【突破压轴冲刺名校】 压轴专题10 解析几何综合问题小题综合 2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破（新高考通用）解析版.docx

1、 压轴专题10 解析几何综合问题小题综合 一、单选题1（2023秋广东深圳高三统考期末）已知交于点的直线，相互垂直，且均与椭圆相切，若为的上顶点，则的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】根据题意，设，由条件联立直线与椭圆方程，得到点的轨迹是圆，从而得到结果.【详解】当椭圆的切线斜率存在时，设，且过与椭圆相切的直线方程为：，联立直线与椭圆方程，消去可得，所以，即，设为方程的两个根，由两切线相互垂直，所以，所以，即，所以，当椭圆的切线斜率不存在时，此时，也满足上式，所以，其轨迹是以为圆心，为半径的圆，又因为A为椭圆上顶点，所以，当点位于圆的上顶点时，当点位于圆的下顶点时，所以，故选:D2（20

2、23广东揭阳校考模拟预测）椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则ABCD【答案】B【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出、关于的等式，从而可得出、的关系式.【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，焦距为，在中，由余弦定理得，由椭圆和双曲线的定义得，解得.代入，得，即，即，因此，.故选B.【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3（2023湖北统考模拟预测）已知，分别是双曲线的

3、左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，平分，则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】A【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.【详解】因为，所以，设，则，设，则，因为平分，由角平分线定理可知，所以，所以，由双曲线定义知，即，又由得，所以，即是等边三角形，所以在中，由余弦定理知，即，化简得，把代入上式得，所以离心率为故选：A4（2023广东统考一模）已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】根据两点间距离公式，结合一元二

4、次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】设，由，代入不等式中，化简，得恒成立，则有，解得，而，所以故选：A【点睛】方法点睛：一般求双曲线的离心率的方法是：根据已知的等式或不等式，构造关于中任意两个量的双齐次方程或不等式，再结合双曲线的离心率大于1进行求解即可.5（2023秋浙江杭州高三期末）已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的方程为（）ABCD【答案】C【分析】设的中点为M，根据求出r，进而得到M点横坐标；再设直线，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k【详解】设的中点为M，轴于点N，过A，B作准线的垂线，

5、垂足分别为，如下图：由抛物线的定义知，故，所以，即，解得或（舍去），故M的横坐标为，设直线，将代入，得，则，解得，故直线l的方程为故选：C【点睛】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系6（2023春浙江温州高三统考开学考试）直线l与双曲线的左，右两支分别交于点A，B，与双曲线的两条渐近线分别交于点C，D（A，C，D，B从左到右依次排列），若，且，成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，再应用，成等差数列，列式求解即可【详解】设直线，联立，可得，则联立，可得，则因为，所以，所

6、以因为，所以，所以，即得因为，所以中点为的中点，所以,因为成等差数列，所以，又因为A，C，D，B从左到右依次排列，所以,所以，代入有，因为且，又因为，则所以，所以，即综上， 故选：D.7（2023浙江金华浙江金华第一中学校考模拟预测）如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（）A2BC3D4【答案】D【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为，根据椭圆离心率得到，故椭圆方程为，联立求出点坐标，从而由对称性得到点坐标，表达出，将点代入双曲线方程，结合得到，得

7、到双曲线方程，联立，得到两根之和，两根之积，表达出，从而求出，得到乘积.【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，则，由可得，因为，所以，故椭圆方程为，联立可得：，则，由对称性可知A、C两点关于原点对称，A、B两点关于轴对称，则，所以，故，直线，代入中得，又，结合得到或，因为，显然，故，所以，故双曲线方程为，联立与得：，设，则，解得：，故，所以，所以，其中，故.故选：D【点睛】椭圆和双曲线共焦点时，焦距成为联系两个曲线的桥梁，要根据题目条件列出方程，寻找到椭圆中长半轴，短半轴，和双曲线中实半轴，虚半轴的关系，再求解离心率或其他相关问题，共焦点的椭圆和双曲线的重要结论：具有公共焦点的椭圆和双曲线离心率

