专题14 结构不良题型（数列）（教师版）.docx

1、专题14 结构不良题型（数列）结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。数列部分主要涉及到数列的求和以及与不等式有关的问题。一、题型选讲题型一 、数列中的求和问题例1、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，（1）在，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n，均为数列中的项，说明理由；（2）设数列满足，n，求数列的前n项和注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解

2、：（1）选， 因为S1S32S22， 所以S3S2S2S12，即a3a22， 又数列an是公比为2的等比数列， 所以4a12a12，解得a11， 因此an12n12n1 此时任意m，nN*，aman2m12n12mn2，由于mn1N*，所以aman是数列an的第mn1项， 因此数列an满足条件P 选， 因为S3，即a1a2a3， 又数列an是公比为2的等比数列， 所以a12a14a1，解得a1， 因此an2n1 此时a1a2a1an，即a1a2不为数列an中的项， 因此数列an不满足条件P 选， 因为a2a34a4， 又数列an是公比为2的等比数列， 所以2a14a148a1，又a10，故a1

3、4， 因此an42n12n1 此时任意m，nN*，aman2m12n12mn2，由于mn1N*，所以aman是为数列an的第mn1项， 因此数列an满足条件P （2）因为数列an是公比为2的等比数列， 所以2，因此bnn2n1 所以Tn120221322n2，则2Tn121222(n1)2n2，两式相减得Tn121222n2 n2 (1n)21， 所以Tn(n1)21例2、（湖北黄冈地区高三联考）已知函数（k为常数，且）（1）在下列条件中选择一个，使数列是等比数列，说明理由； 数列是首项为2，公比为2的等比数列； 数列是首项为4，公差为2的等差数列； 数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项

4、和构成的数列（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.【解析】（1）不能使成等比数列.可以：由题意， 1分即，得，且，. 3分常数且，为非零常数，数列是以为首项，为公比的等比数列 4分（2）由（1）知，所以当时，. 5分因为，所以，所以， 7分 . 10分例3、（2021年辽宁锦州联考）在，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答设等差数列的前项和为，数列为等比数列，_，求数列的前项和解：选：当时，当时，又满足，所以设的公比为，又因为，得，所以；由数列的前项和为，又可知，数列的前项和为，故选：设公差为，由解得所以设的公比为，又因为，得，所以由数列的前项和为，又可知，数列的前

5、项和为，故选：由，所以，所以设的公比为，又因为，得由数列的前项和为，又可知，数列的前项和为，故例4、（江苏省扬州2021届高三上学期期初学情调研）在，成等差数列，成等比数列，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分已知为数列的前n项和，(n)，且 （1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和题型二、数列中的不等式问题例5、（江苏省南通2021届高三上学期期初学情调研）在为等比数列，,为等差数列，,为等比数列，。这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答。已知数列满足,数列满足_,为数列的前项和,是否存在正整数,使得成立?若存在,求

6、出的最小值；若不存在,请说明理由。解：由可得,两式相减可得, 所以, 当时,由可得,满足, 所以, 若选可得,所以,此时, 可得, ,可得,所以存在最小值为. 若选,可得，所以，此时可得，所以存在最小值为10若选,可得，所以，此时所以那么两式相减得，所以不存在整数k例6、（2021年湖北咸阳中学联考）在，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答在已知等比数列的公比前项和为，若 _，数列满足（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和，并证明解：（1）若选择，可得，化为，解得舍去），又因为，解得，所以，；选择，可得，解得，又，解得，可得，又因为，解得，所以，；选择，可得，即，解得，又因为，

7、解得，所以，；（2）证明：，由，可得例7、（2021年湖北仙桃中学模拟）在，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答已知数列的前项和为，满足_，_；又知正项等差数列满足，且，成等比数列（1）求和的通项公式；（2）证明：解：选择：（1）解：由当时，有，两式相减得：，即，又当时，有，又，也适合，所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；设正项等差数列的公差为，且，成等比数列，即，解得：或（舍，故，（2）证明：由（1）可得，选择：（1）解：由当时，两式相减得：，即，又当时，有，又，也适合，所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；设正项等差数列的公差为，且，成等比数列，即，解得：或（舍，故

8、，（2）证明：由（1）可得，二、达标训练1、在等差数列中，已知，（1）求数列的通项公式；（2）若_，求数列的前项和在，这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则，解得，（2）方案一：选条件由（1）知，方案二：选条件由（1）知，当为偶数时，当为奇数时，为偶数，；方案三：选条件由（1）知，两式相减，可得2、在，三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答已知等差数列的前项和为，满足：，（1）求的最小值；（2）设数列的前项和，证明：解：（1）若选择；由题知：，又因为，所以所以，解得所以所以，所以若选择；由题知：，又因为，所以所以，所以所以，所以若选择；

9、由题知：，所以由题知：，所以所以，所以所以，所以证明（2）因为，所以所以3、从条件，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答已知数列的前项和为，_若，成等比数列，求的值解：选择，相减可得：，可得：，成等比数列，解得选择，变形得：，化为：，数列是等差数列，首项为1，公差为1，解得时，成等比数列，解得选择，相减可得：，化为：，可得：，数列是首项与公差都为1的等差数列，成等比数列，解得4、在，；，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目已知为等差数列的前项和，若_（1）求；（2）记，求数列的前项和解：（1）选择条件：设等差数列的公差为，则解得，；选择条件：，当时，即，当时，也适合上式，；选择条件：设等差数列的公差为，则，解得，或，不合题意，舍去，；（2）由（1）可知，