专题1.5 矩形折叠问题-（北师大版）.docx

1、（挑战压轴）专题1.5 矩形折叠问题【方法技巧】在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段长度中的适当运用。 【典例分析】【典例1】（2021徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处已知AB4，BC8（1）求证：AEF是等腰三角形；（2）求线段FD的长【变式1-1】（2021大连）如图，在菱形ABCD中，BAD60，点E在边BC上，将ABE沿直线AE翻折180，得到ABE，点B的对应点是点B若ABBD，BE2，则BB的

2、长是 【变式1-2】（2021江西）如图，将ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若B80，ACE2ECD，FCa，FDb，则ABCD的周长为 【典例2】（2021春雨花区月考）小西在学完第十八章平行四边形之后，研究了新人教版八年级下册数学教材第64页的数学活动1其内容如下：如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60，30，15等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）：（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平（2）再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）

3、：（3）将MN延长交BC于点G，将BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：直接写出BE和BN的数量关系： 求ABM的角度大小；求证：四边形BGHM是菱形【变式2-1】（2019黔东南州一模）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（）AB3CD【变式2-2】（2017鹿城区校级三模）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH3，EF4，则边AD的长是（）A2B3C4.8D5【课后训练】1.（2021黔西南

4、州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB6，BC9，M是BC上的点，且CM3，将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C处，折痕为MN，则线段AN的长是 2.（2021苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将ABC沿着AC所在的直线折叠得到ABC，BC交AD于点E，连接BD，若B60，ACB45，AC，则BD的长是（）A1BCD3.（2021牡丹江）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE1将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（）A2B2C6D54（2021黔东南州模拟）如图，矩形纸片ABCD中，已知

5、AD8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF3，则AB的长为5（2020广东）如图，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE（1）求证：ADECED；（2）求证：DEF是等腰三角形6（2020兴化市模拟）如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB4，BC8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM（1）求证：PMPN；（2）当P，A重合时，求MN的值；（3）若PQM的面积为S，求S的取值范围（挑战压轴）专

6、题1.5 矩形折叠问题【方法技巧】在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段长度中的适当运用。 【典例分析】【典例1】（2021徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处已知AB4，BC8（1）求证：AEF是等腰三角形；（2）求线段FD的长【答案】（1） 略 （2）FD3【解答】（1）证明：由折叠性质可知，AEFCEF，由矩形性质可得ADBC，AFECEF，AEFAFEAEAF，故AEF为等腰三角形（2）解：由折叠可得A

7、ECE，设CExAE，则BEBCCE8x，B90，在RtABE中，有AB2+BE2AE2，即42+（8x）2x2，解得：x5由（1）结论可得AFAE5，故FDADAFBCAF853【变式1-1】（2021大连）如图，在菱形ABCD中，BAD60，点E在边BC上，将ABE沿直线AE翻折180，得到ABE，点B的对应点是点B若ABBD，BE2，则BB的长是 【答案】2【解答】解：菱形ABCD，ABAD，ADBC，BAD60，ABC120，ABBD，BAB，将ABE沿直线AE翻折180，得到ABE，BEBE，ABAB，ABB，EBBABEABB1207545，EBBEBB45，BEB90，在RtBE

8、B中，由勾股定理得：BB，故答案为：2【变式1-2】（2021江西）如图，将ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若B80，ACE2ECD，FCa，FDb，则ABCD的周长为 【答案】4a+2b【解答】解：B80，四边形ABCD为平行四边形D80由折叠可知ACBACE，又ADBC，DACACB，ACEDAC，AFC为等腰三角形AFFCa设ECDx，则ACE2x，DAC2x，在ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80180，解得：x20由三角形外角定理可得DFC4x80，故DFC为等腰三角形DCFCaADAF+FDa+b，故平行四边形ABCD的周长为2（DC+

9、AD）2（a+a+b）4a+2b故答案为：4a+2b【典例2】（2021春雨花区月考）小西在学完第十八章平行四边形之后，研究了新人教版八年级下册数学教材第64页的数学活动1其内容如下：如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60，30，15等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）：（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平（2）再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：（3）将MN延长交BC于点G，将BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平请根据小西