8、分别为，为它们的一个交点，且，则；若点是椭圆与双曲线的一个公共点，且它们在处的切线互相垂直，则椭圆与双曲线有公共焦点.8（2023春浙江宁波高三校联考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】B【分析】设，设圆与轴相切于点，结合圆的切线长的性质证明，结合椭圆性质可得，由内切圆性质可得，由条件确定关系，由此可求离心率.【详解】设，设圆与轴相切于点，则，又，所以，所以，即，过点作直线的垂线，垂足为，则，所以，所以，所以，由三角形面积相等，得，所以，即得.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要

9、的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)9（2023广东汕头金山中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和，结合运算求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为，则直线

10、，联立方程，消去y得：，则可得，则，设线段的中点，则，即，且，线段的中垂线的斜率为，则线段的中垂线所在直线方程为，令，则，解得，即，则，由题意可得：，即，整理得，则，注意到双曲线的离心率，双曲线的离心率取值范围是.故选：A.【点睛】方法定睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值（或范围）二、多选题10（2023秋广东广州高三广州市培英中学校考期末）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A若直线OA，OB的斜率之积为，则直线过定点B若直线O

11、A，OB的斜率之积为，则面积的最大值是C若，则的最大值是D若，则当取得最大值时，【答案】AC【分析】设直线：，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，然后由斜率之积求得值，得定点坐标判断A，由选项A的推导得的面积，由面积的表达式得最小值，判断B，在中，由余弦定理得，代入后应用基本不等式得最值，判断C，由选项C的推导得可设直线：然后求得判断D【详解】设直线：，联立整理得，则，.因为直线OA，OB的斜率之积为-2，所以.因为，所以，所以，解得，即直线过定点，故A正确.由A选项可知，当且仅当时，等号成立，则面积的最小值是，故B错误.在中，由余弦定理可得.因为，所以，则.因为，所以，当且仅当时，等号成

12、立，故C正确.由C选项可知直线的斜率不存在，设直线：，则直线与轴的交点为，从而，.因为，所以，所以，即，整理得，解得或.当时，；当时，.综上，或，则D错误.故选：AC【点睛】方法点睛：直线与抛物线相交的定点问题，一般设交点为，设直线方程为（对焦点在轴上的抛物线），代入抛物线方程后应用韦达定理得，再把此结果代入题设中其它条件可参数关系或参数值从而得直线所过定点坐标11（2023春广东高三统考开学考试）已知，为圆上的一个动点，则下列结论正确的是（）A以为直径的圆与圆相交所得的公共弦所在直线方程为B若点，则的面积为C过点且与圆相切的圆的圆心轨迹为圆D的最小值为【答案】AB【分析】根据题意求出圆的一般

13、方程，与圆的一般式方程相减即可判断A；根据点到直线的距离公式三角形的面积公式计算即可判断B；作出图形，结合图形和椭圆的定义即可判断C；根据两点求距离公式得，而表示圆上动点到定点的距离的平方，结合点与圆的位置关系即可判断D.【详解】A:由，则其中点为，所以，则圆的标准方程为，化为一般式方程为，又圆的一般式方程为，而，-得为两圆相交弦所在的直线方程故A正确；B：由直线的方程为，则点到直线的距离，故B正确；C:由图可知，设过点且与圆内切的圆的圆心为，且切点为，则满足椭圆定义，故圆心的轨迹为椭圆故C错误；D：设，则可转化为圆上动点到定点的距离的平方，所以的最小值为，故故D错误.故选：AB.12（202

14、3广东深圳深圳中学校联考模拟预测）已知，是椭圆上两个不同点，且满足，则下列说法正确的是（）A的最大值为B的最小值为C的最大值为D的最小值为【答案】AD【分析】设，设，可得，,可得两点均在圆的圆上，且，根据点到直线的距离公式及圆的性质可得及的最值，可得答案.【详解】由，可得，又，是椭圆上两个不同点,可得，设，则，设,O为坐标原点，可得，,可得，且，所以，又，可得两点均在圆的圆上，且，设的中点为，则,根据点到直线的距离公式可知：为点两点到直线的距离之和，设到直线的距离，由题可知圆心到直线的距离为，则，可得的最大值为，的最小值为；可得，可得的最大值为，最小值为，故A正确，B错误；同理，为点两点到直线

