领悟标准精神 把握教材教学——2022年高考“平面解析几何”专题命题分析.pdf

1、下半月（高中版）2022年第10期（总第272期）领悟标准精神把握教材教学2022年高考“平面解析几何”专题命题分析闻岩（北京市西城区教育研修学院北京市西城区教育研修学院）摘要：2022年高考数学对平面解析几何的考查，以直线和圆的方程，以及圆锥曲线的定义、标准方程和简单几何性质为载体，以基本概念和通性、通法为考查重点，体现了“依据标准，全面考查，重视四基，突出素养”的命题原则，强调平面解析几何问题解决过程中数形结合、函数与方程等思想方法的突出地位，以及运算策略在解决问题中的重要作用，实现了对学生必备知识、关键能力和学科素养的全面考查，对今后的课堂教学和复习备考都起到了积极的引导作用.通过对典型

2、试题的分析，总结考查特点，为高三复习教学提出建议关键词：平面解析几何；考查特点；命题分析；教学建议收稿日期：2022-07-05作者简介：闻岩（1966），男，正高级教师，主要从事中学数学课程、教材和评价研究.平面解析几何是高中数学的重要内容，高考主要考查直线与圆的方程，椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质，直线与圆锥曲线的关系是经常出现的问题情境.试题考查强调基础性、综合性、应用性和创新性，重视对数形结合、函数与方程、转化与化归、分类与整合、特殊与一般、运动与变换等思想方法的考查，通过多种题型探索对学生直观想象、数学运算和逻辑推理等素养的考查途径.一、考查内容分析平面解析几何

3、内容是考查学生直观想象、数学运算和逻辑推理素养的良好载体.2022年高考数学试卷中涉及直线、圆与圆锥曲线的试题包含选择题、填空题和解答题三种题型.试题综合性较强，常将直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等几种常见曲线组合起来进行命题，更多的是将直线与圆、圆锥曲线知识相融合，设计内容丰富的几何问题情境，综合运用代数和几何方法解决问题.平面解析几何试题还经常与函数、不等式、向量等知识进行综合考查，对学生的综合能力要求较高.2022年高考对平面解析几何内容的考查呈现以下特点.1.题型结构、分数比例整体稳定2022年各份高考数学试卷中，平面解析几何试题在题型、题量和分值等方面基本保持稳定.各份试卷均采用兼顾

4、客观题和主观题的做法，题量一般为2 3道客观题、1道主观题，分值稳定在22 27分.其中，题量较多的为全国新高考卷、全国新高考卷、全国甲卷（文）、全国乙卷（理），分值均为27分，占全卷分值的18%.全国卷具体情况如表1所示（地方卷情况与之类似）.卷别全国新高考卷全国新高考卷全国甲卷全国乙卷文理文理题号11，14，16，2110，15，16，2111，14，15，2110，14，206，15，215，11，14，20题量444334分值272727222227比例18%18%18%14.7%14.7%18%表12022年高考全国卷平面解析几何试题题量和分值统计情况命题研究 47下半月（高中版）2

5、022年第10期（总第272期）2.试题情境设计丰富平面解析几何基础题一般以圆、椭圆、双曲线和抛物线为问题情境设计试题，考查基础知识.不同层次的综合性试题通常以直线与圆锥曲线的位置关系为情境设计试题，也有将两种圆锥曲线关联起来进行问题设计，以及以实际问题为背景设计试题的情况.2022年平面解析几何试题除了考查最基础的知识外，通常关注度量及几何性质的分析.例如，常涉及长度、角度、面积的计算，以及平面几何图形性质的研究等.试题也常与代数知识相结合，解决求值、最值、定值、范围等问题.也会涉及函数与方程、数形结合、分类与整合、转化与化归、特殊与一般、运动与变换的思想方法，以及特殊化、极端化等分析问题和

6、解决问题的思维方法.通过客观题与主观题配合设置，设计不同难度层次的试题，考查学生的“四基”与数学核心素养.全国卷具体情况如表2所示（地方卷特点与之类似）.3.试题设问方式多样，突出素养导向中国学生发展核心素养提出了核心素养的总体框架和基本内涵；中国高考评价体系确立了高考中学科素养的考查目标，标志着高考正在实现从能力立意到素养导向的历史性转变.素养导向不仅强调知识和智力，更强调知识的迁移和后天的习得.试题的特点是不求结构完整，追求目标指向开放，要求学生临场思考发挥，目的在于更清晰、准确地考查学生的智力水平、思考深度、思维习惯和科学态度.可以看到，近两年以全国新高考卷为代表的试卷中创新性地推出了选

