【机构秘籍】小学奥数题库《数论》整除-整除的基本概念-2星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、数论-整除-整除的基本概念-2星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率整除的基本概念A1、了解整除的定义。2、会判定一个数能不能被另一个数整除。少考知识提要整除的基本概念 定义如果整数 a 除以整数 b（b 0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，也可以说b 能整除 a ，记作 ba 注意：如果除得的结果有余数，我们就说 a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除a 整除的性质性质1：如果 a、b 都能被c 整除，那么它们的和与差也能被c 整除。性质2：如果b 与c 的积能整除a ，那么b与c都能整除a 。性质3：如果b 、c 都能整除a ，且b 和c 互质，那么b 与c 的

2、积能整除a 。性质4：如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a 。精选例题整除的基本概念 1. 若六位数 201ab7 能被 11 和 13 整除，则两位数 ab= 【答案】48【分析】由 11 的整除特征可知：(7+a+0)-(2+1+b)=a+4-b=0或11,若a+4-b=11,a-b=7,只有8-1=9-2=7,六位数 201817、201927 都不能被 13 整除若a+4-b=0,则a+4=b,只有 0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9 等情况，构成的六位数 201047，201157，201267，201377，201487，2015

3、97 中只有 201487 能被 13 整除，则 ab=48 2. 再过 12 天就到 2016 年了，昊昊感慨地说：我到目前只经过 2 个闰年，并且我出生的年份是 9 的倍数，那么 2016 年昊昊是 岁【答案】9【分析】根据题意“我到目前只经过 2 个闰年”可得我的出生年份在 20052008, 这之间只有 2007 是 9 的倍数，则昊昊是 2007 年出生，则 2016 年昊昊是 2016-2007=9岁. 3. 在 3 和 5 之间插入 6、30、20 这三个数，得到 3、6、30、20、5 这样一串数其中每相邻两个数的和可以整除它们的积（例如，3+6=9，9 可以整除 36；再如，

4、6+30=36，36 可以整除 630）请你在 4 与 3 这两数之间的三个空中各填入一个非零的整数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积4、 、 、 、3【答案】4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3【分析】设 4,a,b,c,3 成立，则 4a4+a=n,3c3+c=m（m、n）是非零整数由倒数的意义可知： 4+a4a=1n，则 44a+a4a=1n，1a+14=1n，1a=1n-141n14，则 n=3,n=2当 n=3，1a=13-14=112,a=12；当 n=2，1a=12-14=14,a=4 3+c3c=1m，则 33c+c3c=1m，1c+13=

5、1m，1c=1m-131m13，则 m=2，当 m=2 时，1c=12-13=16，c=6 设 cbc+b=k，则 c+bcb=1k，可得 1c+1b=1k，1b=1k-16，k 可取（2、3、4、5）当 k=2 时，1b=12-16=13，b=3；k=3 时，1b=13-16=16，b=6；k=4 时，1b=14-16=112，b=12；k=5 时，1b=15-16=130，b=30经检验有下面的三组解：4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3 4. 给定一个除数（不为 0）与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足被除数=除数商+余数其中，0余数除数这就是带余数的

6、除法当余数为 0 时，也称除数整除被除数，或者称除数是被除数的因数（被除数是除数的倍数）。不超过 988000 并且能够被 49 整除的大于 1 的自然数共有 个【答案】20163【分析】98800049=2016313所以，满足要求的数分别是 49 的 120163 倍，共 20163 个 5. 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如 2011 年 1 月 1 日显示为 20110101如果 2011 年最后一个能被 101 整除的日子是 2011ABCD，那么 2011ABCD 是多少？【答案】20111221【分析】试除法得出答案：20111231101=19912110，31-10=2

7、1，所以 ABCD=1221 6. 在 1、2、3、42007 这 2007 个数中有多少个自然数 a 能使 2008+a 能被 2007-a 整除【答案】7【分析】要使得 2008+a 能被 2007-a 整除，我们可以将条件等价的转化为只要让 2008+a2007-a 是一个整数即可下面是一个比较难的技巧，我们知道若 a 可以使得 2008+a2007-a 是一个整数，那么 a 也同样可以使得 2008+a2007-a+1=2008+a+2007-a2007-a=40152007-a 是一个整数，这样只要 2007-a 是 4015 的约数即可，将 4015 分解可知其共有 8 个因数，其

