 4 个 5 的长方形和一个边长为 0.5 的小正方形构成的大正方形弦图，有20.5()450.25abab，所以2.5a 所以锯下玻璃条面积为 2.50.51.25平方米6.(2013 年学而思杯五年级)如右图，三角形 ABC 是直角三角形，M 是斜边 BC 的中点，MNPQ 是正方形，N 在 AB 上，P 在 AC上如果，AB 的长度是 12 厘米，AC 的长度是 8 厘米那么，正方形 MNPQ 的面积是_平方厘米【分析

17、】如下图，过 M 点作 AB 的垂线，垂足为 D；以 AD 为外围正方形的一边，做出以 MNPQ 为内含正方形的弦图，；则 MD 为ABC 的中位线，42ACMDcm，62ABADcm；故弦图中外围正方形边长为 6cm，4ANMDcm，642DNcm；故所求面积为222464202cm.ABCDEF34ABCDEF3412第 11 级上优秀 A 版教师版一、如图，在直角三角形中，有222abc二、如图，通过分割，图中有三个正方形，这三个正方形的面积从大到小依次是2()ab，22ab，2()baFEDNMQPADQPNMCBAcbababababa知识点总结13第 11 级上优秀 A 版教师版第

18、九讲1.请构造 5 组勾股数，要求都是整数例如：222345【分析】开放性试题，答案不唯一2.2002 年将在北京召开国际数学家大会，大会会标如下图所示它是由四个相同的直角三角形拼成的(直角边长为 2 和 3)问：大正方形的面积是多少?【分析】由勾股定理得，大正方形的面积为2223133.请只用直尺画出一个面积为 10 平方厘米的正方形【分析】由于221013，利用勾股定理，如图4.如图，CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底23AD 厘米，下底35BC 厘米求三角形 ADE 的面积【分析】如右上图所示，在正方形CDEF 中构造“弦图”：由于 ABCD 是等腰梯形，所以梯形 ABC

19、D 是对称图形，由此可得352326 cmCG（）（）31FEDCBAHGABCDEF家庭作业14第 11 级上优秀 A 版教师版5.如图，如果长方形 ABCD的面积是 56 平方厘米，那么四边形 MNPQ 的面积是多少平方厘米？【分析】如图，过M、N、P、Q 分别作长方形 ABCD的各边的平行线易知交成中间的阴影正方形的边长为3 厘米，面积等于 9 平方厘米设 MQD、NAM、PBN、QCP的面积之和为 S，四边形 MNPQ的面积等于 x，则569xSxS，解得32.5x.6.如右图，长方形 ABCD 中被嵌入了 6 个相同的正方形已知 AB=22 厘米，BC=20 厘米，那么每一个正方形的

20、面积为平方厘米【分析】将所有的正方形按照弦图进行分割如图：设每个小直角三角形的长直角边长为 a，短直角边长为b，那么根据大长方形的长宽可列出方程组：3222320abab，解得62ab，所以每个小正方形的面积为222622 6 22640平方厘6523NMQPDCBA336523NMQPDCBAADBCDCBA15第 11 级上优秀 A 版教师版第九讲【学案1】如图所示的三角形 ABC 的三条边 AB、BC、AC 中，最长的是【分析】根据勾股定理：2222420AB,2221526AC,2223534BC 所以，显然 BC 最长【学案2】有两个正方形，边长分别为 4 厘米和 2 厘米请把边长为

21、 4 厘米的正方形切割成 4 块，与边长为 2 厘米的正方形拼在一起，组成一个大的正方形【分析】【学案3】如下图，连接顶点和正方形边上的中点，得到一个小正方形，那么这个小正方形的面积占整个大正方形面积的【分析】把小三角形拼到小梯形上，得到右图，小正方形占整个面积的 15 A版学案16第 11 级上优秀 A 版教师版【学案4】(第 12 届小学算术奥林匹克大赛初赛（初小组）)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是2cm【分析】如图所示，分别过阴影四边形 EFGH 的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形MNPQ，易知长方形 MNPQ 的面积为 4 14 平方厘米从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的 2 倍，等于 AENH、BFME、CGQF、DHPG 四个长方形的面积之和，等于正方形 ABCD 的面积加上长方形MNPQ 的面积，为10 104104平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为104252平方厘米，那么阴影四边形 EFGH 的面积为1005248平方厘米1cm4cmQPNMHGFEABCD