15、的距离之和，设到直线的距离，由题可知圆心到直线的距离为，则，可得，可得的最大值为，最小值为，故C错误，D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：本题的关键是把问题转化为圆上点到直线的距离问题，结合到直线的距离公式及圆的性质即得.13（2023春河北邢台高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知点，圆C：，点P是圆C上的一点，则下列说法正确的是（）A若，则B的最小值为C设线段PA的中点为Q，则点Q到直线的距离的取值范围是D过直线上一点T引圆C的两条切线，切点分别为M，N，则的取值范围是【答案】AD【分析】由圆的方程，设圆上一点，判断A，B，C的正误，数形结合，得，判断D的正误.【详解】设，对于A，故A正确

16、；对于B，所以，所以当，即P点为时，故B错误；对于C，所以点Q到直线的距离，故C错误；对于D，如图所示，又CMTM，CNTN，所以，所以，所以，所以，故D正确 故选：AD14（2023河北邢台校联考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，为的上顶点，是上两点若，构成以为公差的等差数列，则（）A的最大值是B当时，C当，在轴的同侧时，的最大值为D当，在轴的异侧时（，与不重合），【答案】ABC【分析】由题可得，根据椭圆的焦半径的取值范围可判断A，根据结合椭圆方程可求坐标，然后根据余弦定理可判断B，根据椭圆的性质结合基本不等式及斜率公式可判断CD.【详解】因为椭圆，所以，又，构成以为公差的等差数列，则，不妨设，

17、由题可知，则的最大值是，故A正确；当时，设，则，解得，不妨取，设，则，解得，所以或，当时，又，此时；当时，所以，综上，当时，故B正确；设椭圆的右焦点为，则，当，在轴的同侧时，则，关于轴对称，设，则，所以，由，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故C正确；当，在轴的异侧时（，与不重合），则，关于原点对称，设，则，由，可得，所以，故D错误.故选：ABC.15（2023福建漳州统考二模）已知是双曲线的左、右焦点，且到的一条渐近线的距离为，为坐标原点，点，为右支上的一点，则（）AB过点M且斜率为1的直线与C有两个不同的交点CD当四点共圆时，【答案】ACD【分析】选项A利用双曲线的定义及性质判断即可

18、，选项B利用直线与双曲线方程联立判断即可，选项C利用双曲线的定义及中线长的公式即可解决，选项D利用圆与双曲线的关系及性质即可.【详解】设双曲线的半焦距为，一条渐近线为：因为到的一条渐近线的距离为，即，所以，又，所以，故A正确，对于B，双曲线的渐近线的斜率为1，所以过点M且斜率为1的直线为，联立，消去得：，只有一个交点，故B错误，对于C，由双曲线的定义知，所以，因为为的中点，为右支上的一点，所以，所以，在中，由余弦定理得：，则有即，故C正确；对于D，当四点共圆时，所在的圆方程为，联立得，因为，所以，当点的坐标为时，又，所以，当点的坐标为时，又，所以，故D正确，故选：ACD.16（2023山东济宁

19、统考一模）已知，是椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，分别是与的离心率，且是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（）A BC的最大值为D的最大值为【答案】BD【分析】根据共焦点得到，A错误，计算，得到，B正确，设，代入计算得到C错误，D正确，得到答案.【详解】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故，错误；对选项B：，即，故，故，即，即，正确；对选项C：设，若最大值为，则，即，不成立，错误；对选项D：设，若最大值为，则，即，成立，正确；故选：BD【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的离心率相关问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三角换元求最值可以简化运算，是解题的关

20、键.17（2023山东济南一模）在平面直角坐标系中，由直线上任一点P向椭圆作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（）A恒为锐角B当垂直于x轴时，直线的斜率为C的最小值为4D存在点P，使得【答案】ABD【分析】对于A项，利用椭圆的切点弦方程可得过椭圆左焦点，再判定以为直径的圆与直线的位置关系即可；对于B项，当垂直于x轴时，可直接解得切线方程判定即可；对于C项，特殊值法判定即可；对于D项，取中点，易知，建立方程计算即可.【详解】对于A项，设切线方程为联立得：， 直线与椭圆相切，故则，切线PA的方程为，同理切线PB的方程为而P点在上，故，又满足该方程组，故， 显然过定点即椭圆左焦点.以为直径