8、中 4015 是最大的一个，但是显然没有可以让 2007-a 等于 4015 的 a 的值，其余的 7 个均可以有对应的 a 的值，所以满足条件的 a 的取值共有 7 个 7. 若 4b+2c+d=32，试问 abcd 能否被 8 整除？请说明理由【答案】见解析【分析】由能被 8 整除的特征知，只要后三位数能被 8 整除即可bcd=100b+10c+d，有 bcd-(4b+2c+d)=96b+8c=8(12b+c) 能被 8 整除，而 4b+2c+d=32 也能被 8 整除，所以 abcd 能被 8 整除 8. 1 至 9 这 9 个数字，按图所示的次序排成一个圆圈请你在某两个数字之间剪开，分

9、别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在 1 和 7 之间剪开，得到两个数是 193426857 和 758624391）如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？【答案】27，8，12，48，35，9【分析】互为反序的两个九位数的差，一定能被 99 整除而 396=994，所以我们只用考察它能否能被 4 整除于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被 4 整除，显然只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能注意图中的具体数字，有（3，4）处、（8，5）处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足进

10、一步验证，有（9，3）处剪开的末两位数字之差为 43-19=24，（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（7，1），（1，9）处剪开的末两位数字之差为 62-3=2886-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32所以从（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是 396 的倍数（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）处左右两个数的乘积为 27，8，12，48，35，9 9. 六位数 2008 能被 99 整除， 是多少？【答案】71【分析】方法一

11、：200008 被 99 除商 2020 余 28，所以 00+28 能被 99 整除，商 72 时，9972=7128，末两位是 28，所以 为 71；方法二：99=911，2008 能被 99 整除，所以各位数字之和为 9 的倍数，所以方框中数字的和只能为 8 或 17；又根据数被 11 整除的性质，方框中两数字的差为 6 或 5，可得 是 7110. 请找出符合下列性质的四位数：（1）它是一个平方数；（2）开始两位的数字要相同；（3）最末两位的数字要相同【答案】7744【分析】设四位数为 aabb因 aabb=1000a+100a+10b+b=11a0b，要 aabb 是完全平方数，则

12、a0b能被质数11 整除，故 a+b=11，a0b 只能是 902，803，704，605，506，407，308，209由于 a0b 被 11 除的商必须是完全平方数，只有 704 符合此时 a=7，b=4，故所求的数为 774411. 在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字 0，得到一个三位数（例如 21 变成了 201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除请问：所有满足条件的两位数之和是多少？【答案】528【分析】设满足条件的两位数为 ab，则按题意插入一个数字 0 后的三位数是 a0b依题意有 aba0b，按位置原理展开得10a+b100a+b,整理得10a+b90a+(10

13、a+b),推出10a+b90a;或者整理得10a+b10(10a+b)-9b,推出10a+b9b.因为 9b 比 90a 相对较小，所以考虑 10a+b9b，但发现也不好分析，所以变为 ab9b若 b 取 0 时，ab 取 10，20，90 均可；若 b 取 1 时，ab 没有符合的情况；依次讨论得到 ab 可以为 10，20，30，90，15，45，18，和为 52812. （1）不算出结果，判断数 (524+42-429) 是偶数还是奇数？（2）数 (42+30-147) 能被 2 整除，那么， 里可填什么数？（3）下面的连乘积是偶数还是奇数？1357911131415.【答案】（1）奇数

14、；（2）1,3,5,7,9；（3）偶数【分析】根据奇偶数的运算性质：（1）因为 524，42 是偶数，所以 (524+42) 是偶数又因为 429 是奇数，所以 (524+42-429) 是奇数（2）数 (42+30-147) 能被 2 整除，则它一定是偶数因为 147 是奇数，所以数 (42+30) 必是奇数又因为其中的 30 是偶数，所以，数 42 必为奇数于是， 里只能填奇数 1，3，5，7，9（3）1，3，5，7，9，11，13，15 都是奇数，由 13 为奇数，推知 135 为奇数 推知 13579111315 为奇数因为 14 为偶数，所以 (13579111315)14 为偶数，即 1357911131415 为偶数13. 一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数再将新的 4 位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的 4 位数与最原先的 4 位数的和是以下 5 个数的一个： 9865； 9867； 9462； 9696； 9869这两个 4 位数的和到底是多少？【答案】9696【分析】设这个 4 位数是 abcd，则最新的 4 位数是 cdab两个数的和为abcd+cdab=1010a+101b+1010c+101d,是 101 的倍数在所给的 5 个数中只有 9696 是 101 的倍数，故正确的答案为 9696