7、择题中的多选题、填空题中答案不唯一的开放性试题，以及解答题中的结构不良试题等.通过设问方式、情境设置的变化，创设新的情境，变换设问角度和知识的组合方式，考查学生的科学探究能力和创新能力.2022年全国新高考试卷中的这种尝试，在平面解析几何试题的考查中均有体现，展现了对学生数学核心素养考查的积极探索，值得关注.二、命题特点分析1.命题意图分析2022年高考平面解析几何试题，紧扣 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）（以下简称标准）的内容要求，全面考查直线和圆的方程，椭表22022年高考全国卷平面解析几何试题情境设计分析卷别全国新高考卷全国新高考卷全国甲卷全国乙卷文理文理题号1114

8、16211015162111141521101420615215111420题型选择题填空题填空题解答题选择题填空题填空题解答题选择题填空题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题填空题解答题曲线类型抛物线圆椭圆双曲线抛物线圆椭圆双曲线椭圆圆双曲线抛物线椭圆双曲线抛物线抛物线圆椭圆抛物线双曲线圆椭圆核心考点直线、抛物线的方程及性质圆的切线椭圆方程、定义，弦长直线与双曲线方程抛物线的定义、性质，与直线的关系直线与圆的位置关系直线与椭圆的位置关系直线与双曲线的位置关系椭圆的方程、性质、离心率圆的方程直线与双曲线的位置关系直线与抛物线的关系椭圆的方程、性质、离心率双曲线的渐近线，

9、圆的方程直线与抛物线的关系抛物线的方程、定义圆的方程直线与椭圆的位置关系抛物线的方程、定义双曲线的方程、定义圆的方程直线与椭圆的位置关系问题情境长度、位置关系直线与圆相切长度斜率、面积斜率、长度、角度直线与圆相交长度、中点平行、中点、共线数量积圆心、半径离心率最值斜率直线与圆相切最值长度圆心、半径长度、定点长度角度圆心、半径长度、定点命题研究命题研究 48下半月（高中版）2022年第10期（总第272期）圆、双曲线和抛物线的定义，标准方程，简单几何性质，突出对主干知识、数学思想方法、分析问题和解决问题能力，以及数学思维能力的考查，有效发挥了高考试题的评价功能.具体表现在以下四个方面.（1）重视

10、基础，全面考查“四基”.高考强调对学生数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查.每份试卷中都在考查“四基”的过程中，突出对主干知识和通性、通法的考查，体现了考查的全面性和基础性.例1（全国甲卷理 14）若双曲线 y2-x2m2=1()m 0的渐近线与圆 x2+y2-4y+3=0 相切，则 m 的值为.答案：33.【评析】此题考查双曲线的渐近线方程，直线与圆相切的知识.解题过程中，只要准确写出双曲线的渐近线方程，依据直线与圆相切的一般判定方法，就可以快速求解.例2（浙江卷16）已知双曲线 x2a2-y2b2=1()a 0，b 0的左焦点为 F，过点 F 且斜率为 b4a 的直线交双曲

11、线于点 A()x1，y1，交双曲线的渐近线于点 B()x2，y2，且x1 0 b 0，C 的上顶点为 A，两个焦点为 F1，F2，离心率为 12.过点 F1 且垂直于 AF2 的直线与 C 交于 D，E 两点，|DE=6，则ADE 的周长是.答案：13.【评析】此题考查椭圆的方程和定义、直线与椭圆相交所得弦长的求法，考查转化与化归思想.如图1，通过对试题中已知条件的分析，可以发现 AF1F2 为等边三角形，DE 为 AF2 的中垂线.因此，ADE 的周长即为 F2DE 的周长，等于 4a.于是转化为求椭圆方程基本量的问题.依据条件|DE=6 不难求得.此题在考查基础知识的同时，体现了对基本数学

12、思想的考查，对学生几何直观和数学运算素养的考查也表现得充分且适当.yF1F2OADEx图1像例1 例3这样考查平面解析几何基础知识的试题在2022年高考数学全国卷和地方卷中均占有一定的比例.上述三道例题中，例1和例2更基础、简单，属于平面解析几何中的基本问题，体现了对基础知识的考查.例2涉及方程思想的应用，例3需要对问题进行转化，对基本数学思想方法进行了考查，具有一定的综合性，体现了基础问题考查的层次性.2022年高考平面解析几何相关试题对“四基”的考查同样体现在解答题中.例4（全国新高考卷21）已知点 A()2，1 在双曲线C：x2a2-y2a2-1=1()a 1 上，直线 l 交C 于 P