10、和小雅的探究，完成下列问题：直接写出BE和BN的数量关系： 求ABM的角度大小；求证：四边形BGHM是菱形【答案】（3）BEBN ABM30 四边形BGHM是菱形【解答】解：（3）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，BEAB，再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BNABBN，BEBN，故答案为：BEBN；解：由折叠的性质得：BENAEN90，BEBN，BNE30，ABN60，由折叠的性质得：ABMABN30；证明：由得ABM30，四边形ABCD是矩形，AABC90，AMBBMN60，MBG60，BMG是等边三角形，BMBG，由折叠得B

11、MMH，BGGH，BMMHBGGH，四边形BGHM是菱形【变式2-1】（2019黔东南州一模）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（）AB3CD【答案】C【解答】解：将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，EFDE，ABAD6cm，A90点E是AB的中点，AEBE3cm，在RtAEF中，EF2AF2+AE2，（6AF）2AF2+9AF故选：C【变式2-2】（2017鹿城区校级三模）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH3，EF4，则边AD

12、的长是（）A2B3C4.8D5【答案】D【解答】解：HEMAEH，BEFFEM，HEFHEM+FEM18090，同理可得：EHGHGFEFG90，四边形EFGH为矩形ADAH+HDHM+MFHF，HF5，AD5，故选：D【课后训练】1.（2021黔西南州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB6，BC9，M是BC上的点，且CM3，将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C处，折痕为MN，则线段AN的长是 【答案】4【解答】解：连接PM，如图AB6，BC9，CM3，BMBCCM936，由折叠性质得，CDPC6，CPCMPBM90，CMCM3，在RtPBM和RtMCP中

13、，RtPBMRtMCP（HL），PBCM3，PAABPB633设ANx，则ND9xPN，在RtAPN中，AN2+AP2PN2，即x2+32（9x）2，解得x4，AN的长是4故答案为42.（2021苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将ABC沿着AC所在的直线折叠得到ABC，BC交AD于点E，连接BD，若B60，ACB45，AC，则BD的长是（）A1BCD【答案】B【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，ADC60，CAEACB45，将ABC沿AC翻折至ABC，ACBACB45，ABCB60，AEC180CAEACB90，AECEAC，AEC90，ABC60，ADC60，BA

14、D30，DCE30，BEDE1，BD故选：B3.（2021牡丹江）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE1将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（）A2B2C6D5【答案】D【解答】解：设DFm，AGn，正方形的边长为3，CF3m，BG3n，由折叠可得，AFEF，AGGE，在RtADF中，AF2DF2+DA2，即AF2m2+9，在RtEFC中，EF2EC2+CF2，BE1，EC2，EF24+（3m）2，m2+94+（3m）2，m，在RtBEG中，GE2BG2+BE2，n2（3n）2+1，n，SGEB1（3），SADF31，SCE

15、F2（3），S四边形AGEFS正方形ABCDSGEBSADFSCEF915，故选：D4（2021黔东南州模拟）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF3，则AB的长为【答案】6【解答】解：四边形ABCD是矩形，AD8，BC8，AEF是AEB翻折而成，BEEF3，ABAF，CEF是直角三角形，CE835，在RtCEF中，CF4，设ABx，在RtABC中，AC2AB2+BC2，即（x+4）2x2+82，解得x6，则AB6故答案为：65（2020广东）如图，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，A

16、E交CD于点F，连接DE（1）求证：ADECED；（2）求证：DEF是等腰三角形【答案】（1）略 （2）略【解答】证明：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，ABCD由折叠的性质可得：BCCE，ABAE，ADCE，AECD在ADE和CED中，ADECED（SSS）（2）由（1）得ADECED，DEAEDC，即DEFEDF，EFDF，DEF是等腰三角形6（2020兴化市模拟）如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB4，BC8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM（1）求证：PMPN；（2）当P

17、，A重合时，求MN的值；（3）若PQM的面积为S，求S的取值范围【答案】（1） 略 （2）MN2QN2 （3）4S5【解答】（1）证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，PMCN，PMNMNC，MNCPNM，PMNPNM，PMPN（2）解：点P与点A重合时，如图2中，设BNx，则ANNC8x，在RtABN中，AB2+BN2AN2，即42+x2（8x）2，解得x3，CN835，AC4，CQAC2，QN，MN2QN2（3）解：当MN过点D时，如图3所示，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为SS菱形CMPN444，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S545，4S5，