专题11 导数压轴题之隐零点问题（解析版）.docx

1、导数章节知识全归纳专题11 导数压轴题中有关隐零点问题一 隐零点问题知识方法讲解：1.“隐零点”概念：隐零点主要指在研究导数试题中遇到的对于导函数f(x)=0时，不能够直接运算出来或是不能够估算出来，导致自己知道方程有根存在，但是又不能够找到具体的根是多少，通常都是设x=x0，使得f(x)=0成立，这样的x0就称为“隐藏零点”。2.“隐零点”解决方向：针对隐零点问题通常解决步骤：1.求导判定是否为隐零点问题，2.设x=x0，使得f(x)=0成立，3.得到单调性，并找到最值，将x0带入f(x),得到f(x0),4.再将x0的等式代换，再求解（注意：x0的取值范围）二 隐零点问题中的典型例题：典例

2、1已知函数，（1）求在的极值；（2）证明：在有且只有两个零点解：（1）由，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，所以，函数的极小值为，无极大值；（2）证明：，其中.则，令，则.当时，则在上单调递减，所以，存在，使得.当时，此时函数在上单调递增，当时，此时函数在上单调递减.,而，则，又，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则，所以，.由零点存在定理可知，函数在上有两个零点；当时，设，则对任意的恒成立，所以，所以，函数在上没有零点，综上所述，函数在上有且只有两个零点.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根

3、据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.典例2已知函数在处的切线与直线：平行（1）求的值；（2）若，试讨论在上的零点个数解：（1）在处的切线与直线：平行，则有，则（2），令，则，当时，且，则，则在单调递减，当时，且在单调递减，则，在单调递减，由于，则，在单调递减，则有一个零点，当时，由于在单调递减，则，在单调递增，则，则在无零点，当时，在单调递减，则存在使，

4、当，单调递增，当，单调递减，若，则由，及的增减性可得：在无零点，此时，若，由，和的增减性可得：在有一个零点，此时，综上，当时，在无零点，当时，在有一个零点【点睛】关键点点睛：本题第二问考查利用导数分析函数的零点个数问题，解答此问题的关键在于多次求导以及分类讨论思想的运用；当原函数的导函数无法直接判断出正负时，可先通过将原函数的导函数看作新函数，利用导数思想先分析的单调性以及取值正负，由此确定出的单调性并分析其取值正负，从而的正负可分析，则根据的单调性以及取值可讨论零点个数.典例3.已知函数.（1）判断函数f(x)在上的零点个数，并说明理由；（2）当时，求实数m的取值范围.解：（1）解法一：由题

5、意得，当时，易得函数单调递增，而，故，当时，；当时，而，函数f(x)在上无零点；当时，函数f(x)在上单调递增，而，函数f(x)在上有1个零点.综上所述，函数f(x)在上有1个零点.（2）令，则.，令，因为时，当时，所以在上恒成立，则h(x)为増函数，即为增函数当，即时，g(x)在上为增函数，即在上恒成立；当m+20，即m0,当a=0时,f(x)= ，不合题意；当a0时,x(0,),f(x)0时,x(0, ),f(x)0,从而f(x)在(0, )单调递增，又函数f(x)=axsinx (aR)在0, 上图象是连续不断的，故函数在0, 上上的最大值为f()=a=，解得a=1，综上所述,得；(2)

6、函数f(x)在(0,)内有且仅有两个零点。证明如下：由(I)知,f(x)=xsinx,从而有f(0)= 0，又函数在0, 上图象是连续不断的,所以函数f(x)在(0, )内至少存在一个零点，又由(I)知f(x)在(0, )单调递增,故函数f(x)在(0, )内仅有一个零点。当x,时,令g(x)=f(x)=sinx+xcosx，由g()=10,g()=0,且g(x)在,上的图象是连续不断的，故存在m,),使得g(m)=0.由g(x)=2cosxxsinx,知x(,)时,有g(x)g(m)=0,即f(x)0，从而f(x)在(,m)内单调递增故当x(,m)时,f(x)f(2)=320，从而(x)在(

7、,m)内无零点；当x(m,)时,有g(x)g(m)=0,即f(x)0,f()0且f(x)在m,上的图象是连续不断的，从而f(x)在m,内有且仅有一个零点。综上所述,函数f(x)在(0,)内有且仅有两个零点。变式4.已知函数，（1）讨论函数在上的单调性；（2）若方程在区间上有且只有一个实数根，求m的取值范围解：（1）的定义域为，设，则，当时，当且仅当时取“=”所以在上单调递减，又，所以当时，当时，因此在上单调递增，在上单调递减（2）即为，两边同时乘以x得，得，令，则，由条件知在区间上有且只有一个零点当时，因为，所以，即，所以在区间上单调递增，又，于是在区间上无零点，不合题意当时，令，得，所以存在唯一的，使得，当时，单调递增；当时，单调递减又注意到，于是当，即时，在区间上无零点，不合题意；当，即时，在区间上有且只有一个零点，符合题意综上所述，实数m的取值范围是【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用