专题08 二次函数与平行四边形有关问题（专项训练）（解析版）.docx

1、专题08 二次函数与平行四边形有关问题（专项训练）1（2022攀枝花）如图，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）（1）求二次函数的表达式；（）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）二次函数的最小值为1，点M（1，m）是其对称轴上一点，二次函数顶点为（1，1），设二次函数解析式为ya（x1）21，将点O（0，0）代入得，a10，a1，y（x1）21x22x；（2）连接

2、OP，当y0时，x22x0，x0或2，A（2，0），点P在抛物线yx22x上，点P的纵坐标为t22t，SSAOB+SOAPSOBP+（t2+2t）tt2+1；（3）设N（n，n22n），当AB为对角线时，由中点坐标公式得，2+01+n，n1，N（1，1），当AM为对角线时，由中点坐标公式得，2+1n+0，n3，N（3，3），当AN为对角线时，由中点坐标公式得，2+n0+1，n1，N（1，3），综上：N（1，1）或（3，3）或（1，3）2（2022内蒙古）如图，抛物线yax2+x+c经过B（3，0），D（2，）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2

3、）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标（请在图2中探索）【解答】解：（1）将B（3，0），D（2，）代入yax2+x+c，解得，yx2+x+，令x0，则y，C（0，）；（3）令y0，则x2+x+0，解得x3或x1，A（1，0），设Q（0，t），P（m，m2+m+），当AB为平行四边形的对角线时，m312，P（2，）；当AQ为平行四边形的对角线时，3+m1，解得m4，P（4，）；当AP为平行四边形的对角线时，m13，解得m4，P（4，）；综上所述：P点坐标为（2，）或（4，）或（4，）3（2022牡丹区三模）如图，直线yx+

4、4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线yax2+x+c经过B，C两点（1）求抛物线的解析式；（2）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）直线yx+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线yax2+x+c，得：，解之，得，抛物线的解析式为（32存在由抛物线可得对称轴是直线x1Q是抛物线对称轴上的动点，点Q的横坐标为1当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，点Q到点P的水平距离也是4点P的横

5、坐标是5或3，点P的坐标为或；当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，点B到点P的水平距离也是3，点P的坐标为综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或4（2022东莞市校级一模）如图所示，抛物线yx2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，3），已知AB4，对称轴在y轴左侧（1）求抛物线的表达式；（2）若点N在对称轴上，则抛物线上是否存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c交y轴于点C（0，3），c3，抛物线的解析式

6、为yx2+bx3，设A（x1，0），B（x2，0），由题意得x2x14，（x1+x2）24x1x216，x1+x2b，x1x23，b2+1216，b2，又对称轴在y轴左侧，b2，抛物线的表达式为yx2+2x3；（2）存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形抛物线的解析式为yx2+2x3，y0时，x3或x1，A（3，0），B（1，0），若OA为边，AOMN，OAMN3，N在对称轴x1上，点M的横坐标为2或4，当x2时，y5，当x4时，y5，M（2，5）或（4，5）；若OA为对角线时，A（3，0），O（0，0），OA的中点的坐标为（，0），N在直线x1上，设M的横坐标为m，m2，把m2代入抛物

7、线解析式得y3，M（2，3）综上所述，M的坐标为（2，5）或（4，5）或（2，3）；5（2022毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E（1）求抛物线yx2+bx+c的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c的顶点为D

8、（2，1），抛物线的表达式为：y（x2）2+1x2+4x3（2）由（1）知，抛物线的表达式为：yx2+4x3，令x0，则y3，C（0，3）；令y0，则x1或x3，A（1，0），B（3，0）直线BC的解析式为：yx3设平移后的抛物线的解析式为：y（x2）2+1h，令（x2）2+1hx3，整理得x23x+h0，该抛物线与直线BC始终有交点，94h0，hh的最大值为（3）存在，理由如下：由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x2，E（2，1），DE2，设点M（m，m2+4m3），若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况：当DE为边时，DEMN，则N（m，m3），MN|m2+4m3

9、（m3）|m2+3m|，|m2+3m|2，解得m1或m2（舍）或m或mN（1，2）或（，）或（，）当DE为对角线时，设点N的坐标为t，则N（t，t3），解得m或（舍），N（3，0）综上，点N的坐标为N（1，2）或（，）或（，）或（3，0）6（2022娄底）如图，抛物线yx22x6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0m6）在抛物线上，当m取何值时，PBC的面积最大？并求出PBC面积的最大值（3）点F是抛物线上的动点，作FEAC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F

10、的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）当x0时，y6，C（0，6），当y0时，x22x60，x16，x22，A（2，0），B（6，0）；（2）方法一：如图1，连接OP，设点P（m，2m6），SPOCxP3m，SBOP|yP|+2m+6），SBOC18，SPBCS四边形PBOCSBOC（SPOC+SPOB）SBOC3m+3（+2m+6）18（m3）2+，当m3时，SPBC最大；方法二：如图2，作PQAB于Q，交BC于点D，B（6，0），C（0，6），直线BC的解析式为：yx6，D（m，m6），PD（m6）（2m6）+3m，SPBC（m3）2+，当m3时，SPBC最大；（3）如图3，当AC

11、FE时，AECF，抛物线对称轴为直线：x2，F1点的坐标：（4，6），如图4，当ACEF时，作FGAE于G，FGOC6，当y6时，x22x66，x12+2，x222，F2（2+2，6），F3（22，6），综上所述：F（4，6）或（2+2，6）或（22，6）7（2022宜宾）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；【解答】解：（1）

