专题16 空间向量与立体几何解析.docx

1、专题16 空间向量与立体几何第一部分 真题分类1（2021全国高考真题）在正三棱柱中，点满足，其中，则（ ）A当时，的周长为定值B当时，三棱锥的体积为定值C当时，有且仅有一个点，使得D当时，有且仅有一个点，使得平面【答案】BD【解析】易知，点在矩形内部（含边界）对于A，当时，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确对于C，当时，取，中点分别为，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，则，所以或故均满足，故C错误；对于D，当时，取，中点为，所以点轨迹为线段设，因为，所以，所以，此时与重合

2、，故D正确故选：BD2（2021天津高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值（III）求二面角的正弦值【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）.【解析】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则,，因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，所以,设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以，因为平面，所以平面；（II）由（1）得，设直线与平面所成角为，则；（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，则，所以二面角的正弦值为.3（2021全国高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若（1）证

3、明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点为，连接.因为，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.（2）在平面内，过作，交于，则，结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.则，故.设平面的法向量，则即，取，则，故.而平面的法向量为，故.二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.4（2021北京高考真题）已知正方体，点为中点，直线交平面于点（1）证明：点为的中点；（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】(1)如图所示，取的中点，连

4、结，由于为正方体，为中点，故，从而四点共面，即平面CDE即平面，据此可得：直线交平面于点，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，即点为中点.(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方形，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设，则：，从而：，设平面的法向量为：，则：，令可得：，设平面的法向量为：，则：，令可得：，从而：，则：，整理可得：，故（舍去）.6（2021全国高考真题（理）已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，D为棱上的点 （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）见解析；（2）【解析】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，

5、所以因为，所以，又，所以平面所以两两垂直以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所以，由题设（）（1）因为，所以，所以（2）设平面的法向量为，因为，所以，即令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则当时，取最小值为，此时取最大值为所以，此时7（2021全国高考真题（理）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且（1）求；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）；（2）【解析】（1）平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、，则，则，解得，故；（2）设平面的法向量为，则，由，取，可得，设平面的法向量为，由，

6、取，可得，所以，因此，二面角的正弦值为.8（2020天津高考真题）如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）证明见解析；（）；（）.【解析】依题意，以为原点，分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、.（）依题意，从而，所以；（）依题意，是平面的一个法向量，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，所以，二面角的正弦值为；（）依题意，由（）知为平面的一个法向量，于是所以，直线与平面所成角的正弦值为.9（2020北京高考真题）如图，在正方体中， E为的中点（）求证：平面；（）求直线与平

7、面所成角的正弦值【答案】（）证明见解析；（）.【解析】（）如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；（）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、，设平面的法向量为，由，得，令，则，则.因此，直线与平面所成角的正弦值为.第二部分 模拟训练一、单选题1在平行六面体中，为与的交点，若，则与相等的向量是（ ）ABCD【答案】D【解析】因为六面体是平行六面体，所以四边形是平行四边形，为与的交点，所以为、的中点，因为，所以 ，所以，故选：D2如图，四边形和均为长方形，且，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则异面

8、直线与所成角的余弦值是（ ）ABCD【答案】B【解析】依据题意建立如图所示空间直角坐标系由，且分别为的中点所以故故所以异面直线与所成角的余弦值是故选：B3在四面体中，若与互余，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设，可得，则为锐角，在四面体中，则，其中为锐角，且.，则，所以，当时，取得最大值.故选：B.4已知正方体的棱长为1，点E是底面ABCD上的动点，则的最大值为（ ）AB1CD【答案】B【解析】以点D为原点，为轴建立空间直角坐标系，则设，其中，则，所以，等号成立的条件是，故其最大值为1，故选：B5如图所示，在直三棱柱中，且，点在棱上，且三棱锥的体积为，则直线与平面所成角的正弦值等于

9、（ ）ABCD【答案】C【解析】由已知得底面，且，所以，解得.如图所示，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则、，则，.设平面的法向量为，则由可得，即，得，令，得，所以为平面的一个法向量.设直线与平面所成的角为，则.故选：C.6如图，在正方体中，、分别是、的中点，平面分别与、交于、两点，则（ ）ABCD【答案】D【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则点、，设平面的法向量为，由，可得，取，则，点到平面的距离为，点到平面的距离为，所以，.、分别为、的中点，则，平面，平面，平面，平面，平面平面，.设点、，由，可得，则，解得，所以，点，同理可

10、得点，则，因此，.故选：D. 二、填空题 7在三棱锥中，是正三角形，为中点，有以下四个结论：若，则的面积为；若，且三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的体积为；若，则三棱锥的体积为；若，且三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为.其中结论正确的序号为_.【答案】【解析】取中点，连接，以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系如图所示，设，则，由，是正三角形，得三棱锥为正三棱锥，设外接球球心为，半径为，则，且轴，所以，解得，若，则，所以，解得：，又，所以，故选项正确；又，所以，故选项正确；若，则，所以，解得：，故选项错误；又，所以，故选项正确；故答案为：.8如图，棱长为1的正方体ABCD-

11、A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，有下列结论：平面A1D1P平面A1AP；多面体的体积为定值；直线D1P与BC所成的角可能为；APD1能是钝角三角形.其中结论正确的序号是_(填上所有序号).【答案】【解析】对于，正方体中，平面，平面，平面平面，故正确；对于，到平面的距离，三棱锥的体积：，为定值，故正确；对于，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，1，设，假设，所以，所以，所以假设不成立，故错误；对于，见上图，由题得,设，所以，所以，当时，即是钝角.此时APD1是钝角三角形.故正确.故答案为：9正四棱柱中，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值

12、为_.【答案】2.【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，又，得即；又平面，为与平面所成角，令，当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.故答案为：2 三、解答题10如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，.（1）当四棱锥的体积为时， 求异面直线与所成角的大小；（2）求证：平面.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题意，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，而，异面直线与所成角为；（2）由（1），此时长度不定，可设，即，同理，平面平面11如图，矩形中，将矩形折起，使点与点重合，折痕为，连接、，以和为折痕，将四边形折起，使点落在线段上，将向上折起，使平面平

13、面，如图2.（1）证明：平面平面；（2）连接、，求锐二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：在平面ABCD中，AF=FC，BF+FC=AB，设，则，设BF=x，在中，解得，则，因为点B落在线段FC上，所以，所以，又即，平面ABE，所以平面ABE，由平面EFC可得平面ABE平面EFC；（2）以为原点,为x轴，过点F平行BE的方向作为作y轴，过点F垂直于平面EFC的方向作为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，易得平面ABE的一个法向量为，作于， 因为平面DEC平面FEC，所以平面，则，设平面DBE的一个法向量为，则，令则，因为，所以锐二面角A-BE-D的正弦值为.12如图，在四棱柱中，底面，且，（1）求证：平面平面；（2）求二面角所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：因为，所以，因为，所以，所以，即因为底面，所以底面，所以因为，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：如图，分别以，为，轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则令，得设平面的法向量为，则令，得，所以，由图知二面角为锐角，所以二面角所成角的余弦值为