专题06 计数原理与概率统计-北京市2021-2022学年高二上学期期末数学试题分类汇编.docx

1、北京市2021-2022学年高二数学上学期期末分类汇编专题06 计数原理与概率统计一、单选题1（2022北京昌平高二期末）在的展开式中二项式系数最大的项是（）A第3项和第4项B第4项和第5项C第3项D第4项2（2022北京昌平高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，计划于202年2月4日（星期五）开幕，2月20日（星期日）闭幕北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项，其中七个大项分别为：滑雪、滑冰，雪车、雪撬，冰球、冰壶，冬季两项（越野滑雪射击比赛），现组委会将七个大项的门票各一张分给甲、乙，丙三所学校，如果要求一个学校4张，一个学校2张，一个学校1张，则共

2、有不同的分法数为（）ABCD3（2022北京丰台高二期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（）A抛掷硬币10次，事件A必发生5次B抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次C抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5D随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小4（2022北京丰台高二期末）对于随机事件A，B，有下列说法：如果，相互独立，那么；如果，对立，那么；如果，互斥，那么.其中正确的个数是（）A0个B1个C2个D3个5（2022北京西城高二期末）在的展开式中，的系数为A5BC10D6（2022北京西城高二期末）将4名北京

3、冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球3个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A48种B36种C24种D12种7（2022北京平谷高二期末）甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（）A0.72B0.26C0.7D0.988（2022北京平谷高二期末）甲乙两名运动员在某项体能测试中的6次成绩统计如表：甲9816151514乙7813151722分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A，B，C，D，9（2022北京平谷高二期末）

4、一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取2次，则在两次取得小球中，标号最大值是3的概率为（）ABCD10（2022北京顺义高二期末）某中学高一年级有200名学生，高二年级有260名学生，高三年级有340名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为（）A10B13C17D2611（2022北京101中学高二期末）从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字构成平面直角坐标系内点的横、纵坐标，其中不在轴上的点有（）A36个B30个C25个D20个12（2022北京八中高二

5、期末）展开式中第3项的二项式系数为（）A6BC24D13（2022北京八中高二期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为奇数，两次的点数之和为8，则（）ABCD14（2022北京八中高二期末）为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（）A60B120C150D240二、填空题15（2022北京丰台高二期末）某社区为了解居民的受教育程度，随机抽取了1000名居民进行调查，其结果如下：受教育程度研究生本科及以下人数100900现从该社区中随机抽取一人，根据表中

6、数据，估计此人具有研究生学历的概率为_16（2022北京平谷高二期末）某中学拟从4月16号至30号期间，选择连续两天举行春季运动会，从已往的气象记录中随机抽取一个年份，记录天气结果如下：日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴雨雨阴晴晴晴雨估计运动会期间不下雨的概率为_.17（2022北京101中学高二期末）将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为_（用数字作答）18（2022北京八中高二期末）随机变量X的取值为0，1，2，若，则_19（2022北京昌平高二期末）在的展开式中所有的二项式系数之和为5

7、12，则_；展开式中常数项的值为_20（2022北京平谷高二期末）某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按，分组，绘制成如图所示频率分布直方图.则_；这300辆汽车中车速低于限速60 km/h的汽车有_辆.三、解答题21（2022北京昌平高二期末）有7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人(1)共有多少种不同的坐法？(2)如果甲和乙都在第二排，共有多少种不同的坐法？(3)如果甲和乙不能坐在每排的两端，共有多少种不同的坐法？22（2022北京丰台高二期末）某学校有4名北京冬奥志愿者，其中2名志愿者（记为，）只参加语言服

8、务，2名志愿者（记为，）只参加医疗服务. 现采用不放回简单随机抽样的方法，从这4名志愿者中抽取2人.(1)写出这个试验的样本空间；(2)求抽取的2人中恰有一人参加语言服务的概率.23（2022北京西城高二期末）从位女生，位男生中选出人参加垃圾分类宣传活动.(1)共有多少种不同的选择方法？(2)如果至少有位女生入选，共有多少种不同的选择方法？24（2022北京平谷高二期末）立德中学举行冬令营活动期间，对位参加活动的学生进行了文化和体能测试，满分为150分，其测试成绩都在90分和150分之间，成绩在认定为“一般”，成绩在认定为“良好”，成绩在认定为“优秀”成绩统计人数如下表：体能文化一般良好优秀一

9、般0良好3优秀2例如，表中体能成绩良好且文化成绩一般的学生有2人(1)若从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生概率为求，的值；(2)在（1）的情况下，从体能成绩优秀的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人文化的成绩为优秀的概率；(3)若让使参加体能测试的成绩方差最小，写出的值（直接写出答案）25（2022北京平谷高二期末）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20，30），30，40），80，90，并整理得到如下频率分布直方图：(1)已知样本中分数在40，50）的学生有5人

