专题03 勾股定理(原卷版）.docx

1、专题03 勾股定理【考点1 勾股定理】 【考点2勾股定理的证明】【考点3 直角三角形的性质】 【考点4勾股定理的逆定理】【考点5勾股数】 【考点6勾股定理的应用】知识点 1：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段知识点2：勾股定理证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示

2、，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以.知识点3:勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如）.（2） 验证与是否具有相等关系.若，则ABC是C90的直角三角形；若，则ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.知识点4：勾股数像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。勾股数满足两个条件：满足勾股定理 三个正整数知识点5：勾股定理应用 考点剖析【考点1 勾股定理】 1（2022秋薛城区校级期

3、末）一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边是（）A13B12C15D102（2022秋碑林区校级期末）如图：三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是（）A225B144C81D无法确定3（2023宜州区二模）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2则最大的正方形E的面积是（）A9B10C11D124（2022秋东港市期末）在RtABC中，ACB90，AB5，AC4，则BC的长为（）A3B3或C3或D【考点2勾股定理的证明】5（2023秋临淄区期中）若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选

4、项中不能用来证明勾股定理的是（）ABCD6（2022秋长春期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC12，BC7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A148B100C196D1447（2022秋钢城区期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（）A121B144C169D1968（202

5、3秋沭阳县期中）如图，火柴盒的侧面为长方形ABCD，其中CDa，ADb，ACc把直立的火柴盒放倒，侧面ABCD旋转至长方形ABCD处（如图）（1）SADC，SABC，SACC；（用a、b、c有关代数式表示）S四边形CDBC；（用a、b有关代数式表示）（2）由（1）的结论证明勾股定理：a2+b2c2；（3）若a+b7，c5，求SADC的值9（2022秋宝山区期末）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E（1）求证：DACBCE；（2）如果ACBC求证：CDBE；若设ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理10（2023春潮阳区期末

6、）用四个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（ab），边长为c（1）结合图，求证：a2+b2c2（2）如图，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为24，OB3求该图形的面积【考点3 直角三角形的性质】11（2023秋西丰县期中）如图，在RtABC中，C90，A55，则B的度数为（）A25B35C45D5512（2023秋灵宝市期中）在下列条件中不能判定ABC为直角三角形的是（）AA90CBABCCA2B3CDABC13（2023秋青秀区校级期中）如图，CD是AB

7、C的高，ACB90，若A35，则BCD的度数是（）A35B40C45D5014（2023梁园区一模）如图，直线ab，RtABC如图放置，若128，280，则B的度数为（）A62B52C38D2815（2023春儋州期末）取一张长方形纸片，按图中所示的方法折叠一角，得到折痕EF，若BEF54，则BFC等于（）A100B108C118D120【考点4勾股定理的逆定理】16（2023秋吉安期中）下列各组数分別为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）A1，2，3B4，5，6C7，24，25D8，15，1817（2023秋高碑店市期中）一个零件的形状如图所示，D90，AB12，AD4，BC

8、13，CD3，这个零件的面积是（）A36B72C87D8818.（2022秋榕城区期末）如图，四边形ABCD中，AB20，BC15，CD7，AD24，B90（1）判断D是否是直角，并说明理由（2）求四边形ABCD的面积18（2023秋青羊区校级期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地如图，已知AC4，BC3，BD12，AD13，ACB90，试求阴影部分的面积20（2023秋工业园区校级期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，ABC的顶点在格点上（1）直接写出AB，B

9、C，AC；（2）判断ABC的形状，并说明理由；（3）直接写出AC边上的高【考点5勾股数】 21（2023秋武侯区校级期中）下列各组数据中，是勾股数的是（）A，B0.3，0.4，0.5C3，4，5D32，42，5222（2023茅箭区校级模拟）观察以下几组勾股数，并寻找规律：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；请你写出有以上规律的第组勾股数： 【考点6勾股定理的应用】23（2023秋文登区期中）如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的木棒最长为（）A19mB24mC13mD15m24（2023秋汝州市期中）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：

