专题05 立体几何（选填题）（文科专用）（教师版）.docx

1、专题05 立体几何（选填题）（文科专用）1【2022年全国甲卷】如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A8B12C16D20【答案】B【解析】【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积V=2+4222=12.故选：B.2【2022年全国甲卷】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30，则（）AAB=2ADBAB与平面AB1C1D所成的角为30CAC=CB1DB1D与平面BB1C1C所成的角为45【答案】D【解析】【分析】根据线

2、面角的定义以及长方体的结构特征即可求出【详解】如图所示：不妨设AB=a,AD=b,AA1=c，依题以及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为B1DB，B1D与平面AA1B1B所成角为DB1A，所以sin30=cB1D=bB1D，即b=c，B1D=2c=a2+b2+c2，解得a=2c对于A，AB=a，AD=b，AB=2AD，A错误；对于B，过B作BEAB1于E，易知BE平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为BAE，因为tanBAE=ca=22，所以BAE30，B错误；对于C，AC=a2+b2=3c，CB1=b2+c2=2c，ACCB1，C错误；对于D，B1D与平面BB1

3、C1C所成角为DB1C，sinDB1C=CDB1D=a2c=22，而0DB1C90，所以DB1C=45D正确故选：D3【2022年全国甲卷】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙若S甲S乙=2，则V甲V乙=（）A5B22C10D5104【答案】C【解析】【分析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，根据圆锥的侧面积公式可得r1=2r2，再结合圆心角之和可将r1,r2分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2

4、，则S甲S乙=r1lr2l=r1r2=2，所以r1=2r2，又2r1l+2r2l=2，则r1+r2l=1，所以r1=23l,r2=13l，所以甲圆锥的高h1=l2-49l2=53l，乙圆锥的高h2=l2-19l2=223l，所以V甲V乙=13r12h113r22h2=49l253l19l2223l=10.故选：C.4【2022年全国乙卷】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则（）A平面B1EF平面BDD1B平面B1EF平面A1BDC平面B1EF/平面A1ACD平面B1EF/平面A1C1D【答案】A【解析】【分析】证明EF平面BDD1，即可判断A；如图，以点D为原

5、点，建立空间直角坐标系，设AB=2，分别求出平面B1EF，A1BD，A1C1D的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.【详解】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，ACBD且DD1平面ABCD，又EF平面ABCD，所以EFDD1，因为E,F分别为AB,BC的中点，所以EFAC，所以EFBD，又BDDD1=D，所以EF平面BDD1，又EF平面B1EF，所以平面B1EF平面BDD1，故A正确；如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，则B12,2,2,E2,1,0,F1,2,0,B2,2,0,A12,0,2,A2,0,0,C0,2,0，C10,2,2，则EF=-1,1,0,E

6、B1=0,1,2，DB=2,2,0,DA1=2,0,2，AA1=0,0,2,AC=-2,2,0,A1C1=-2,2,0,设平面B1EF的法向量为m=x1,y1,z1， 则有mEF=-x1+y1=0mEB1=y1+2z1=0，可取m=2,2,-1，同理可得平面A1BD的法向量为n1=1,-1,-1，平面A1AC的法向量为n2=1,1,0，平面A1C1D的法向量为n3=1,1,-1，则mn1=2-2+1=10，所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；因为m与n2不平行，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；因为m与n3不平行，所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误，故选

7、：A.5【2022年全国乙卷】已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A13B12C33D22【答案】C【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则SABCD=12ACBDsin12ACBD122r2r=2r2（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的

8、顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2又r2+h2=1则VO-ABCD=132r2h=23r2r22h223r2+r2+2h233=4327当且仅当r2=2h2即h=33时等号成立，故选：C6【2021年甲卷文科】在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D7【2021年乙卷文科】在正方体中，P为的

9、中点，则直线与所成的角为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，所以.故选：D8【2018年新课标1卷文科】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为ABCD【答案】B【解析】【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该

10、圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.9【2018年新课标1卷文科】在长方体中，与平面所成的角为，则该长方体的体积为ABCD【答案】C【解析】【分析】首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体中，连接，根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题

11、，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.10【2018年新课标2卷文科】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为ABCD【答案】C【解析】【分析】利用正方体中，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；利用边角关系，找

12、到（或构造）所求角所在的三角形；求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：求两直线的方向向量；求两向量夹角的余弦；因为直线夹角为锐角，所以对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.11【2021年甲卷文科】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为_.【答案】【解析】【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】.故答案为：.12【2021年乙卷文科】以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由题

13、意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为，俯视图为，如图所示，长方体中，分别为棱的中点，则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三棱锥.故答案为：.【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.13【2019年新课标1卷文科】已知ACB=90，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_【答案】.【解析】【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决【详解】作分别垂直于，平面，连，知，平面，平面，为平分线，又，【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍14【2018年新课标2卷文科】已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为_【答案】8【解析】【详解】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线，高，底面圆半径的长，代入公式计算即可.详解：如下图所示，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.点睛：此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.