专题2.9 二次函数中的最值问题【八大题型】（北师大版）（原卷版）.docx

1、专题2.9 二次函数中的最值问题【八大题型】【北师大版】【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】1【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】2【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】2【题型4 二次函数中求线段最值】3【题型5 二次函数中求线段和差最值】5【题型6 二次函数中求周长最值】7【题型7 二次函数中求面积最值】9【题型8 二次函数在新定义中求最值】10【知识点1 二次函数的最值】1.对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：（1）若自变量x为全体实数，如图，函数在时，取到最小值，无最大值（2）若，如图，

2、当，；当，（3）若，如图，当，；当，（4）若，如图，当，；当，2.对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】【例1】（2022秋开福区校级期中）二次函数yx22x+m当3x3时，则y的最大值为 （用含m的式子表示）【变式1-1】（2022秋河西区期末）当x2时，二次函数yx22x3有（）A最大值3B最小值3C最大值4D最小值4【变式1-2】（2022秋上城区期末）已知二次函数yx2，当1x2时，求函数y的最小值和最大值小王的解答过程如下：解：当x1时，y1；当x2时，y4；所以函数y的最小值为1，最大值为4

3、小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程【变式1-3】（2022安徽模拟）已知二次函数yx2+bxc的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x1（1）求b+c的值（2）当4x3时，求y的最大值（3）平移抛物线yx2+bxc，使其顶点始终在二次函数y2x2x1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】【例2】（2022鹿城区校级二模）已知二次函数ymx24mx（m为不等于0的常数），当2x3时，函数y的最小值为2，则m的值为（）A16B-16或12C-16或23D16或2【变式2-1】（2022秋龙口市期末）已知关于x的二次函数yx2+

4、2x+2a+3，当0x1时，y的最大值为10，则a的值为 【变式2-2】（2022灌南县二模）已知二次函数yax22ax+c，当1x2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（）A3B9C293D253【变式2-3】（2022青山区二模）已知二次函数yx2+bx+c，当x0时，函数的最小值为3，当x0时，函数的最小值为2，则b的值为（）A6B2C2D3【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】【例3】（2022宁阳县一模）当0xm时，函数yx2+4x3的最小值为3，最大值为1，则m的取值范围是（）A0m2B0m4C2m4Dm2【变式3-1】（2022龙港市模拟）已知二次函数yx2

5、4x+5，当mxm+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）【变式3-2】（2022庐阳区一模）设抛物线yax2+bx3a，其中a、b为实数，a0，且经过（3，0）（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）若a2，当t2xt时，函数的最大值是6，求t的值；（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B若抛物线与线段AB有两个公共点，求a的取值范围【变式3-3】（2022文成县一模）已知抛物线yx2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），且经过点（2，c）（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标（2）当tx2t时，函数的最大值为M，最小值为N，若MN3，求t的值【题型4

6、 二次函数中求线段最值】【例4】（2022黔东南州二模）如图，抛物线yax2+bx2与x轴交于点A（2，0）、B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC的最小值；（3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQAC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由【变式4-1】（2022太原一模）综合与实践如图，抛物线yx2+2x8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值

7、；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标【变式4-2】（2022平果市模拟）如图，抛物线yx2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，连接AM，BM当线段PM最长时，求ABM的面积；（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由【变式4-3】（2022春九龙坡区校级期末）抛物线yax2+bx+4与x轴交于A（4，0）和B（1，0）两

8、点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点求抛物线的解析式；（1）过点P作PEAC于点E，求22PE的最大值及此时点P的坐标；（2）将抛物线yax2+bx+4向右平移4个单位，得到新抛物线y，点M是抛物线y的对称轴上一点在x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标【题型5 二次函数中求线段和差最值】【例5】（2022春良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为y=-34x2-94x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接AC、BC，将ABC绕点B顺时针旋

9、转90，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NPBP|最大时点的坐标，并请直接写出|NPBP|的最大值【变式5-1】（2022濠江区一模）已知二次函数yx2+（m+1）x+4m+9（1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；（2）当m3时，如图，二次函数与y轴的交点为M，顶点为N若点P是x轴上的动点，求PNPM的最大值及对应的点P的坐标；设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得OQH是以点Q为直角顶点的等腰RtOQH？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【变式5-2】（2