10、，试估计总体中分数小于40的人数；(2)试估计测评成绩的75%分位数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例26（2022北京顺义高二期末）在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为.(1)写出试验的样本空间；(2)求“”的概率.27（2022北京顺义高二期末）新疆长绒棉品质优良，纤维柔长，被世人誉为“棉中极品”，产于我国新疆的吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、喀什等地.棉花的纤维长度是评价

11、棉花质量的重要指标之一，在新疆某地区成熟的长绒棉中随机抽测了一批棉花的纤维长度（单位：mm），将样本数据制成频率分布直方图如下：(1)求的值；(2)估计该样本数据的平均数（同一组中的数据用该组数据区间的中点值为代表）；(3)根据棉花纤维长度将棉花等级划分如下：纤维长度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等级二等品一等品特等品从该地区成熟的棉花中随机抽测两根棉花的纤维长度，用样本的频率估计概率，求至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率.28（2022北京八中高二期末）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学

12、校交流访问(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望29（2022北京八中高二期末）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得12分)（）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象参考答案：1D【分析】根据二项式系数的定义计算二项式展开式中各项的二

13、项式系数，进而确定二项式系数最大的项【详解】二项式展开式中第项的二项式系数为所以题中二项式展开式的第项的二项式系数为时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，.所以时二项式系数最大，即第四项的二次项系数最大，答案D正确.故选：D.2D【分析】分两步，第一步，将7张票分成3组，第二步，把3组票分给3个学校.【详解】先将7张票分成3组，张数为4、2、1，有种分法再把3组票分给3个学校，有种分法，故共有不同的分法数为故选：D3D【分析】根据频率与概率的关系可得答案.【详解】不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的

14、可能性小；故选：D4D【分析】根据对立事件，互斥事件，相互独立事件的概念即可判断出答案.【详解】若，相互独立，则，故正确；若，对立，则，即，故正确；若，互斥，则，故正确.故选：D.5D【解析】根据二项式定理计算即可.【详解】解：在的展开式中的项为的系数为-10，故选：D.6B【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从4名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余人，看成个元素，个项目看成个不同的位置，个不同的元素在个不同的位置的排列方法数有

15、3!种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.7D【分析】利用对立事件的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率.【详解】由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为、，所以飞行目标被雷达发现的概率为.故选：D8B【分析】根据给定统计表计算、，再比较、大小判断作答.【详解】依题意，所以，.故选：B9C【分析】求出两次取球都没有取到3的概率，再利用对立事件的概率公式计算作答.【详解】依题意，每次取到标号为3 的球的事件为A，则，且每次取球是相互独立的，在两次取得小球中，标号最大值是3的

16、事件M，其对立事件是两次都没有取到标号为3的球的事件，则有，所以在两次取得小球中，标号最大值是3的概率为.故选：C10B【分析】计算出抽样比可得答案.【详解】该校高中学生共有名，所以高二年级抽取的人数名.故选：B.11C【分析】根据点不在y轴上，分2类根据分类加法计数原理求解.【详解】因为点不在轴上，所以点的横坐标不能为0，分两类考虑，第一类含0且为点的纵坐标，共有个点，第二类坐标不含0的点，共有个点，根据分类加法计数原理可得共有个点.故选：C12A【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解.【详解】由题意，二项式展开式中第3项为，所以展开式中第3项的二项式系数为.故选：A.13B【分析】利用

17、条件概率公式进行求解.【详解】，其中表示：两次点数均为奇数，且两次点数之和为8，共有两种情况，即，故，而，所以，故选：B14C【分析】结合排列组合的知识，分两种情况求解.【详解】当分组为1人,1人,3人时，有种，当分组为1人，2人，2人时有种，所以共有种排法.故选：C15#0.1【分析】根据样本频率估计概率即可得答案.【详解】解：由题意，根据样本频率估计概率有估计此人具有研究生学历的概率为，故答案为：.16【分析】以每相邻两天为一个基本事件，求出试验的基本事件数，再求出两天都不下雨的基本事件数，利用古典概率公式计算作答.【详解】依题意，以每相邻两天为一个基本事件，如16号与17号、17号与18

18、号为不同的两个基本事件，则从4月16号至30号期间，共有14个基本事件，它们等可能，其中相邻两天不下雨有16与17，19与20，20与21，21与22，22与23，26与27，27与28，28与29，共8个不同结果，所以运动会期间不下雨的概率为.故答案为：1736【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，则共有种分配方案.故答案为：3618#0.4【分析

19、】设出概率，利用期望求出相应的概率，进而利用求方差公式进行求解.【详解】设，则，从而，解得：，所以故答案为：19 9； 84.【分析】在二项展开式中二项式系数和为，利用此式可求出，再利用展开式通项进而可求出展开式中的常数项.【详解】由题意得，展开式通项为，则令，所以，因此常数项为.故答案为：9；84.20 【分析】根据个小矩形面积之和为1即可求出的值；根据频率分布直方图可以求出车速低于限速60 km/h的频率，从而可求出汽车有多少辆【详解】由解得：这300辆汽车中车速低于限速60 km/h的汽车有故答案为：；21(1)(2)(3)【分析】（1）前排选3人任意排，后排4人任意排，根据分步计数原理

