新高考新题型第19题新定义压轴题汇编（学生版）.pdf

1、1新高考新题型第 19 题新定义压轴题汇编目 录01 集合新定义02 函数与导数新定义03 立体几何新定义04 三角函数新定义05 平面向量与解三角形新定义06 数列新定义07 圆锥曲线新定义08 概率与统计新定义09 高等数学背景下新定义01 集合新定义1(2024北京高三北师大实验中学校考阶段练习)已知 N 元正整数集合 A=a1,a2,aNN 2满足：a1 a2 aN，且对任意 i,j 1,2,N,i j，都有ajaj-ai Z(1)若 a1=2，写出所有满足条件的集合 A；(2)若 aN 恰有 N 个正约数，求证：aN=aN-1+1；(3)求证：对任意的 i,j 1,2,N-1,i n

2、+2；(3)证明：g(M)=n+3.302 函数与导数新定义4(2024上海黄浦高三格致中学校考开学考试)对于函数 y=f x的导函数 y=f x，若在其定义域内存在实数 x0和 t，使得 f x0+t=t+1 f x0成立，则称 y=f x是“跃点”函数，并称 x0是函数 y=f x的“t 跃点”.(1)若函数 y=sinx-m x R是“2 跃点”函数，求实数 m 的取值范围；(2)若函数 y=x2-ax+1 是定义在-1,3上的“1 跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1 跃点”，求实数 a 的取值范围；(3)若函数 y=ex+bx x R是“1 跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“

3、1 跃点”，求实数 b 的取值范围.5(2024江西宜春高三江西省丰城中学校考开学考试)俄国数学家切比雪夫(.，1821-1894)是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合 I 上的函数 f x，以及函数 g x=kx+b k,b R，切比雪夫将函数 y=f x-g x，x I 的最大值称为函数 f x与 g x的“偏差”.(1)若 f x=x2 x 0,1，g x=-x-1，求函数 f x与 g x的“偏差”；(2)若 f x=x2 x -1,1，g x=x+b，求实数 b，使得函数 f x与 g x的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值.46(2024上海杨浦复旦附中校考模拟预

4、测)设 y=f(x)是定义域为 R 的函数，如果对任意的 x1、x2R x1 x2,f x1-f x2 0 时，sinx x 恒成立)(2)若函数 y=f(x)是“平缓函数”，且 y=f(x)是以 1 为周期的周期函数，证明:对任意的 x1、x2 R，均有 f x1-f x2 1 使得函数 y=A g(x)为“平缓函数”.现定义数列 xn满足:x1=0,xn=g xn-1(n=2,3,4,)，试证明:对任意的正整数 n,g xn A|g(0)|A-1.7(2024上海浦东新高三上海市建平中学校考阶段练习)若定义域为 D 的函数 y=f x满足 y=fx是定义域为 D 的严格增函数，则称 f x

5、是一个“T 函数”.(1)分别判断 f1 x=ex，f2 x=x3是否为 T 函数，并说明理由；(2)已知常数 a 0，若定义在 0,+上的函数 y=g x是 T 函数，判断 g a+1+g a+2和 g a+g a+3的大小关系，并证明；(3)已知 T 函数 y=F x的定义域为 R，不等式 F x 0 的解集为-,0证明：F x在 R 上严格增.503 立体几何新定义8(2024江苏高三专题练习)如图 1 所示为一种魔豆吊灯，图 2 为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥 O1-ABCDEF 和 O2-ABCDEF 构成，两个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为 1600mm，底面中心为

6、 O，通过连接线及吸盘固定在天花板上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点 O2与天花板的距离为1300mm，所有的连接线都用特殊的金属条制成，设金属条的总长为 y(1)设 O1AO=(rad)，将 y 表示成 的函数关系式，并写出 的范围；(2)请你设计，当角 正弦值的大小是多少时，金属条总长 y 最小69(2024辽宁沈阳东北育才学校校考二模)蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图 1 所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥 H-ABC，J-CDE，K-EFA，再分别以 AC，CE，EA 为轴将ACH，CEJ，EAK 分别向上翻转 180，使 H，J，K 三点重合为点 S 所围成的曲顶多

7、面体(下底面开口)，如图 2 所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 2 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和(多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示).例如：正四面体在每个顶点有 3 个面角，每个面角是 3，所以正四面体在各顶点的曲率为 2-3 3=.(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；(2)若正六棱柱底面边长为 1，侧棱长为 2，设 BH=x(i)用 x 表示蜂房(图 2 右侧多面体)的表面积 S(x)；(ii)当蜂房表面积最小时，求其顶点 S 的曲率的余弦值.710(2024北京高三统考期末)用光线照射物体，