13、，Q两点，直线 AP，AQ 的斜率之和为0.（1）求 l 的斜率；（2）若 tan PAQ=2 2，求PAQ 的面积.答案：（1）-1；（2）16 29.【评析】此题以直线与圆锥曲线为问题情境，第（1）小题依据 AP，AQ 的斜率互为相反数，求直线 l 的斜率.按照一般方法，分别设出直线 AP，AQ 的方程y-1=k()x-2 和 y-1=-k()x-2，借助根与系数的关系求出 P，Q 两点的坐标，依据斜率的坐标公式即可求出直线 l 的斜率.尽管是解答题，上述解题思路和相关运算仍然非常常规，考查的是解析几何中的基础知识和基本方法.第（2）小题中，通过对 PAQ 的分析，利用 PAQ=-2 或

14、PAQ=2（不妨设直线 AP 的倾斜角为锐角），将已知角度的正切值转化为关于tan 的等式，即关于直线 AP 斜率的方程，求出直线 AP的斜率.之后，求出 P，Q 两点的坐标.接下来的求面积就是基本运算.一方面，这样的问题是基本问题，是高考考查的命题研究命题研究 49下半月（高中版）2022年第10期（总第272期）重点；另一方面，学生是否在解题过程中做到了“懂、会、对、快、好”，这些都是考查学生对解析几何基本功的掌握，以及对通性、通法的理解并恰当应用的一个标准，也是高三课堂教学和学生对自己的学习情况自检的一个角度.例5（北京卷19）已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1()a b 0的一个顶点

15、为 A()0，1，焦距为 2 3.（1）求椭圆 E 的方程；（2）过点 P()-2，1 作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与 x 轴交于点 M，N.当|MN=2 时，求 k 的值.答案：（1）x24+y2=1；（2）-4.【评析】此题主要考查椭圆的标准方程、几何性质，以及直线与椭圆的关系.尽管试题中涉及三条直线与椭圆的关系，但是试题结构清晰、条件简洁、问题直接，学生容易找到解决问题的一般思路，解题方法属于通性、通法，考查的是学生解析几何学习的基本功.第（2）小题的解决需要制定合理的解题策略，以解决此题具有一定计算量的难点.如果按常规思路设过点 P()

16、-2，1 的直线为 y-1=k()x+2，后面的计算比较烦琐，需要学生具有较强的计算能力.如果能够将试题的条件和结论联系起来思考，可以设过点 P()-2，1的直线为 y=kx+m（k，m 满足条件 m-2k=1），带着两个参数 k，m 运算，在相关运算的合适时机利用关系 m-2k=1 消掉一个参数，则可以在一定程度上简化运算.此外，如果从设参数的角度再大胆一点，在参数设置时，选择设 M()x1，0，N()x2，0，求出 B，C 两点的坐标，利用 P，B，C 三点共线得到 x1，x2 之间的关系，再利用|x1-x2=2 继续求解，也可以达到简化运算的目的.例4和例5这两道解答题既是近几年高考中常

17、见的试题，也是非常典型的试题.两道试题均是求值问题，强调基本方法，以及基本方法在解题中的灵活应用和准确计算.要注意，圆、椭圆、双曲线、抛物线均可以是解答题的考查素材，选取什么曲线及曲线组合设置主观性试题，取决于对试卷设计的整体构思，没有哪种曲线类型在主观性试题中更重要.（2）把握运算本质，强调真懂、会用.在解析几何综合问题的解决过程中，几何直观和数学运算两大核心素养有着非常充分的体现.具体表现在对问题情境从几何角度进行合理分析转化方面，也体现在从代数角度进行恰当的运算求解方面.在这个过程中，要求学生解题思路清晰，在对几何条件和问题进行有效的转化与化归后，利用坐标法解决问题，体现了用代数方法研究

