专题11函数与方程-2021年新高考数学基础考点一轮复习.docx

1、专题11 函数与方程【考点总结】1函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)三个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点2函数零点的判定如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是f(x)0的根我们把这一结论称为函数零点存在性定理3二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0) 的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0

2、)(x1，0)无交点零点个数来源:Zxxk.Com两个一个零个【常用结论】有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号【易错总结】(1)错用零点存在性定理；(2)误解函数零点的定义；(3)忽略限制条件；(4)错用二次函数在R上无零点的条件例1函数f(x)x的零点个数是_解析：函数的定义域为x|x0，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0即可，即1m0且8m0，解得8m1.答案：(8，1例4若二次函数f(x)x2kx

3、k在R上无零点，则实数k的取值范围是_解析：由题意得k24k0，解得0k4.答案：(0，4)【考点解析】【考点】一、函数零点所在区间的判断例1设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0，1)B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：选B.因为f(1)ln 11210，f(2)ln 20，所以f(1)f(2)0，因为函数f(x)ln xx2的图象是连续的，且为增函数，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2)例2若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)

4、和(c，)内 D(，a)和(c，)内解析：选A.因为abc，所以f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.例3设函数y1x3与y2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_解析：令f(x)x3，则f(x0)0，易知f(x)为增函数，来源:Zxxk.Com有f(1)0，所以x0所在的区间是(1，2)来源:Z&xx&k.Com答案：(1，2)确

5、定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 来源:学_科_网【考点】二、函数零点的个数例1、(1)函数f(x)的零点个数是_(2)函数f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零点个数为_【解析】(1)当x0时，令x220，解

6、得x(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点；当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)f(x)2(1cos x)sin x2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，x1，函数f(x)的零点个数即为函数y1sin 2x(x1)与 y2|ln(x1)|(x1)的图象的交点个数分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点【答案】(1)2(2)2判断函数零点个数的方法(1)解方程法：所对应方程f(x)0有几个不同的实数解就有几个零点(2)零点

7、存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数 【变式】1设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)exx3，则f(x)的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：选C.因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，所以0是函数f(x)的一个零点当x0时，令f(x)exx30.则exx3.分别画出函数yex和yx3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，)上有一个零点又根据对称性知，当x0时函数f(x)也有一个零点综上所述，f(x

8、)的零点个数为3.【变式】2函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为_解析：由f(x)0，得|log0.5x|，作出函数y1|log0.5x|和y2的图象，由右图知两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点答案：2【考点】三、函数零点的应用角度一根据函数零点个数求参数例1、(2020安徽合肥二模)设函数f(x)若函数g(x)f(x)b有三个零点，则实数b的取值范围是()A(1，) BC(1，)0 D(0，1【解析】令g(x)f(x)b0，函数g(x)f(x)b有三个零点等价于f(x)b有三个根，当x0时，f(x)ex(x1)，则f(x)ex(x1)exex(x2 )，由f(x)0得

9、ex(x2)0，即x0得ex(x2)0，即2x0，此时f(x)为增函数，即当x2时，f(x)取得极小值f(2)，作出f(x)的图象如图，要使f(x)b有三个根，则0b1，故选D.【答案】D角度二根据函数有无零点求参数例2、(1)函数f(x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A(2，) B2，)C. D(2)已知函数f(x)则使函数g(x)f(x)xm有零点的实数m的取值范围是()A0，1) B(，1)C(，1(2，) D(，0(1，)【解析】(1)由题意知方程axx21在上有解，即ax在上有解，设tx，x，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.(2)函数g(x)f(x)xm

10、的零点就是方程f(x)xm的根，画出h(x)f(x)x的大致图象(图略)观察它与直线ym的交点，得知当m0或m1时，有交点，即函数g(x)f(x)xm有零点【答案】(1)D(2)D角度三根据函数零点的范围求参数例3、若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是_【解析】依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足即解得m.【答案】来源:学科网ZXXK根据函数零点的情况求参数的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解 【变式】1方程log(a2x)2x有解，则a的最小值为_解析：若方程log(a2x)2x有解，则a2x有解，即2xa有解，因为2x1，故a的最小值为1.答案：1【变式】2已知函数f(x)，g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是_解析：函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点，作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1.答案：a1