8、在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形 ABCD 在平面 内的平行投影是四边形 ABCD.图 1图 2图 3(1)若平行四边形 ABCD 平行于投影面(如图 1)，求证：四边形 ABCD 是平行四边形；(2)在图 2 中作出平面 ABCD 与平面 的交线(保留作图痕迹，不需要写出过程)；(3)如图 3，已知四边

9、形 ABCD 和平行四边形 ABCD 的面积分别为 S1,S2，平面 ABCD 与平面 的交线是直线 l，且这个平行投影是正投影.设二面角 A-l-A 的平面角为(为锐角)，猜想并写出角 的余弦值(用 S1,S2表示)，再给出证明.811(2024山东济南高三统考期末)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点 E,F,G,H 经过中心投影之后的投影点分别为 A,B,C,D对于四个有序点 A,B,C,D，定义比值 x=CACBDADB叫做这四个有序点的交比，记作 ABCD (1)证明：EFGH=ABCD；(2)已知 EFGH=32，点 B 为线

10、段 AD 的中点，AC=3OB=3,sinACOsinAOB=32，求 cosA04 三角函数新定义12 如果对于三个数 a、b、c 能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a、b、c，如果函数 y=f x使得三个数 f(a)、f(b)、f(c)仍为“三角形数”，则称 y=f x为“保三角形函数”(1)对于“三角形数”、2、4+，其中 8 4，若 f(x)=tanx，判断函数 y=f x是否是“保三角形函数”，并说明理由；(2)对于“三角形数”、+6、+3，其中 6 712，若 g(x)=sinx，判断函数 y=g(x)是否是“保三角形函数”，并说明理由913 数学家发

11、现：sinx=x-x33!+x55!-x77!+，其中 n!=1 2 3 n.利用该公式可以得到：当 x 0,2时，sinx x-x33!;sinx 12;(2)设 f(x)=msinx，当 f(x)的定义域为 a,b时，值域也为 a,b，则称 a,b为 f(x)的“和谐区间”当 m=-2 时，f(x)是否存在“和谐区间”?若存在，求出 f(x)的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由14 已知函数 y=f x，若存在实数 m、k(m 0)，使得对于定义域内的任意实数 x，均有 m f(x)=f(x+k)+f(x-k)成立，则称函数 f(x)为“可平衡”函数；有序数对 m,k称为函数 f(x)

12、的“平衡”数对(1)若 f x=x2，求函数 f(x)的“平衡”数对；(2)若 m=1，判断 f x=sinx 是否为“可平衡”函数，并说明理由；(3)若 m1、m2 R，且 m1,2、m2,4均为函数 f(x)=cos2x 0 1,n N*(1)若数列 an通项公式为：an=1+-1n2n N*，求 V 5；(2)若数列 an满足：a1=a，an=b，且 a b，求证：V n=a-b 的充分必要条件是 ai+1 aii=1,2,n-1；(3)已知 V 2022=2022，若 yt=1t a1+a2+at，t=1,2,2022求 y2-y1+y3-y2+y2022-y2021的最大值19(20

13、24上海松江高三上海市松江二中校考开学考试)若实数数列 An:a1,a2,an n 2满足ak+1-ak=1 k=1,2,n-1，则称数列 An为 E 数列.(1)请写出一个 5 项的 E 数列 A5，满足 a1=a5=0，且各项和大于零；(2)如果一个 E 数列 An满足：存在正整数 i1,i2,i3,i4,i5 i1 i2 i3 i4 i5 n使得 ai1,ai2,ai3,ai4,ai5组成首项为1，公比为-2 的等比数列，求 n 的最小值；(3)已知 a1,a2,a2m m 2为 E 数列，求证：a12,a32,a2m-12为 E 数列且 a22,a42,a2m2为 E 数列”的充要条件

14、是“a1,a2,a2m是单调数列”.1320(2024北京丰台高三统考期末)若有穷数列 an(n N*且 n 3)满足|ai-ai+1|ai+1-ai+2|(i=1,2,n-2)，则称 an为 M 数列(1)判断下列数列是否为 M 数列，并说明理由；1，2，4，3 4，2，8，1(2)已知 M 数列 an中各项互不相同 令 bm=am-am+1m=1,2,n-1，求证：数列 an是等差数列的充分必要条件是数列 bm是常数列；(3)已知 M 数列 an是 m(m N*且 m 3)个连续正整数 1,2,m 的一个排列若m-1k=1 ak-ak+1=m+2，求 m 的所有取值21(2024北京石景山