18、几何问题的解析几何的本质.解析几何问题的解决一般是在几何分析的基础上通过运算达成的，而学生在运算方面的表现具有很大的差异.在一些关于计算的通性、通法中，很多常规算法是目标指向的，是高效的.但是常规算法在长期的使用过程中，会慢慢隐去理解的过程，使学生只记住了方法、公式的表象，在具体问题面前难以灵活应用.因此，教师在教学中应该关注这种现象，强调明确运算对象，理解“算”的本质，领悟“算”中推理的属性，并引导学生对一些具有思维惯性的计算方法做到真懂、会用.例6（全国新高考卷11）已知 O 为坐标原点，点 A()1，1 在抛物线C：x2=2py()p 0 上，过点 B()0，-1的直线交 C 于 P，Q

19、 两点，则（）.（A）C 的准线为 y=-1（B）直线 AB 与 C 相切（C）|OP|OQ|OA2（D）|BP|BQ|BA2答案：BCD.【评析】此题主要考查抛物线的定义、标准方程、简单几何性质，以及直线与抛物线的关系等知识，综合考查坐标法及数形结合的思想方法.要求学生能够依据问题情境，灵活运用代数方法和几何分析综合研究选项中提出的问题.此题涉及的图形比较复杂，需要研究多个问题，但考查的内容仍然是抛物线的性质、直线与抛物线的关系、长度这一几何度量在解析几何中的处理方法等常规问题，学生只要抓住解决此类问题的基本方法，还是容易解决的.当然，计算要花费一定时间.选项C和选项D正确性的判断方法具有一

20、定关联性.如果依据已有学习经验，知道由“P，Q为过点 B()0，-1 的直线与抛物线 C：x2=2py()p 0相交的两点”可以得到“P，Q 两点横坐标的乘积为定值”，这对两个选项的判断是有帮助的.据此，设P()x1，x21，Q()x2，x22，之后进行常规的代数运算，计算|OP|OQ，|BP|BQ 即可得出判断.命题研究命题研究 50下半月（高中版）2022年第10期（总第272期）当然，在处理长度问题的时候，是选择直接运用两点间的距离公式，还是设 P()x1，y1，Q()x2，y2 后用弦长公式进行计算，或者运用向量方法计算|BP|BQ=BP BQ（注意到 B，P，Q 三点共线），能反映出

21、学生思维的灵活性.这需要学生综合分析问题情境，运用已有的知识储备，合理选择问题解决途径，并结合代数相关知识解决问题.这种知识灵活运用的背后是学生对相关知识方法的“真懂”.这样的设问也体现了高考对几何直观、数学运算和逻辑推理等素养的考查力度.例6和前面基础性问题的解答，都需要很好的数学运算素养做支撑.标准指出，数学运算素养包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.2022年高考平面解析几何试题对学生数学运算素养的考查有层次、有高度.从学科核心素养的角度来看，数学运算素养有不同的水平划分.从数学思维的角度来看，数学运算强调熟练性、合理性和简捷性.运算

22、的熟练性是对学生思维敏捷性的考查，指在运算之前能对运算结构进行快速分析，得出最佳运算方案，并迅速实施运算.运算的合理性是运算能力的核心，一个较复杂的运算往往是由多个简单的运算组合而成.如何确定运算目标，怎样将各部分运算有机联系在一起，都是运算合理性的主要标志.运算的合理性还表现在运算途径的选择上，合理选择运算途径不仅是便捷运算的需要，也是运算准确性的保证.运算的简捷性主要体现在运算过程中对概念的灵活应用、公式的恰当选择和数学思想方法的合理使用等方面.因此，“算”并不简单，在运算的考查中包含了对数学运算策略的考查，以及对灵活性、敏捷性和深刻性等思维品质的考查.核心还是在考查学生是否对相应知识做到

23、了真懂、会用.（3）突出能力，考查核心素养.例7（全国新高考卷10）已知 O 为坐标原点，过抛物线 C：y2=2px()p 0 的焦点 F 的直线与 C交于 A，B 两点，其中点 A 在第一象限，点 M()p，0.若|AF=|AM，则（）.（A）直线 AB 的斜率为 2 6（B）|OB=|OF（C）|AB 4|OF（D）OAM+OBM 0，b 0 的离心率为e，写出满足条件“直线 y=2x 与 C 无公共点”的e的一个值.答案：2.（答案不唯一，满足1 0，b 0 的右焦点为 F()2，0，渐近线方程为y=3 x.（1）求 C 的方程；（2）过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B两

