专题04 一元一次方程（解析版）.docx

1、专题04 一元一次方程思维导图核心考点聚焦1.判断是否是一元一次方程2.根据一元一次方程的定义求参数问题3.等式的基本性质4.解一元一次方程5.解一元一次方程中错解复原6.已知一元一次方程的解求参数的值7.已知含参数的一元一次方程的解为整数，求参数的值8. 已知含参数的一元一次方程的解，求其他一元一次方程的解9.一元一次方程中新定义运算型问题10.利用一元一次方程解决销售利润问题11.利用一元一次方程解决数轴上的追及问题12.解一元一次方程的拓展问题一、一元一次方程的概念1方程：含有未知数的等式叫做方程2一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程细节剖

2、析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：只含有一个未知数，未知数的次数为1；未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数3方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解4解方程：求方程的解的过程叫做解方程二、等式的性质与去括号法则1等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等2合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变3去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括

3、号内相应各项的符号相反三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为axb(a0)的形式(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a0)(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解四、列方程解应用题的步骤：审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间

4、关系；设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）；找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程；解所列出的方程，求出未知数的值；答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程速度时间 2.利润问题：商品利润商品售价商品进价 3.工程问题：工作量工作效率工作时间，各部分劳动量之和总量4.银行存贷款问题：本息和本金+利息，利息本金利率期数 5.数字问题：多位数的表示方法：例如：1.理解并应用一元一次方程的定义，明确只含有一个未知数（元），未知数的次数都是12.解含有分母的一元一次方程，

5、去分母时，常数项一定要记得乘最小公倍数.3.用一元一次方程解决销售利润问题与数轴上的追及问题是一类难点，要善于总结通用的解题思想.考点剖析考点一、判断是否是一元一次方程例题1：（2023上四川凉山七年级统考期末）下列方程中：，一元一次方程的个数是（）A3个B2个C5个D4个【答案】B【解析】方程都是一元一次方程，共有2个，方程中的不是整式，不是一元一次方程，方程中的次数是2，不是一元一次方程，方程中含有两个未知数，不是一元一次方程，故选B考点二、根据一元一次方程的定义求参数问题例题2: 已知2xm-2+3=0是关于x的一元一次方程，则m=_【答案】3【解析】因为2xm-2+3=0是关于x的一元

6、一次方程，所以m-2=1，解得m=3故答案为：3考点三、等式的基本性质例题3：下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】A、若，则，正确，不符合题意B、若，则，正确，不符合题意C、若，则，正确，不符合题意D、若，则，当才成立，错误，符合题意故选D考点四、解一元一次方程例题4：解方程：(1)；(2)【解析】（1）移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，所以方程的解为；（2）去分母，得， 去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，所以方程的解为考点五、解一元一次方程中错解复原例题5：老师让同学们解方程，某同学给出了如下的解答过

7、程：去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，两边都除以7，得，根据该同学的解答过程，你发现：(1)从第_步开始出现错误，该步错误的原因是_；(2)请你给出正确的解答过程【解析】（1）由题意可得，第开始出现错误，该步错误的原因是：没有乘以6，故答案是：，没有乘以6；（2）去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，两边都除以，得.考点六、已知一元一次方程的解求参数的值例题6：已知关于x的方程的解是，则的值是（）A1BCD2023【答案】B【解析】将代入原方程得：，解得，所以，故选B考点七、已知含参数的一元一次方程的解为整数，求参数的值例题7：若关于x的方程的解是整数，且k是正整数

8、，则k的值是（）A1或3B3或5C2或3D1或6【答案】A【解析】去分母，得，去括号，得，移项合并同类项，得，系数化为1，得，因为关于x的方程的解是整数，所以或，所以或或或，因为k是正整数，所以或，故选A考点八、已知含参数的一元一次方程的解，求其他一元一次方程的解例题8：若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（）ABCD【答案】C【解析】设，则，变形为，所以，解得，故选考点九、一元一次方程中新定义运算型问题例题9：规定的一种新运算“”：，例如：(1)试求的值；(2)若，求的值；(3)若，求的值【解析】（1） （2），（3），考点十、利用一元一次方程解决销售利润问题例题10：贵阳