15、高三统考期末)记实数 a，b 中的较大者为 maxa,b，例如 max1,2=2，max 1,1=1，对于无穷数列 an，记 k=maxa2k-1,a2k(k N*)，若对于任意的 k N*，均有 k+1 an n=1,2,3 若数列 an具有性质 4，求数列 an的通项公式07 圆锥曲线新定义23 已知点 D 是圆 Q:(x+4)2+y2=72 上一动点，点 A 4,0，线段 AD 的垂直平分线交线段 DQ 于点 B.(1)求动点 B 的轨迹方程 C；(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线 T 与曲线 C 相似，且焦点在同一条直线上，曲线 T 经过点 E-

16、3,0,F 3,0.过曲线 C 上任一点 P 作曲线 T 的切线，切点分别为 M,N，这两条切线 PM,PN 分别与曲线 C 交于点 G,H(异于点 P)，证明：MN GH.1524 椭圆曲线加密算法运用于区块链椭圆曲线 C=(x,y)y2=x3+ax+b,4a3+27b2 0 P C 关于 x 轴的对称点记为 P C 在点 P(x,y)(y 0)处的切线是指曲线 y=x3+ax+b 在点 P 处的切线定义“”运算满足：若 P C,Q C，且直线 PQ 与 C 有第三个交点 R，则 P Q=R；若 P C,Q C，且 PQ 为 C 的切线，切点为 P，则 P Q=P；若 P C，规定 P P=

17、0*，且 P 0*=0*P=P(1)当 4a3+27b2=0 时，讨论函数 h(x)=x3+ax+b 零点的个数；(2)已知“”运算满足交换律、结合律，若 P C,Q C，且 PQ 为 C 的切线，切点为 P，证明：P P=Q；(3)已知 P x1,y1 C,Q x2,y2 C，且直线 PQ 与 C 有第三个交点，求 P Q 的坐标参考公式：m3-n3=(m-n)m2+mn+n21625(2024全国高三专题练习)阅读材料：(一)极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线 G：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，则称点 P(x0，y0)和直线 l：Ax0 x+Cy0y+D x+x0+E y+y0+

18、F=0 是圆锥曲线 G 的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以 x0 x 替换 x2，以 x0+x2替换 x(另一变量 y 也是如此)，即可得到点 P(x0，y0)对应的极线方程.特别地，对于椭圆 x2a2+y2b2=1，与点 P(x0，y0)对应的极线方程为 x0 xa2+y0yb2=1；对于双曲线 x2b2-y2b2=1，与点 P(x0，y0)对应的极线方程为 x0 xa2-y0yb2=1；对于抛物线 y2=2px，与点 P(x0，y0)对应的极线方程为 y0y=p x0+x.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.(二)极点与极线的基本性质定理当 P 在圆锥曲线

19、G 上时，其极线 l 是曲线 G 在点 P 处的切线；当 P 在 G 外时，其极线 l 是曲线 G 从点 P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；当 P 在 G 内时，其极线 l 是曲线 G 过点 P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：(1)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点 P(4，0)，离心率是32，求椭圆 C 的方程并写出与点 P 对应的极线方程；(2)已知 Q 是直线 l：y=-12 x+4 上的一个动点，过点 Q 向(1)中椭圆 C 引两条切线，切点分别为 M，N，是否存在定点 T 恒在直线 MN 上，若存在，当 MT=

20、TN时，求直线 MN 的方程；若不存在，请说明理由.1726(2024上海虹口高三统考阶段练习)已知椭圆:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l 的斜率为 k，在 y 轴上的截距为 m.(1)设 k=1，若 的焦距为 2，l 过点 F1，求 l 的方程；(2)设 m=0，若 P3,12是 上的一点，且 PF1+PF2=4，l 与 交于不同的两点 A、B，Q 为 的上顶点，求 ABQ 面积的最大值；(3)设 n 是 l 的一个法向量，M 是 l 上一点，对于坐标平面内的定点 N，定义 N=n MN|n|.用 a、b、k、m 表示 F1 F2，并利用 F1 F

21、2与 b2的大小关系，提出一个关于 l 与 位置关系的真命题，给出该命题的证明.1808 概率与统计新定义27(2024北京东城高三统考期末)已知随机变量 的取值为不大于 n 的非负整数值，它的分布列为：012nPp0p1p2pn其中 pi(i=0,1,2,n)满足：pi 0,1，且 p0+p1+p2+pn=1定义由 生成的函数 f(x)=p0+p1x+p2x2+pnxn，令 g(x)=f(x)(I)若由 生成的函数 f(x)=14 x+12 x2+14 x3，求 P(=2)的值；(II)求证：随机变量 的数学期望 E()=g(1)，的方差 D()=g(1)+g(1)-(g(1)2；(D()=

