（同步优化设计）2021年高中数学 第二章 圆锥曲线 1.2 椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升（含解析）北师大版选择性必修第一册.docx

1、第二章圆锥曲线 1 椭圆1.2 椭圆的简单几何性质 课后篇巩固提升合格考达标练1.已知椭圆 C:=1 的一个焦点为(2,0),则 C 的离心率为()A.B.C.D.答案 C解析因为椭圆 C 的一个焦点为(2,0),所以其焦点在 x 轴上,c=2,所以 a2-4=c2,所以 a2=8,a=2,所以椭圆 C 的离心率 e=.2.过椭圆 =1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A.8,6B.4,3C.2,D.4,2 答案 B解析由题意知 a=2,b=,c=1,最长弦过两个焦点,长为 2a=4,最短弦垂直于 x 轴,长度为当 x=c=1 时,纵坐标的绝对值的 2 倍,长度为 3.3.已知椭圆 =1

2、与椭圆 =1 有相同的长轴,椭圆 =1 的短轴长与椭圆 =1 的短轴长相等,则()A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9 或 a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9答案 D解析椭圆 =1 的长轴长为 10,椭圆 =1 的短轴长为 6,由题意可知椭圆 =1 的焦点在 x 轴上,即有 a=5,b=3.所以 a2=25,b2=9.4.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值为()A.B.C.2D.4答案 B解析因为椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,短半轴长为 1,长轴长是短轴长的 2 倍,故 =2,解得 m

3、=.5.焦点在 x 轴上,长、短半轴长之和为 10,焦距为 4,则椭圆的标准方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案 A解析依题意得 c=2,a+b=10,又 a2=b2+c2,所以解得 a=6,b=4,椭圆的标准方程为 =1.6.已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A,B 为焦点,且过点 C,D 的椭圆的离心率为 .答案 解析如图,AB=2c=4,点 C 在椭圆上,|CB|+|CA|=2a=3+5=8,e=.7.已知椭圆的短半轴长为 1,离心率 0e ,则长轴长的取值范围为 .答案(2,4解析e=-,b=1,0e ,0-,则 1a2,2b0)的左、右焦点分别为 F1(-1,

4、0),F2(1,0),且椭圆 C 经过点 M ,求椭圆 C 的离心率.解 2a=|MF1|+|MF2|=-.所以 a=.又由已知 c=1,所以椭圆 C 的离心率 e=.等级考提升练9.如图,已知 F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,现以 F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点 M,N,若过 F1的直线 MF1是圆 F2的切线,则椭圆的离心率为()A.-1B.2-C.D.答案 A解析过 F1的直线 MF1是圆 F2的切线,F1MF2=90,|MF2|=c,|F1F2|=2c,|MF1|=c,由椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=c+c=2a,椭圆离心率 e=-1.10.椭圆(m+1)x2

5、+my2=1 的长轴长是()A.-B.-C.D.-答案 C解析椭圆方程可化简为 =1,由题意,知 m0,a=,椭圆的长轴长 2a=.11.若将一个椭圆绕中心旋转 90,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中,是“对偶椭圆”的方程是()A.=1B.=1C.=1D.=1答案 A解析由题意,知当 b=c 时,将一个椭圆绕中心旋转 90,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,只有选项 A 符合题意,故选 A.12.已知点 P(2,1)在椭圆 =1(ab0)上,点 M(a,b)为平面上一点,O 为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为()A.

6、B.C.D.答案 C解析点 P(2,1)在椭圆 =1(ab0)上,可得 =1,M(a,b)为平面上一点,O 为坐标原点,则|OM|=3,当且仅当 a2=2b2时,等号成立,此时由 解得 a2=6,b2=3.所以 e=-.故选 C.13.(多选题)如图,已知 F1,F2分别是椭圆 =1(ab0)的左、右焦点,点 P 是该椭圆在第一象限内的点,F1PF2的平分线交 x 轴于 Q 点,且满足 =4 ,则椭圆的离心率 e 可能是()A.B.C.D.答案 CD解析 =4 ,|=c,|=c,则 =c.PQ 是F1PF2的平分线,又|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|=,|PF2|=.在PF1F2中,由

7、余弦定理得 cosF1PF2=-e2,-1cosF1PF21,-1 e21,解得 eb0),由 e=,知 ,故 .由于ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=16,故 a=4,b2=8,椭圆 C 的方程为 =1.15.如图,把椭圆 =4 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F 是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.答案 28解析根据题意,把椭圆 =4 的长轴 AB 分成

8、8 等份,设另一焦点为 F2,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F 是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对称性知,|P1F|+|P7F|=|P7F2|+|P7F|=2a,同理,其余两对的和也是 2a.又|P4F|=a,|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=28.16.(1)求与椭圆 =1 有相同的焦点,且离心率为 的椭圆的标准方程;(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为 8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程.解(1)c=-,所求椭圆的焦点为(-,0

9、),(,0).设所求椭圆的方程为 =1(ab0).e=,c=,a=5,b2=a2-c2=20,所求椭圆的方程为 =1.(2)椭圆的焦点在 x 轴上,设它的标准方程为 =1(ab0).2c=8,c=4,又 a=6,b2=a2-c2=20.椭圆的方程为 =1.新情境创新练17.椭圆 =1(ab0)上有一点 P,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆内一点 Q 在线段 PF2的延长线上,且 QF1QP,sin F1PQ=,则该椭圆离心率的取值范围是()A.()B.()C.()D.()答案 D解析QF1QP,点 Q 在以 F1F2为直径,原点为圆心的圆上,点 Q 在椭圆的内部,以 F1F2为直径的圆在椭圆内,cb.c2a2-c2,e2 ,故 0e .sin F1PQ=,cos F1PQ=.设|PF1|=m,|PF2|=n,则|PF1|+|PF2|=m+n=2a,在PF1F2中,由余弦定理得 4c2=m2+n2-2mn .4c2=(m+n)2-2mn-2mn ,即 4c2=4a2-mn,mn=(a2-c2).由基本不等式得 mn()=a2,当且仅当 m=n 时取等号,由题意知 QF1QP,mn,mn()=a2,(a2-c2)a2,a2 ,e ,综上可得 e .