10、022建华区二模）综合与实践如图，已知正方形OCDE中，顶点E（1，0），抛物线y=12x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线xt（t0）交x轴于点F（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；（2）若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为： ；（3）在直线xt（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与OBC全等，请你直接写出点P的坐标；（4）点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理

11、由【变式5-3】（2022南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA6，其顶点与x轴的距离是6（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线yx+m与抛物线的对称轴交于点Q当POQ与PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值【题型6 二次函数中求周长最值】【例6】（2022南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+2ax+4与x轴交于点A（4，0），B（x2，0），与y轴交于点C经过点B的直线ykx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E（1）求抛物线的表达

12、式及B，C两点的坐标；（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当AEP的周长最小时，求点P的坐标；（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MNy轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【变式6-1】（2022乐业县二模）如图，抛物线yax2+bx3与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PBC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四

13、边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【变式6-2】（2022覃塘区三模）如图，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（0，1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PCy轴与AB交于点C，PDAB于点D，连接PA（1）求抛物线的表达式；（2）当PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和PCD周长的最大值；（3）当PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标【变式6-3】（2022黄石模拟）如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），直线l：y=-12x-4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+85x+c上的

14、一动点，过点P作PEx轴，垂足为E，交直线l于点F（1）求该抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S求S关于m的函数解析式及S的最大值；点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求QOC周长的最小值及FQ的长【题型7 二次函数中求面积最值】【例7】（2022三水区校级三模）已知抛物线yax22ax3a（a0）交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C（1）求点A的坐标；（2）若经过点A的直线ykx+k交抛物线于点D当k0且a1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求SEBDSCEF的最大值；当k0且ka时，设P为抛物线对称轴上一动点

15、，点Q是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由【变式7-1】（2022宜兴市二模）如图，抛物线yax2+bx+c（a为常数，且a0）与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E（1）求证OC=12OE；（2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a=-12时，求CMN的周长的最小值；（3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值请判断小林猜想是否正确，并说理由【变式7-2】（2022秋九龙坡区校级月考）如图，直线y=-34

16、x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-38x2+34x+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，点P是第一象限抛物线上的点，连结OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，当四边形PACB面积最大时，SBPQSOAQ=【变式7-3】（2022大庆三模）如图，已知抛物线y=14x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴为x2，直线ykx（k0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线ymx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P，且OCCD（1）求抛物线及直线DE的函数表达式；（2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，

17、GF，求当GDF面积最大时，点G的坐标及GDF面积的最大值；【题型8 二次函数在新定义中求最值】【例8】（2022安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点例如：点（1，1），（12，12），（-2，-2），都是和谐点（1）判断函数y2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数yax2+6x+c（a0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）求a，c的值；若1xm时，函数yax2+6x+c+14（a0）的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围【变式8-1】（2022姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、

18、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”如图2，已知M（4，1），N（2，3），点P（m，n）（1）若m2，n4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为 ，面积为 ；若m2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y2x+5上求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积

19、的最小值及此时m的取值范围；当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线yax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为18时，2m1或1m3，直接写出抛物线的解析式【变式8-2】（2022碑林区校级模拟）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形问题发现：（1）如图1，筝形ABCD中，ADCD，ABCB，若AC+BD12，求筝形ABCD的面积的最大值；问题解决：（2）如图2是一块矩形铁片ABCD，其中AB60厘米，BC90厘米，李优想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH，要求点E是AB边的中点，点F、G、H分别在BC、CD、AD上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形EFGH的面积最大？若存在，求出筝形EFGH的面积最大值，若不存在，请说明理由【变式8-3】（2022春崇川区期末）平面直角坐标系中，有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1x2|+|y1y2|叫做P1，P2两点间的“转角距离”，记作d（P1，P2）（1）若A为（3，2），O为坐标原点，则d（O，A）；（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（3）若M（1，1），点N为抛物线yx21上一动点，求d（M，N）的最小“转角距离”