20、可得（2）首先从其余5人中选出2人与甲、乙排在第二排，再将其余3人排在第一排，按照分步乘法计数原理计算可得；（3）先将甲、乙安排在除每排的两端外的三个位置中的两个位置，再将其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得；(1)解：排成两排就座，第一排3人，第二排4人，有种方法(2)解：若甲和乙都在第二排，先从其余5人中选出2人有种选法，将这两人与甲、乙排在第二排，再将其余3人排在第一排，故一共有种排法；(3)解：如甲和乙不能坐在每排的两端，则先将甲、乙安排在除每排的两端外的三个位置中的两个位置，再将其余人全排列即可，故一共有种排法；22(1)答案见解析；(2).【分析】（1）将基本事件列举在花括号

21、内即可；（2）列出2人中恰有一人参加语言服务包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.(1)这个试验的样本空间为.(2)设事件“抽取的2人中恰有一人参加语言服务”，则包含的基本事件有共个，所以.23(1)(2)【分析】（1）根据组合数公式，即可求出结果；（2）由题意可知，“没有女生入选”是“至少有位女生入选”的对立事件，由此即可求出结果(1)解：从位女生，位男生中选出人参加垃圾分类宣传活动，选择方法数为.(2)解：没有女生入选的选择方法数为，所以至少有位女生入选的选择方法数为.24(1)，；(2)；(3).【分析】（1）由题设可得求参数a，结合表格数据及已知总学生人数求参数b.（2）应用列

22、举法求古典概型的概率.（3）应用表格数据及方差公式可得且，即可确定成绩方差最小对应的值.(1)设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生由题意知，体能或文化优秀的学生共有人，则，解得 所以；(2)体能成绩为优秀的学生共有5人，在这5人中，文化成绩一般的人记为；文化成绩良好的人记为；文化成绩优秀的人记为从文化成绩优秀的学生中，随机抽取2人的样本空间，设事件：至少有一个人文化的成绩为优秀，所以，体能成绩优秀的学生中，随机抽取2人，至少有一个人文化成绩为优秀的概率是；(3)由题设知：体能测试成绩，一般，良好，优秀人数分别为5，对应平均分为100,120,140，所以体能测试平均成绩，所

23、以，而所以当时最小.25(1)20人(2)(3)【分析】（1）根据频率分布直方图先求出样本中分数在40，90）的频率，即可解出；（2）先根据频率分布直方图判断出75%分位数在70，80）之间，即可根据分位数公式算出；（3）根据频率分布直方图知分数不小于70分的人数中男女各占30人，从而可知样本中男生有60人，女生有40人，即可求出总体中男生和女生人数的比例(1)由频率分布直方图知，分数在50，90）的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9，在样本中分数在50，90）的人数为1000.9=90(人)，在样本中分数在40，90）的人数为95人，所以分数在40，90）的人数为4

24、000.95=380(人)，总体中分数小于40的人数为20人(2)测试成绩从低到高排序，占人数75%的人分数在70，80）之间，所以估计测评成绩的75%分位数为(3)由频率分布直方图知，分数不小于70分的人数共有60人，由已知男女各占30人，从而样本中男生有60人，女生有40人，故总体中男生与女生的比例为26(1)见解析(2)【分析】（1）利用列举法列出试验的样本空间，（2）由（1）可知共有16种情况，其中和为5的有4种，然后利用古典概型的概率公式求解即可(1)由题意可知试验的样本空间为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）

25、，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）(2)由（1）可知共有16种等可能情况，其中满足的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），4种，所以“”的概率为27(1)(2)(3)【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可求出答案.（2）根据平均数的公式可得到答案.（3）先求出一根棉花纤维长度达到特等品的概率，然后分恰好有一根和两根棉花(1)由解得(2)该样本数据的平均数为： (3)由题意一根棉花纤维长度达到特等品的概率为： 两根棉花中至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率28(1)(2)分布列见解析；【分析】（1）利用组合的知

26、识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；（2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望.(1)名同学中，会法语的人数为人，从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；选派的人中恰有人会法语的概率.(2)由题意可知：所有可能的取值为，；的分布列为：数学期望为29（）分布列见解析 （）（）见解析【解析】（）先得到可能的取值为，根据每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为，得到每种取值的概率，得到分布列；（）计算出每盘游戏没有获得15分的概率，从而得到两盘中至少有一盘获得15分的概率；（）设每盘游戏得分为，得到的分布列和数学期望，从而得到结论.【详解】解：（）可能的取值为，. 每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为.， 所以X的分布列为：0123（）设每盘游戏没有得到15分为事件，则.设“两盘游戏中至少有一次获得15分”为事件，则因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为.（）设每盘游戏得分为.由（）知，的分布列为：Y-1215120P的数学期望为. 这表明，获得分数的期望为负因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大【点睛】本题考查求随机变量的分布列和数学期望，求互斥事件的概率，属于中档题.