9、市人民广场某超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价）甲乙进价（元/件）2230售价（元/件）2940(1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售【解析】（1）设超市第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，由题意得：，所以，所以（件），所以超市第一次购进甲

10、种商品件，乙种商品件因为（元），所以该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得元利润；（2）设第二次乙种商品是按原价打折销售，根据题意，得，解得答：第二次乙种商品是按原价打八五折销售考点十一、利用一元一次方程解决数轴上的追及问题例题11：如图，已知数轴上有两点，点在原点的右侧，到原点的距离为3，点在点的左侧，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速运动，它们的速度分别为2个单位长度/秒、1个单位长度/秒，设运动时间为t秒(1)点表示的数为_，点表示的数为_；(2)若动点均向右运动当时，点对应的数是_，两点间的距离为_个单位长度；请问当为何值时，点追上点，并求出此时点对应的数；(3)若动

11、点从点向左运动到原点后返回到点停止，动点从点向右运动，当点停止时，点也停止运动请直接写出当为何值时，在和三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的4倍【解析】（1）因为点在原点的右侧，到原点的距离为3，所以点表示的数为，因为点在点的左侧，所以点表示的数为，故答案为：；（2）当时，点向右运动了个单位长度，点向右运动了个单位长度，所以点对应的数为，点对应的数为，两点间的距离为个单位长度，故答案为：；当点追上点时，可得点对应的数与点对应的数相同，故，解得，此时点对应的数为（3）当点停止时，所用时间为，当时，解得；当时，解得（舍去）；当时，解得；当时，解得综上所述，当，或时，在和三条线段中，其中

12、一条线段的长度是另一条线段长度的4倍考点十二、解一元一次方程的拓展问题例题12：我们规定关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，满足，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：【定义理解】（1）判断：方程_差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；【知识应用】（3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则_（4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值【解析】（1）因为方程的解为，所以方程是差解方程故答案为：是；（2）由题意可知，由一元一次方程可知，所以，解得；（3）因为方程是“差解方程”，

13、所以，解方程，得，所以，所以，即故答案为：16；（4）因为一元一次方程是“差解方程”，所以，解一元一次方程得所以，整理得，因为一元一次方程是“差解方程”，所以，解一元一次方程得，所以，整理得，所以过关检测一、选择题1下列方程中，是一元一次方程的是（）ABCD【答案】C【解析】A、是一元二次方程，不符合题意；B、不是整式方程，故不是一元一次方程，不符合题意；C、展开括号为，是一元一次方程，符合题意；D、是二元一次方程，不符合题意；故选C2下列变形不一定正确的是（）A若，则B若，则C，则D若，则【答案】D【解析】A根据等式性质2，若，则正确，故选项A不符合题意；B根据等式性质2，若，则正确，故选项

14、B不符合题意；C根据等式性质1，若，则正确，故选项C不符合题意；D当时，但不一定等于，故选项D符合题意故选D3下列选项中，正确的是（）A由，移项得B由，去分母得C由，去括号得D把中的分母化为整数，得【答案】D【解析】A、由，移项得，原选项不符合题意；B、由，去分母得，原选项不符合题意；C、由，去括号得，原选项不符合题意；D、由，则，原选项符合题意故选D4若关于x的一元一次方程的解为正整数，则整数k的值为（）A2B4C0或2D2或4【答案】D【解析】解方程得，因为关于x的一元一次方程的解为正整数，k为整数，所以或，所以或4故选D5现定义运算“*”，对于任意有理数与，满足，譬如，若有理数满足，则的

