专题03 导数及其应用（选填题）（文科）（解析版）.docx

1、五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题03 导数及应用（选填小题）函数导数应用是高考必考知识点 考点01 利用导数求函数单调性，极值最值1（2023年全国新高考卷数学）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）ABeCD【答案】C【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，故，即，即a的最小值为故选：C2（2023年全国高考乙卷数学（文）试题）函数存在3个零点，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】，则，若要存在3个零点，则要存在极大值和

2、极小值，则，令，解得或，且当时，当，故的极大值为，极小值为，若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B.3（2023年全国高考甲卷数学（文）试题）曲线在点处的切线方程为（）ABCD【答案】C【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C4（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）当时，函数取得最大值，则（）ABCD1【答案】B【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上

3、递减，时取最大值，满足题意，即有故选：B.5（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（）ABCD【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.当时，由，画出的图象如下图所示：由图可知，故.当时，由时，画出的图象如下图所示：由图可知，故.综上所述，成立.故选：D6（2021年全国新高考卷数学试题）若过

4、点可以作曲线的两条切线，则（）ABCD【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，所以，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，当时，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上

5、方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.7（2019年全国高考卷（文）数学试题）若x1=，x2=是函数f(x)=(0)两个相邻的极值点，则=A2BC1D【答案】A【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.【详解】由题意知，的周期，得故选A【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用方程思想解题8（2019年全国高考卷（文）数学试题）曲线y=2sinx+cosx在点(，1)处的切线方程为ABCD【答案】C【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【详解】当时，即点在曲线上则在点处的切线方程为，即故选C【点睛】本题考查利

6、用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取导数法，利用函数与方程思想解题学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程9（2019年全国高考卷（文）数学试题）已知曲线在点处的切线方程为，则ABCD【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得【详解】详解：，将代入得，故选D【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系二、填空题10（2022年全国新高考卷数学试题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a

7、的取值范围是_【答案】【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,切线过原点，,整理得：,切线有两条，,解得或,的取值范围是,故答案为：11（2022年全国新高考卷数学试题）函数的最小值为_.【答案】1【分析】由解析式知定义域为，讨论、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，当时，此时单调递减；当时，有，此时单调递减；当时，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，综上有：时，单调递减，时，单调递增；故答案为：1.12（2022

8、年全国高考卷（文）数学试题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_.【答案】【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为，所以切点坐标为，所求的切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.13（2019年全国高考卷（文）数学试题）设函数若，则a=_【答案】1【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数

9、学思想等知识，属于中等题.14（2019年全国高考卷（文）数学试题）曲线在点处的切线方程为_【答案】.【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求考点02 构造函数利用导数求单调性比较大小 1（2023年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数记，则（）ABCD【答案】A【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令

10、，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以，即由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，又为增函数，故，即.故选：A.2（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知，则（）ABCD【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，然后由指数函数的单调性即可解出【详解】方法一：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.方法二：【最优解】（构造函数）由，可得根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 .故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调

11、性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解3（2022年全国新高考卷数学试题）设，则（）ABCD【答案】C【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，又，所以当时，所以当时，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解： ， ， ， ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所

12、以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 4（2021年全国高考卷（文）数学试题）已知，则下列判断正确的是（）ABCD【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.【详解】，即.故选：C.5（2020年全国高考卷（文）数学试题）若，则（）ABCD【答案】A【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数

13、的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.6（2020年全国高考卷（文）数学试题）设，则（）ABCD【答案】A【分析】分别将,改写为，再利用单调性比较即可.【详解】因为，所以.故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.7（2019年全国高考卷（文）数学试题）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则ABCD【答案】C【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小【详解】是R的偶函数，又在(0，+)单调递减，故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值考点03 导数

14、综合应用1（2021年全国新高考卷数学试题）函数的最小值为_.【答案】1【分析】由解析式知定义域为，讨论、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，当时，此时单调递减；当时，有，此时单调递减；当时，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，综上有：时，单调递减，时，单调递增；故答案为：1.2（2023天津统考高考真题）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_【答案】【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围【详解】（1）当时，即，若时，此时成立；若时，或，若方程有一根为，则，即且；若方程有一根为，则，解得：且；若时，此时成立（

15、2）当时，即，若时，显然不成立；若时，或，若方程有一根为，则，即；若方程有一根为，则，解得：；若时，显然不成立；综上，当时，零点为，；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，零点为所以，当函数有两个零点时，且故答案为：【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出3（2021北京统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：若，恰 有2个零点；存在负数，使得恰有1个零点；存在负数，使得恰有3个零点；存在正数，使得恰有3个零点其中所有正确结论的序号是_【答案

16、】【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于，当时，由，可得或，正确；对于，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，正确；对于，当直线过点时，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，错误；对于，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，正确.故答案为：.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围