10、今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）Ax23（10x）2Bx232（10x）2Cx2+3（10x）2Dx2+32（10x）225（2023春南充期末）如图，你风过境后，一根垂直于地面的大树在离地到6m处撕裂所，大树顶部落在离大树底部8m处，则大树折断之前的高度是（）A10mB14mC16mD18cm26.（2022秋井研县期末）为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地AB2.1米（如图所示），当人体进入感应

11、范围内时，测温仪就会显示人体体温一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC1.2米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（）A1.2米B1.3米C1.4米D1.5米27（2023秋锦江区校级期中）如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（）AmB4mCmD6m28（2023秋微山县期中）某同学与爸妈在公园里荡秋千如图，她坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.8m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1

12、.2m和1.4m，BOC90爸爸在C处接住这个同学时，她距离地面的高度是（）A1mB1.6mC1.2mD1.4m29（2022秋宽城区校级期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中ABAC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB3千米，CH2.4千米，HB1.8千米（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长30（2022秋威海期末）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝

13、的高度CE，测得如下数据：测得BD的长度为8米；（注：BDCE）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；牵线放风筝的松松身高1.6米（1）求风筝的高度CE（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？31（2023秋滕州市期中）如图，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，AOBO，设OB的长度为x米（1）求OB的长度；（2）若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，试判断云梯的底部B是否也外移了5米？请说明理由32（2022秋沙坪坝区校级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船河岸上一男子拽

14、着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变（1）若CF7米，AF24米，AB18米，求男子需向右移动的距离（结果保留根号）（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？33（2023秋高碑店市期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且ABAC若A，C之间相距3

15、00km，A，B之间相距400km（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由（2）若台风中心的移动速度为25km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？过关检测一选择题（共10小题）1（2022秋长安区校级期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长其中能构成直角三角形的是（）A，2，B2，3，4C6，7，8D1，2（2023春铜仁市期末）成书于大约公元前1世纪的周髀算经是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家

16、柏拉图（公元前427年公元前347年）研究了勾为2m（m3，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；，若此类勾股数的勾为12，则其股为（）A14B16C35D373（2022秋罗湖区校级期末）ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（）Ab2（a+c）（ac）BAB+CCA：B：C3：4：5Da6，b8，c104（2022秋城关区校级期末）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A4B8C16D645（2022秋新泰市期末）下列各组数中，是勾股数的（）A4，5，6B1，2，3C1.5，2

17、，2.5D9，40，416（2023春雁塔区校级期末）如图，ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BDAC于点D，则BD的长为（）ABCD7（2023秋京口区期中）我们在学习勾股定理的第二课时时，如图图形可以用来验证勾股定理的有（）个A1B2C3D48（2023秋平遥县期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（）A144B49C64D259（2023秋太和区期中）如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为

18、（）A5米B6米C7米D8米10（2023秋揭东区期中）如图，在RtABC中，C90，以ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CPCG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S116，S225，则SACP：SBCP等于（）A4：3B16：9C5：3D5：4二填空题（共6小题）11（2022秋亭湖区期末）在RtABC中，C90，AC3，BC4，则点C到AB的距离是12（2023春康县期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米13（

19、2023秋鹤山市期中）如图，在ABC中，ACB90，A30，CDAB，AB8，则AD14（2023春定州市期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC4m，BE1m则滑道AC的长度为 m15（2023秋阜宁县期中）如图，在RtABC中，C90，AB5cm，AC3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t 时，ABP为直角三角形16（2022秋栖霞市期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB6，CD10，则AD2+BC2三解答题（共4小

20、题）17（2023秋瑞昌市期中）如图所示，在ABC中，CDAB于D，AC4，BC3，AD（1）求CD、BD的长；（2）求证：ABC是直角三角形18（2023春石城县期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”又到了放风筝的最佳时节某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：测得水平距离BD的长为15米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？19（2022秋洛宁县期末）老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米？20（2023秋盐都区校级期中）为了积极宣传防疫，某区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离AB为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能请求出他总共能听到多长时同的广播宣传？若不能，请说明理由