24、点，点P()x1，y1，Q()x2，y2 在C上，且 x1 x2 0，y1 0.过点 P 且斜率为-3 的直线与过点 Q 且斜率为3 的直线交于点 M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.点 M 在 AB 上；PQ AB；|MA=|MB.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.答案：（1）x2-y23=1；（2）略.【评析】第（1）小题考查双曲线标准方程和渐近线方程的相关知识，要求学生概念清晰，属于比较简单的问题，强调对基础知识的考查，也体现了高考试题起点低、入口宽的特点.第（2）小题将直线与双曲线关系的问题设计成结构不良问题，不同的选择将面对不同的目标问题.选择作为结论，将

25、面对共线问题；选择作为结论，将面对直线平行关系的证明问题；选择作为结论，将面对长度关系问题.学生可以根据自己的分析和判断，选择更适合发挥自己水平的问题作答，给学生选择空间，也使得试题具有一定的开放性.明确自己选择的问题后，无论是共线问题、直线平行关系证明问题，还是长度关系中的中点问题，都变成了学生相对熟悉的情境，与多年稳定考查的平面解析几何综合问题的解题策略类似.多选题、开放性问题和结构不良问题的出现是素养导向的命题思路的体现，在今后的高考中将会不断进行实践.（4）关注层次，合理设置难度.2022年高考数学试卷结构稳定、重点明确，在重视对“四基”考查的同时，注重挖掘平面解析几何的深刻背景和丰富

26、内涵，在试题呈现方式、设问方式等方面有所创新.在试题设计上重视思维的层次性和解决问题方法的多样性，给学生提供了多种分析问题和解决命题研究命题研究 52下半月（高中版）2022年第10期（总第272期）问题的途径，体现了试题难度设置的层次性和合理性.2.命题导向分析根据 标准 对平面解析几何的教学要求，高考数学试卷在题型、题量、分值等方面将会保持相对稳定.在对“四基”、数学思维和数学核心素养的考查上将会坚持进行探索和尝试.同时，也会坚持素养导向的高考命题研究，发挥各种题型的组合功能，如多选题、开放性问题、结构不良问题等.在难度的控制上，试题将着力体现对基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，会

27、更好地体现“低起点、宽入口、多层次、高落差”的难度调控策略.三、复习教学建议1.依据课程标准，关注过程，夯实“四基”自普通高中数学课程标准（2017年版）颁布以来，高考命题的唯一依据就是课程标准.因此，教学也必须以课程标准为依据，用好教材，对基础知识的教学做到精、准、全，不能仅凭借以往经验进行简单重复训练，实施题海战术.标准指出，通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.在教学中，教师要注重基础知识的落实，重视从整体上把握高中数学知识体系，让学生从多角度体验和感受数学概念的来龙去脉，重视知识的形成过程，重视公式和一些结论的含义

28、.例如，弦长公式实质上是直线上两点间的距离公式，其本质是将弦长问题转化成水平方向或垂直方向的长度问题，使计算简化.同时，应该注重数学知识的内在逻辑，从数学知识的发生、发展过程和学生的认知规律出发构建研究问题的思路.例如，要充分认识向量作为沟通代数和几何的桥梁，以及在解决长度、角度、共线等问题中的重要作用.2.加强数学运算，重视策略，强调理解在新高考的考查方式中，虽然新题型、新情境和新设问增多，但学科本质规律是不变的.教师的教学和学生的复习应该坚定不移地遵循这些本质规律，强调所学知识的真懂、会用，强调理解，强化数学核心素养的培养.在平面解析几何问题的解决过程中，常涉及解方程或方程组，以及代数式的

29、恒等变形等.在运算过程中，应该强调对数和式合理的变形、整理，以及对运算策略的选择.在运算的过程中，要强调学生对“算”的理解；在问题的讲解中，要讲出对概念、公式、规律的理解，讲出知识之间的联系.记忆有记忆的规律，理解有理解的方法.教学中，不要仅满足讲正确的，更要给学生提供典型的素材，让学生在运算操作的过程中体会运算、理解运算，提升数学运算素养.对于课堂上的争论、交流，教师也要给予学生充足的时间进行审题、分析问题、思维碰撞等活动，这对于学生领悟所学知识，以及提高从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力是非常必要的.3.揭示数学思想，聚焦能力，培养素养数形结合和函数与方程思想在解析几何问题的

30、解决过程中起着非常重要的作用.学生比较明确数形结合的思路，但对于方程思想往往理解不深，需要教师在教学中予以揭示.方程思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数列方程或方程组、解方程或方程组等步骤达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础.对于方程思想的考查，是从“设列解”三个阶段同时体现的，并且三个阶段相互关联.“设”的阶段，关注的是如何设未知量，包括设直接未知量、间接未知量和辅助未知量.未知量（有时表现为参数）的合理选择，以及如何认识诸多未知量的“身份”常与运算策略的选择和如何消元求解密切相关.“列”的阶段，主要涉及对几何条件的深入分析和合