12、抛物线yax2+bx+c经过A（3，0）、B（1，0），C（0，3），解得，抛物线的解析式为yx2+2x+3，y（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4）；（2）设直线AC的解析式为ykx+b，把A（3，0），C（0，3）代入，得，直线AC的解析式为yx+3，过点F作FGDE于点G，以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，ACEF，ACEF，OAFG，OACGFE，OACGFE（AAS），OAFG3，设F（m，m2+2m+3），则G（1，m2+2m+3），FG|m1|3，m2或m4，当m2时，m2+2m+35，F1（2，5），当m4时，m2+2m+35，F2（4，5）综上所述，满

13、足条件点F的坐标为（2，5）或（4，5）；7（2022重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQx轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P与点P关于抛物线yx2+bx+c的对称轴对称将抛物线yx2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来【解答】解：（1）抛物线

14、yx2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3），抛物线的函数表达式为y；（2）A（4，0），B（0，3），OA4，OB3，由勾股定理得，AB5，PQOA，PQOB，AQMAOB，MQ：AQ：AM3：4：5，AM，PM+，B（0，3），A（4，0），lAB：y，设P（m，），M（m，），Q（m，0），PM+2MQ，开口向下，0m4，当m1时，PM+的最大值为，此时P（1，）；（3）由y知，对称轴x，P（2，），直线l：x4，抛物线向右平移个单位，平移后抛物线解析式为y，设D（4，t），C（c，），AP与DC为对角线时，D（4，），PD与AC为对角线时，D（4，），AD与PC为

15、对角线时，D（4，），综上：D（4，）或（4，）或（4，）8（2022青羊区校级模拟）抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PDAB，垂足为D，PD交AC于点E作PFAC，垂足为F，求PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）抛物

16、线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（3，0），B（1，0）两点，设ya（x+3）（x1），把C（0，3）代入，得：3a（0+3）（01），解得：a1，y（x+3）（x1）x22x+3，该抛物线的函数表达式为yx22x+3；（2）A（3，0），C（0，3），OAOC3，ACO45，PDAB，OCAB，PDOC，PEFACO45，PFAC，PEF是等腰直角三角形，如图1，过点F作FHPE于点H，则FHPE，SPEFPEFHPE2，当PE最大时，SPEF最大，设直线AC的解析式为ykx+d，则，解得：，直线AC的解析式为yx+3，设P（t，t22t+3），则E（t，t+3），PEt22t+3

17、（t+3）t23t（t+）2+，10，当t时，PE取得最大值，SPEFPE2（）2，PEF的面积的最大值为；（3）当AC为平行四边形的边时，则有PQAC，且PQAC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则AHGACOPQG，在PQG和ACO中，PQGACO（AAS），PGAO3，点P到对称轴的距离为3，又y（x+1）2+4，抛物线对称轴为直线x1，设点P（x，y），则|x+1|3，解得：x2或x4，当x2时，y5，当x4时，y5，点P坐标为（2，5）或（4，5）；当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，A（3，0），C（0，3），M（，），点Q在对称轴

18、上，点Q的横坐标为1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（1）2（）3，x2，此时y3，P（2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，5）或（4，5）或（2，3）9（2022九龙坡区自主招生）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B分别位于原点的左右两侧，且BO3AO3已知直线ykx+n过B，C两点（1）求抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D记PDC的面积为S1，ADC的面积为S2，若S1：S21：2，求点P的坐标；如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF

19、BC，垂足为F点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）BO3AO3AO1A（1，0），B（3，0），把A（1，0），B（3，0）代入yx2+bx+c得：，解得，抛物线的表达式为yx2+2x+3；（2）yx2+2x+3，点C坐标为（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入ykx+n得：，解得，直线BC的表达式为yx+3过P作PMx轴交BC于M，过A作ANx轴交BC于N，如图1，ANPM，PMDAND，设P（m，m2+2m+3），则M（m，m+3），PMm2+2m+3（m+3）m2+

20、3m，A（1，0），N（1，4），AN4，m1或2，点P的坐标为（1，4）或（2，3）；存在，理由如下：过点F作FGOB于G，如图2中，yx2+2x+3的对称轴为x1，OE1，B（3，0），C（0，3）OCOB3，又COB90，OCB是等腰直角三角形，EFB90，BEOBOE2，EFB是等腰直角三角形，FGGBEG1，点F的坐标为（2，1），当EF为边时，四边形EFPQ为平行四边形，QEPF，QEPFy轴，点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当x2时，y22+22+33，点P的坐标为（2，3），QEPF312，点Q的坐标为（1，2），根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是

21、平行四边形当EF为对角线时，如图3中，四边形PEQF为平行四边形，QEPF，QEPFy轴，同理求得：点P的坐标为（2，3），QEPF312，点Q的坐标为（1，2）；综上，点P的坐标为（2，3）时，点Q的坐标为（1，2）或（1，2），P（0，3）时，Q（1，4）10（2022鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PDx轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；【解答】解：（1）将点A（，0），B（3，）代入到yax2+bx+2中得：，解得：，抛物线的解析式为yx2+x+2；（2）设点P（m，m2+m+2），yx2+x+2，C（0，2），设直线BC的解析式为ykx+c，解得，直线BC的解析式为yx+2，D（m，m+2），PD|m2+m+2m2|m23m|，PDx轴，OCx轴，PDCO，当PDCO时，以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，|m23m|2，解得m1或2或或，点P的横坐标为1或2或或；