21、的圆半径最大无限接近，但该圆与一直相离，即始终为锐角，A正确；对于B项，由A得，轴时，易得，故B正确；对于C项，由B知轴时，此时，故C错误；对于D项，取中点，若则，即为等腰三角形，化简得，由A知：，整理得：，显然存在P满足题意，故D正确；故选：ABD【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，属于压轴题.对于小题，提高效率可以用特殊值法，极端位置猜测，这里也需要积累一些比较常用的二级结论：（1）过椭圆上一点的切线方程，（2）椭圆外一点引两条切线，切点连线方程为；（3）椭圆的准线方程：，过准线引椭圆的两条切线，切点连线过对应焦点.18（2023春山东淄博高三山东省淄博实验中学校联考阶段练习）已知曲线C：

22、，为C上一点，则（）A的取值范围为B的取值范围为C不存在点，使得D的取值范围为【答案】BCD【分析】由题可得到曲线的不同方程，作出曲线的图形，结合所得方程可判断A，根据的几何意义结合条件可判断B，根据双曲线的性质可判断C，根据椭圆方程及点到直线距离公式结合条件可判断D.【详解】由题设得：曲线为，可得曲线图形，A：由曲线方程及图形可知，故A错误；B：因为，由图可知当在时，才能最小，时等号成立，故B正确；C：因为直线与渐近线平行，由图可知与曲线没有公共点，即不存在点，使得，故C正确；D：因为表示点到直线距离的倍，又直线与渐近线平行且距离为1，故，由图可知当在时，到直线距离有最大值，设，则到直线距离

23、为，当时等号成立，即，所以的取值范围为，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：首先讨论的符号得到曲线为，再由各曲线的性质，结合图形逐项分析即得.19（2023秋浙江湖州高三安吉县高级中学校考期末）若椭圆和椭圆的方程分别为和，则称椭圆和椭圆为相似椭圆.已知椭圆和椭圆是相似椭圆，下列说法正确的是（）A椭圆与椭圆的焦距相等B过椭圆上任意一点作椭圆的切线交于，则为线段中点C过椭圆上任意一点作直线交椭圆于两点，且，则面积为常数（其中为坐标原点）D直线与椭圆自下而上依次交于四点，则【答案】BC【分析】根据椭圆方程求的方程求它们焦距，判断A，当直线斜率不存在时，验证点为中点，当直线斜率存在时，设直线的方

24、程为，根据椭圆与直线的位置关系求点和的中点坐标，判断B，分别在斜率不存在和存在的条件下，根据椭圆与直线的位置关系求的面积，判断C，利用设而不求法计算判断D .【详解】方程可化为，所以椭圆的焦距为，而椭圆的焦距为，所以椭圆与椭圆的焦距不相等，A错误，当点的坐标为时，过点的椭圆的切线为，联立可得，直线与椭圆的交点坐标为，所以点为线段的中点，同理可得点的坐标为时，点为线段的中点，当点不为椭圆的长轴端点时，设过点的椭圆的切线方程为，联立，化简可得，由已知方程的判别式，所以，方程的解为，故点的坐标为，联立，消得，方程的判别式，设，则，所以，所以线段的中点为，故为线段中点，B正确；当直线的斜率不存在时，设

25、直线的方程为，联立可得，所以，所以的面积为，由可得点为线段的中点，所以点的坐标为，因为点在椭圆上，所以，所以，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消得，方程的判别式，设，则，所以，所以点的坐标为，因为点在椭圆上，所以，联立联立，化简可得，由已知方程的判别式，故直线和椭圆相切，因为原点到直线的距离为，所以的面积为，所以，故面积为常数，C正确；联立，消得，方程的判别式，设，则， 联立，化简可得，由已知方程的判别式，所以，设，所以，由已知，所以，所以，所以，D错误.故选：BC.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组利用判别式判断方程的解的个数是判断直线与椭圆的位置关系的重要方法，