31、理使用.例如，长度和角度是直接使用还是转化使用.如何转化使用往往是简化问题的关键.“解”的过程需要运算能力做支撑.一般来讲，在“设列解”三个阶段中，后一阶段的难度往往来自前一阶段的处理不当.对此，教师需要指导学生领会其中的规律.4.倡导自我调控，学会学习，学会自检在复习教学过程中，需要师生共同建立章节知识体系和问题体系.在这个过程中，学生可能做得不够完美，但要尽量让学生自己来做.否则，教师给的完美的体系框架、方法等对学生来讲很可能是增加了一些不懂且需要记忆的东西.可以尝试提示学生从以下三个角度管理自己的学习，进行自检：（1）知识掌握是否全面、真懂.（2）常见问题的解决方法是否真懂、会用.例如，

32、对于求值问题，定点、定值问题，最值和范围的问题等，是否命题研究命题研究 53下半月（高中版）2022年第10期（总第272期）有一般的解决问题策略，以及相应的注意事项.（3）难点问题的解决要有策略.例如，能否利用分类与整合、转化与化归等思想方法分析问题，能否用特殊与一般、极端原理等思维方法思考问题.数学教育承载着落实立德树人的根本任务，“学会、会学、乐学”是我们希望学生达到的学习状态.在教学过程中，教师应该指导学生如何学习、如何进行学习的自我调控，激发学生学习的主观能动性，促使其养成良好的学习习惯.四、典型模拟题1.已知点 A 为圆 C：()x-m2+()y-m-12=2 上一点，点 B()3

33、，0，当m变化时，线段 AB 长度的最小值为（）.（A）1（B）2（C）2（D）2 2答案：C.2.设 F1，F2 分别是双曲线 C：x2m+n-y2m-n=1的左、右焦点，且|F1F2=4，则下列结论正确的有（）.（A）m=2（B）当 n=0 时，C 的离心率是2（C）当 n=1时，C 的实轴长是虚轴长的 3 倍（D）F1 到渐近线的距离随着 n 的增大而减小答案：ABD.3.已知抛物线 C：y2=2px()p 0 的焦点为 F，直线 l 过 F 与抛物线 C 交于 A，B 两点，且 A，B 两点在抛物线 C 的准线上的射影分别为点 M 和点 N，若AFM的面积与 BFN 的面积互为倒数，则

34、 MFN 的面积为.答案：2.4.已知双曲线 x2a2-y2b2=1()a 0，b 0 的左、右顶点分别是 A，B，右焦点为 F，点 P 在过 F 且垂直于 x 轴的直线 l 上.当 ABP 的外接圆面积最小时，点 P 恰好在双曲线上，则该双曲线的离心率为.答案：2.5.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a b 0 的离心率为32，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为 4 5.（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 y=kx+m()km 0 与椭圆 C 交于 A，B两点，与 y 轴交于点 P，线段 AB 的垂直平分线与 AB 交于点 M，与 y 轴交于点 N，O 为坐标原点.如果 MOP=2

35、MNP 成立，求 k 的值.答案：（1）x24+y2=1；（2）k=22.6.已知 F1，F2 为双曲线 C：x2-y2b2=1()b 0 的左、右焦点，过点 F2 作垂直于 x 轴的垂线，在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M，且 MF1F2=30.（1）求双曲线 C 的方程；（2）过点 F2 的直线 l 和双曲线 C 的右支交于 A，B两点，求AF1B 面积的最小值；（3）过双曲线 C 上任意一点 Q 分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于 Q1，Q2两点，求平行四边形 OQ1QQ2 的面积.答案：（1）x2-y22=1；（2）4 3；（3）22.参考文献：1 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2 教育部考试中心制定.中国高考评价体系M.北京：人民教育出版社，2019.3 教育部考试中心.高考数学测量理论与实践M.北京：高等教育出版社，2006.4 任子朝，赵轩，翟嘉祺，等.新高考多选题考查功 能 实 证 研 究J.中 学 数 学 教 学 参 考（上旬），2022（1）：4-7.5 任子朝.从能力立意到素养导向J.中学数学教学参考（上旬），2018（5）：5.命题研究命题研究 54