专题15.9 轴对称图形与等腰三角形章末十大题型总结（培优篇）（沪科版）（原卷版）.docx

1、专题15.9 轴对称图形与等腰三角形章末十大题型总结（培优篇）【沪科版】【题型1 利用轴对称的性质求解】1【题型2 轴对称中的光线反射】2【题型3 等腰三角形中分类讨论】4【题型4 双垂直平分线求角度与周长】5【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】6【题型6 轴对称图形中的面积问题】7【题型7 轴对称中尺规作图与证明、计算的综合运用】8【题型8 轴对称中的旋转】10【题型9 轴对称中规律探究】12【题型10 等边三角形的十字结合模型】13【题型1 利用轴对称的性质求解】【例1】（2023春山东青岛八年级统考期末）如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称若AB

2、=7cm，AC=9cm，BC=12cm，则DBE的周长为 cm【变式1-1】（2023春江西九江八年级统考期末）已知ABC中B是钝角，以AC所在直线为对称轴作ADC，若BAD+BCD=100，则B的度数为 【变式1-2】（2023春山东潍坊八年级统考期中）如图，点P为AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若AOB=40，则MPN的度数是 【变式1-3】（2023春江苏泰州八年级校考期中）如图，将ABC纸片沿DM折叠，使点C落在点C的位置，其中点D为AC边上一定点，点M为BC边上一动点，点M与B，C不重合（1）若A84，B61，则C ；（

3、2）如图1，当点C落在四边形ABMD内时，设BMC1，ADC2，探索C与1，2之间的数量关系，并说明理由；（3）在点M运动过程中，折叠图形，若C35，BMC53，求ADC的度数【题型2 轴对称中的光线反射】【例2】（2023春全国八年级专题练习）光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜I，之间来回反射若=50，=60，则等于 ()A80B70C60D50【变式2-1】（2023八年级单元测试）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角如图1，法线NO垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角台球碰撞台球桌边后

4、反弹与光线在镜面上反射原理相同如图2，长方型球桌ABCD上有两个球P，Q请你尝试解决台球碰撞问题：(1)请你设计一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反射后，撞到球Q在图2中画出，并说明做法的合理性(2)请你设计一路径，使得球P连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球Q，在图3中画出一种路径即可【变式2-2】（2023春广东佛山八年级校考阶段练习）如图1，直线l垂直BC于点B，ACB=90，点D为BC中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E，且有EDB=ADC(1)求证：BE=AC；(2)如图2，连接AB交DE于点F，连接FC交AD于点H，AC=BC，求证：CFAD；(3)如图3，在（2）的条

5、件下，点P是AB边上的动点，连接PC，PD，SACD=5，CH=2，请问PC+PD是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值，无需证明；若不存在，请说明理由【变式2-3】（2023春上海八年级专题练习）如图所示，已知边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3，且1BP332（反射角等于入射角），则P1C的取值范围是 【题型3 等腰三角形中分类讨论】【例3】（2023春重庆南岸八年级校考期末）如图，ABC中，ACB120，B=20，D为AB边上一点（不与A、B重合），将BCD沿CD翻折得到CDE，CE交AB于点F若DE

6、F为等腰三角形，则BCD为（）A30B30或60C50D30或50【变式3-1】（2023春陕西渭南八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20，则它的底角为（）A35B55C55或35D70或35【变式3-2】（2023春广东广州八年级校考期中）如图，ABC中ABC=40，动点D在直线BC上，当ABD为等腰三角形，ADB= 【变式3-3】（2023春山西运城八年级统考期末）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=130，AFD和ABD关于直线AD对称，FAC的平分线交BC于点G，连接FG，当DFG为等腰三角形时，FDG的度数为 【题型4 双垂直平分线求角度与周长】【例4】（202