22、ni=0(i-E()2 pi)()现投掷一枚骰子两次，随机变量 表示两次掷出的点数之和，此时由 生成的函数记为 h(x)，求 h(2)的值1928(2024四川成都高三成都七中校考开学考试)在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标a1,a2,a3表示，其中 ai 0,11 i 3,i N而在 n 维空间中 n 2,n N，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为 n 维坐标 a1,a2,a3,an，其中 ai 0,11 i n,i N现有如下定义：在 n 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点 a1,a2,a3,an与 b1,b2,b3,bn坐标差的绝对值之和，即为 a1-b1+a2-b2+a3

23、-b3+an-bn回答下列问题：(1)求出 n 维“立方体”的顶点数；(2)在 n 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量 X 为所取两点间的曼哈顿距离求出 X 的分布列与期望；证明：在 n 足够大时，随机变量 X 的方差小于 0.25n2(已知对于正态分布 X N,2，P 随 X 变化关系可表示为,x=1 2 e-x-222)2009 高等数学背景下新定义29(2024吉林长春东北师大附中模拟预测)概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式马尔科夫不等式的形式如下：设 X

24、 为一个非负随机变量，其数学期望为 E X，则对任意 0，均有 P X E X，马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系当 X 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：设 X 的分布列为 P X=xi=pi,i=1,2,n,其中 pi(0,+),xi 0,+)(i=1,2,n),ni=1pi=1，则对任意 0，P(X )=xipixixi pi=1 xixipi 1ni=1xipi=E(X)，其中符号xiAi表示对所有满足 xi 的指标 i 所对应的 Ai求和切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量 X 的期望为 E X，方差

25、为 D X，则对任意 0，均有 P X-E X D X2(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量 X 成立(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为 80%现随机选择了 100 名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为 60 人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信2130(2024湖北高三黄冈中学校联考阶段练习)随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论概率论函数逼近论积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设 X 为离散型随机变量，则 P X-E X D X2，其中

26、为任意大于 0 的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量 X 的分布未知的情况下，对事件 X-的概率作出估计.(1)证明离散型切比雪夫不等式；(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数 n 5.在一次抽奖游戏中，有 n 个不透明的箱子依次编号为1,2,n，编号为 i 1 i n的箱子中装有编号为 0,1,i 的 i+1 个大小质地均相同的小球.主持人邀请n 位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为 i 的箱子中抽取的小球号码为 Xi，并记 X=ni=1Xii.对任意的 n，是否总能保证 P X 0.1n 0.01(假设嘉宾和箱子数能任意多)？并证明你的结论.附：可能用到的公式(数学期望

27、的线性性质)：对于离散型随机变量 X,X1,X2,Xn满足 X=ni=1Xi，则有 E(X)=ni=1EXi.2231(2024北京西城统考二模)给定奇数 n 3，设 A0是 n n 的数阵 aij表示数阵第 i 行第 j 列的数，aij=1 或-1,i j0,i=j且 aij=aji(i=1,2,n;j=1,2,n)定义变换 t为“将数阵中第 t 行和第 t 列的数都乘以-1”，其中 t 1,2,n设 T=(t1,t2,ts),tr 1,2,n,r=1,2,s(s N*)将 A0经过 t1变换得到 A1，A1经过 t2变换得到 A2，As-1经过 ts变换得到 As记数阵 Ar中 1 的个数

28、为 TA0(r)(1)当 n=3 时，设 A0=01-1101-110，T=(1,3)，写出 A1,A2，并求 TA0(1),TA0(2)；(2)当 n=5,s 2 时，对给定的数阵 A0，证明：TA0(2)-TA0(1)是 4 的倍数；(3)证明：对给定的数阵 A0，总存在 T，使得 TA0(s)(n-1)2232(2024上海宝山统考一模)若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的(R)倍，则称该数列具有性质 P().(1)已知数列-1，2-x，3-x 具有性质 P(4)，求实数 x 的取值范围；(2)删除数列 31，32，3n，中的第 3 项，第 6 项，第 3n 项，余下的项按原来顺序组成一个新数列tn，且数列 tn 的前 n 项和为 Tn，若数列 Tn 具有性质 P()，试求实数 的最大值；(3)记ni=mui=um+um+1+um+2+un(m N)，如果 ak 0(k=1,2,2021)，证明：“2021k=1ak 1”的充要条件是“存在数列 xn 具有性质 P(1)，且同时满足以下三个条件：()数列 xn 的各项均为正数，且互异；()存在常数 A 0，使得数列 xn 收敛于 A；()xn-xn-1=2021k=1akxn+k-2020k=0ak+1xn+k(n=1,2,，这里 x0=0)”.