26、涉及弦长问题常常利用设而不求法结合弦长公式求解.20（2023秋浙江宁波高三期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆，圆，直线：（k，b为常数，且）.点，（）A若点Q在上运动，则的最大值为B若l与都相切，则这样的l共有4条，且其中一条的方程是C若过P点作的切线，则切线唯一且方程为D若，l与都相交且截得的弦长相等，则【答案】AC【分析】A选项：圆的半径，则的最大值为，利用两点间距离公式求出答案；B选项：画出图形，由与外离，得到公切线有4条，由点到直线距离得到与外离，不相切，从而判断B；C选项：先得到点P在上，切线唯一，再考虑过的直线斜率不存在和斜率存在两种情况，将直线与椭圆方程联立，结合根的判别式为0

27、，求出斜率，得到切线方程；D选项，利用弦长公式得到l与相交弦长，利用垂径定理得到与的弦长，列出方程，得到.【详解】A选项，的圆心为，半径，点Q在上运动，的最大值为，所以，故A正确；B项：的上顶点与的圆心距离为，所以与外离，所以由图易知l有4条，到距离为，与外离，不相切，故B错误；C项：满足，故点P在上，所以切线唯一，当过的直线斜率不存在时，此时直线方程为，此时与不相切，舍去；设过的切线方程为，联立，得，整理，得，由，解得，故切线方程为，即，故C正确；D项：分别记l与交点为A，B和C，D，与，联立，得，设，则，则l与截得弦长为，l为圆心距离为，所以，因为，所以，因为，所以，显然，故D错误.故选：

28、AC.【点睛】结论点睛：过圆上一点的切线方程为；过圆外一点的切点弦方程为；过椭圆上一点的切线方程为；过双曲线上一点的切线方程为.21（2023浙江校联考三模）设椭圆，为椭圆上一点，点关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则（）A的最大值为B直线的斜率乘积为定值C若轴上存在点，使得，则的坐标为或D直线过定点【答案】BCD【分析】利用两点间距离公式表示出，结合可得关于的二次函数的形式，通过讨论与二次函数对称轴的位置关系，可求得的最大值，知A错误；利用斜率公式表示出，化简可得定值，知B正确；假设存在，可得，求得横坐标后，代入化简知C正确；表示出直线后，根据直线过定点的求法可知D正确.【详解】对于A，在椭

29、圆上，由题意知：，的对称轴为，若，即时，；当，即时，；综上所述：A错误；对于B，关于轴对称，B正确；对于C，假设存在点，使得，则，；直线，直线，即或，C正确；对于D，直线，即，直线过定点，D正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用的问题，解题基本思路是能够利用表示出所需的点的坐标，结合两点间距离公式、斜率公式、三角形相似关系等知识化简所求量，从而确定选项的正误.三、填空题22（2023秋浙江嘉兴高三统考期末）已知椭圆的左右焦点分别为是上的一个动点，直线分别交于两点.设，则当取最小值时，的离心率为_.【答案】#【分析】设，则，设，联立与的方程根据韦达定理结合条件可得，进而得

30、出，然后根据基本不等式得出取最小值时的值，即可根据椭圆离心率的计算得出答案.【详解】设，则所以，故可设，则点坐标满足，消去整理得，故，设，同理可得，得，所以，又，故，而，故，即，当且仅当，即时取等号，此时，离心率为.故答案为：.23（2023广东揭阳校考模拟预测）已知双曲线的焦点为，是双曲线上一点，且.若的外接圆和内切圆的半径分别为，且，则双曲线的离心率为_.【答案】【分析】在中，利用正弦定理：，求得，设，再利用余弦定理求得，然后由求解【详解】双曲线的焦点为，在中，由正弦定理得：，解得，设，在中，由余弦定理得：，解得，所以，因为 又，所以，则 所以 整理得，则 解得或（舍去）故答案为：【点睛】

31、关键点点睛：本题的关键在于结合正余定理以及化简求解24（2023河北邢台校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，经过的直线，与的对称轴不垂直，交于，两点，点在的准线上，若为等腰直角三角形，则_【答案】【分析】联立方程组，利用设而不求法，结合条件，通过讨论求出直线的斜率，由此可求弦长.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，过点的斜率为0的直线与抛物线有且只有一个交点，不满足条件，设直线的方程为，联立，消得，方程的判别式，设，设的中点为，则，所以，因为为等腰直角三角形，当点为直角顶点时，过点作轴的垂线，过点作，垂足为，过点作，垂足为，因为，所以，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以，当为直角顶点时