7、3春广西桂林八年级统考期末）如图所示，点E、F是BAC的边AB上的两点，线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，连接DE、DF，若CDF=，则EDF的度数为（）AB43C180-23D180-43【变式4-1】（2023春河北保定八年级统考期中）如图，在ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则ADE的周长等于（）A6B7C8 D12 【变式4-2】（2023春河北保定八年级统考期中）如图，在ABC中，AI平分BAC，BI平分ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若AOB=，则AIB的大小为（）AB14+90C12

8、+90D180-12【变式4-3】（2023春辽宁丹东八年级校考期中）如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E已知ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若OBC的周长为23cm，则OA的长为 【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】【例5】（2023春湖南湘西八年级统考期末）如图，在ABC中，BAC=60，BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DEAB交AB的延长线于点E，DFAC于点F，现有以下结论：DE=DF；DE+DF=AD；DM平分ADF；AB+AC=2AE；其中正确的有（）A2个B3个C4个

9、D1个【变式5-1】（2023春山东威海八年级统考期末）如图，在RtABC中，C=90,CAB的平分线交BC于点D,DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E若AD=6，则DE的长为 【变式5-2】（2023春山东青岛八年级统考期末）如图，在ABC中，A=52，ACB的角平分线CF与BC的垂直平分线DE交于点O，连接OB若ABO=20，则ACB= 【变式5-3】（2023春四川成都八年级校考期中）如图，ABC中，ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DMBA的延长线于点M，DNBC于点N若AB=3，BC=7，则AM的长为 【题型6 轴对称图形中的面积问题】【例6】（2023春陕西榆林八年

10、级校考期中）如图，在ABC中，DE垂直平分BC，BD平分ABC，DHBA，交BA的延长线于点H(1)若ADB=48，求A的度数；(2)若AB=5cm，ABC与ABD的周长之差为8cm，且ADB的面积为10cm2，求BDC的面积【变式6-1】（2023春广东深圳八年级校考期中）如图，B=C=90，点E是BC的中点，DE平分ADC(1)求证：AE是DAB的平分线；(2)已知AE=4，DE=3，求四边形ABCD的面积【变式6-2】（2023春重庆渝中八年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在ABC中，BAC=90，AC=AB，点D、E分别是边AC、BC上的点，连接BD，AE交于点O(1)如图1，BDAE，

11、过点C作CFAE，交AE的延长线于点F，求证：AO=CF；(2)如图2，点D是AC中点，连接DE，若ADB=CDE，求证：BDAE；(3)如图3，过点C作CFAE于点F，延长FC至点G，使得GAC=FCE，点B、O、D、G在同一直线上，若CF=145，AF=465，直接写出AOG的面积【变式6-3】（2023春江苏泰州八年级校考期中）如图，AOB=45，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，OMN的面积为12，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，P1OP2= ，OP1P2的面积最小值为 【题型7 轴对称中尺规作图与证明、

12、计算的综合运用】【例7】（2023春河南郑州八年级统考期末）如图，在RtABC中，C=90(1)请用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点P，使得点P到点A和点B的距离相等；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）(2)在（1）的条件下，若AC=2，CB=5，则CAP的周长是_【变式7-1】（2023春重庆巴南八年级统考期末）如图，在ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接AD(1)请用直尺和圆规完成基本作图：作AD的垂直平分线EF交AD于点O，交AB于点E，交AC于点F，连接DE、DF；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）(2)求证：AE=DF（请补全下面的证明过程，不写证明理由）证

13、明：AB=AC，D为BC中点，1=_EF为AD的垂直平分线，AOE=AOF=90，AF=DF又1+AOE+AEF=180，2+AOF+AFE=180，AEF=_AE=_，AE=DF【变式7-2】（2023春河南许昌八年级许昌市第一中学校联考期末）如图，ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD(1)求证：DB=DE；(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BE的中点F（不写作法，保留作图痕迹）；若AB=4，求CF的长【变式7-3】（2023春河北廊坊八年级统考期末）（1）尺规作图：过点A作直线l的垂线作法如下：以点A为圆心，a为半径作弧交直线l于C、D两点；分别以C、D为圆心，a长