15、值为（）A4B5C21D5或21【答案】B【解析】若，当时，解得；当时，解得（舍去)故选B二、填空题6若，则 【答案】1【解析】因为，所以，故答案为：17已知关于的方程与有相同的解，则 【答案】/【解析】，即，解得，将代入，得，解得，故答案为：8若方程是关于的一元一次方程，则 【答案】【解析】因为方程是关于的一元一次方程，所以，解得故答案为：9我国古代著作九章算术中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数、鸡价各几何”其大意是：今有人合伙买鸡，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱问人数、鸡价各是多少”设共有人合伙买鸡，根据题意，可列方程为 【答案】【解析】由题意

16、得：，故答案为：10已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 【答案】3【解析】因为方程的解为，所以方程满足，解得，故答案为：3三、解答题11解方程：(1)；(2)；(3)； (4)【解析】（1），移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得（2），去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得（3），去括号，得，移项，得，合并同类项，得（4），去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得12下面是小武同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务解方程：第步；第步；第步；第步；第步(1)【任务一】填空：以上解方程的步骤中，第_步是进行去分母，去分母的依

17、据是_；第_步开始出现错误，这一步错误的原因是_(2)【任务二】请帮小武改正错误，写出正确的解题过程【解析】（1）以上解题过程中，第步是去分母，依据等式的性质进行变形的；从第步开始出现错误，原因是：移项没变符号，故答案为：，等式的性质，移项没变符号；（2）去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为，得，所以原方程的解为13对于有理数a，b，定义两种新运算“”与“”，规定：，例如，(1)计算的值；(2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简；(3)若，求x的值【解析】（1）；（2）由图可知：，所以，所以；（3）因为，所以转化为：，所以14某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的

18、成本为元每盒坚果礼盒的成本为元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多元，售卖个水果篮获得的利润和售卖盒坚果礼盒获得的利润一样多(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；(2)该水果店第一批购进了个水果篮和盒坚果礼盒为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利元，按此计划每个水果篮应打几折出售？【解析】（1）设每个水果篮售价为元，每盒坚果礼盒的售价为元，依题意得：，解得，答：每个水果篮售价为元，每盒坚果礼盒的售价为元（2）设计划每个水果篮应打折出售，依题意得：，解得，答：按此计划每个水果篮应打折出售15如图，在数轴上点表示的数是，点在点的右侧，且到

19、点的距离是18，点在点与点之间，且点与点的距离为9(1)点表示的数是_，点表示的数是_；(2)若点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动设运动时间为秒，当点运动到C点时，点与点之间的距离为_；(3)在（2）的条件下，若点与点之间的距离表示为，在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由【解析】（1）因为在数轴上点表示的数是，点在点的右侧，且到点的距离是18，点在点与点之间，且点与点的距离为9，所以点表示的数是，点表示的数是，故答案为：，；（2）由题意得：当运动到C点时，运动时间

20、为（秒），此时点表示的数为：，点表示的数为6，所以当点运动到C点时，点与点之间的距离为，故答案为：3；（3）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数为，当时，解得，此时点表示的数为：，当时，解得，此时点表示的数为：综上所述，当时，此时点表示的数为0；当时，此时点表示的数为16阅读材料：定义：若，则称与是关于2的平衡数例如：，所以与7是关于2的平衡数；，所以11与是关于2的平衡数(1)3与_是关于2的平衡数，与_是关于2的平衡数（第二空填一个含的代数式）(2)若判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由(3)若，且与是关于2的平衡数，若为正整数，求非负整数的值【解析】（1）因为，所以，所以3与是关于2的平衡数；因为，所以，所以与7是关于2的平衡数，故答案为：；（2）与是关于2的平衡数，理由如下：因为，所以，所以与是关于2的平衡数；（3）因为，且与是关于2的平衡数，所以，所以，所以，因为为正整数，所以当时，即；当时，即；当时，即；当时，即；又因为k为非负整数，所以k的值为0或1或3