32、，同理可得，当为直角顶点时，则点在以为直径的圆上，因为的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为，取，可得，此时与平行，与矛盾，所以，故答案为：.【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式25（2023福建泉州统考三模）已知双曲线的左、右焦点分别为的渐近线与圆在第一象限的交点为M，线段与C交于点N，O为坐标原点若，则C的离心率为_【答案】【分析】由可知 N是的中点，求出N的坐标，带入双曲

33、线的方程化简即可.【详解】的渐近线为：，焦点，渐近线与圆在第一象限的交点为M联立可得，所以N是的中点，因为N在双曲线上，化简得：所以离心率为，故答案为：26（2023湖北荆州中学校联考二模）已知抛物线，弦过抛物线的焦点，过两点分别作准线的垂线，垂足分别为、，设的中点为，线段的垂直平分线交轴于，则_；若的中点为，则_【答案】 #0.5 1【分析】设弦方程及两点的坐标，可以表示点坐标及焦点弦长，继而判断，即可.【详解】对于第一空：易知弦的斜率存在，,设,联立，化简得：则，即可得弦方程中垂线方程为：，故，由弦长公式得：显然对于第二空：易知轴，由上可得故四边形是平行四边形，所以故答案为：27（2023

34、湖北黄石统考模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为、，且与圆在第二象限的交点为，则椭圆离心率的取值范围为_【答案】【分析】根据已知条件及直角所对的圆周角等于，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数即可求出离心率的取值范围【详解】由以线段为直径的圆与椭圆在第二象限相交于点，所以半径，即，且所以，由于，令，则，则由于函数在上单调递减，故在上单调递减，故，即，满足，符合题意 所以椭圆离心率的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件及直径所对的圆周角等于，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数，结合对勾函数的性质即可.28

35、（2023湖南常德统考一模）在长方体中，点P为长方体表面上的动点，且，当最小时，的面积为_.【答案】【分析】根据条件得到点在以为直径的球的表面与长方体表面重合的部分上，得出点、三点共线时最小，即可求解.【详解】设的中点为，则，由题意得：，且点是长方体表面上的动点，所以点在以为直径的球的表面与长方体表面重合的部分上，则，当且仅当点、三点共线时取等号，点、在平面上，所以点在平面上，所以当最小时，以为直径的半圆与的交点即为点，如下图，过点作于点，因为，所以，所以的面积，故答案为：.29（2023秋浙江杭州高三浙江省桐庐中学期末）已知椭圆C：，经过原点O的直线交C于A，B两点P是C上一点（异于点A，B

36、），直线BP交x轴于点D若直线AB，AP的斜率之积为，且，则椭圆C的离心率为_【答案】【分析】设点的坐标，求斜率，由题知，两式相减，化简得，结合，知，再利用及离心率公式即可求解.【详解】设，则直线AP的斜率为，BP的斜率为，由题知，两式相减得，即，即，即，又，则，即，即，则，所以，即，则椭圆C的离心率为.故答案为：30（2023浙江校联考三模）已知椭圆，椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点且，过A作椭圆E的切线l，并分别交于C、D点连接，与交于点E，并连接若直线l，的斜率之和为，则点A坐标为_【答案】#【分析】设直线l的程，利用直线与椭圆相切，联立方程，则，即，最后得到切线方程为，再求出坐标，写出直线直线，的方程，联立解出点坐标，最后得到，再联立，解出即可.【详解】由椭圆可得，因为点为椭圆上一点且，故切线的斜率一定存在，设直线l的程，由得因为直线l与椭圆E相切，所以，解得因为，所以，所以，所以，即所以直线l的方程为，即分别令和得，所以直线方程为，直线方程为，所以联立可得与交点，因为，所以，所以由得，即，因为，所以，即，故答案为：【点睛】结论点睛：椭圆在点处的切线方程为，对于选填空题来说直接使用结论，从而节约时间，提高解题速度.