14、为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接AE（路径最短）；i根据题意，利用直尺和圆规补全图形；ii作图依据为_（2）画一画，想一想：如图，已知AOB你能用手中的三角板作出AOB的角平分线吗？写出作法，并证明【题型8 轴对称中的旋转】【例8】（2023春山西太原八年级校考期末）如图，在折线段A-B-C中，BC可绕点B旋转，AB=6，BC=2，线段AB上有一动点P，将线段AB分成两部分，旋转BC，PA，当三条线段BC，BP，PA首尾顺次相连构成等腰三角形时，BP的长为（）A3B2或3C2或4D2或3或4【变式8-1】（2023春河南南阳八年级统考期末）一副直角三角尺按如图所示叠放，现将含45的三角尺

15、ADE固定不动，将含30的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转.如图，当CAE=15时，此时BCDE.继续旋转三角尺ABC，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则CAE（0CAE180）其他所有可能符合条件的度数为 【变式8-2】（2023春江苏无锡八年级校联考期末）如图，在ABC中，AC=BC，以点B为旋转中心把ABC按顺时针方向旋转40得到ABC，点A恰好落在AC上，连接CC，则ACC度数为（）A110B105C100D95【变式8-3】（2023春浙江宁波八年级统考期末）如图，在RtABC中，AC=BC，ACB=90，D为AB边的中点，EDF=90，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC和CB的延

16、长线于E，F，当点E在AC延长线上时，SDEF，SCEF，SABC的关系为（）ASDEF-SCEF=12SABCBSDEF-SCEF=SABCCSDEF+SCEF=2SABCDSABC+SCEF=SDEF【题型9 轴对称中规律探究】【例9】（2023春宁夏中卫八年级统考期末）如图在ABC中，AB=AC，DNAB分别交AB，AC于点D，N，交BC的延长线于点M(1)若A=50，求NMB的大小；(2)如果将（1）中的A的度数改为80，其余条件不变，再求NMB的大小；(3)分析（1），（2）两问，你认为存在什么样的规律？试用文字概括；(4)将（1）中的A改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改

17、？说明理由【变式9-1】（2023北京八年级专题练习）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，按此规律作下去，若A1B1O=a，则A2020B2020O=（）Aa22020Ba22019C4040aD4038a【变式9-2】（2023春八年级单元测试）观察规律并填空：，, ,【变式9-3】（2023春云南大理八年级统考期末）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？（1）如图（1），已知AOB，请你画出它的角平分线OC，并填空：因为OC是AOB的平分线，所以_=_=12AOB（2）

18、如图（2），已知AOC，若将AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，请你画出射线OB，射线OC一定平分AOB理由如下：因为BOC是由AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以BOC=_，所以射线_是_的角平分线拓展应用（3）如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为OE，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在OC上的D处并且使OD过点C，折痕为OF直接利用（2）的结论；若AOE=30，求EOF的度数（写出计算说理过程）若AOE=m，求EOF的度数，从计算中你发现了EOF的度数有什么规律？（写出计算说理过程）【题型10 等边三角形的十字结合模型】【例10】（2023春重

19、庆渝中八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，为的角平分线，点在的延长线上，连接、，；其中说法正确的有（）A1个B2个C3个D4个【变式10-1】（2023春河南许昌八年级统考期末）如图，在等腰ABC中，AB=AC=20，BC=32，ABD是等边三角形，P是BAC平分线上一动点连接PC、PD，则PCPD的最小值为 【变式10-2】（2023春福建厦门八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，且EC=BD，AD，BE相交于点P(1)不添加辅助线，请在图中找出与BE相等的线段，并证明(2)若BQAD于Q，AD=7，PE=1，求PQ的长【变式10-3】（2023春福建厦门八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，且EC=BD，AD，BE相交于点P(1)不添加辅助线，请在图中找出与BE相等的线段，并证明(2)若BQAD于Q，AD=7，PE=1，求PQ的长