专题21复数A辑（教师版含解析）-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）.docx

1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题21复数A辑历年联赛真题汇编1【2000高中数学联赛(第01试)】设=cos5+isin5，则以,3,7,9为根的方程是( )Ax4+x3+x2+x+1=0Bx4-x3+x2-x+1=0Cx4-x3-x2+x+1=0Dx4+x3+x2-x-1=0【答案】B【解析】本题也可以用检验法.显然|=1,10=1，所以+3+7+9=+3+3+=2cos5+2cos35=4cos25cos5=4cos25cos5sin5=1.由根与系数的关系，从而排除A，D.又有37+39+79+379=+3+7+9=1，再排除C，故选：B.2【1995高

2、中数学联赛(第01试)】设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，Z20，则复数Z11995,Z21995,，Z201995所对应的不同的点的个数是( )A.4B.5C.10D.20【答案】A【解析】解法1设Z1=cos+isin，则Zk=(cos+isin)cos2(k-1)20+ isin 2(k-1)20(1k20)，由1995=2099+15得Zk1995=(cos1995+isin1995)cos32+isin32k-1=(cos1995+isin1995)-ik-1k=1,2,20.共有4个不同的值，故选A解法2不妨设Z1,Z2,Z20为1的20个20

3、次单位根，则Z11995,Z21995,Z201995必为1的4次单位根，且不难得知Z11995，Z21995,Z201995包含了1的4个4次单位根，故Z11995,Z21995,Z201995所对应不同点的个数为4.3【1994高中数学联赛(第01试)】给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果a2+b2c2，则a2+b2-c20.(2)设a，b，c都是复数，如果a2+b2-c20，则a2+b2c2.那么下述说法正确的是( )A命题(1)正确，命题(2)也正确B命题(1)正确，命题(2)错误C命题(1)错误，命题(2)也错误D命题(1)错误，命题(2)正确【答案】B【解析】命题(1

4、)是正确的.则a2+b2c2，表示a2+b2与c2都是实数，因此，根据移项法则有a2+b2-c20，命题(2)是错误的.仅表明a2+b2-c2是实数，并不能保证a2+b2与c2是实数，故a2+b2c2不一定成立.例如，取a=2+i,b=i,c=2i，则有a2+b2-c2=(3+4i)+(-1)-4i=20，但并没有a2+b2=2+4i4i=c2.4【1992高中数学联赛(第01试)】设复数z1，z2在复平面上的对应点分别为A，B，且z1=4,4z12-2z1z2+z22=0.O为坐标原点，则OAB的面积为( )A83B43C63D123【答案】A【解析】由已知得z2-z12+3z12=0，z2

5、-z1=3z1i.故在复平面上等式两边的复数所对应的向量互相垂直，即OAAB.如图.故SABC=12|OA|AB|=12|OA|3OA|=12443=83.5【1991高中数学联赛(第01试)】设a，b，c均为非零复数，且ab=bc=ca，则a+b-ca-b+c的值为( )A1BC1,2D1,-,-2，其中=-12+32i.【答案】C【解析】令ab=bc=ca=t，则a=bt=ct2=at3由a0，知t3=1，因此，t=1,2.利用比例性质，知原式等于1t，故当t=1,2时，原式分别取1,2.6【1990高中数学联赛(第01试)】设非零复数x，y满足x2+xy+y2=0，则代数式xx+y199

6、0+yx+y1990的值是( )A2-1989B-1C1D以上答案都不对【答案】B【解析】令y=x(1)，代入已知条件得1+2=0，所以(1-)1+2=0，进而3=1.故原式=1(1+)1990+1990(1+)1990=1+19901-21990=1+2=-1.7【1986高中数学联赛(第01试)】设z为复数，M=z|z-12=z-12，那么( ).AM=纯虚数BM=实数C实数M复数DM=复数【答案】B【解析】因为(Z-1)2=|Z-1|2，即(Z-1)2=(Z-1)(Z-1)，所以(Z-1)(Z-Z)=0.因此，Z=1或Z=Z.即Z为实数，故选：B.8【1985高中数学联赛(第01试)】设

7、Z，W，为复数，|1，关于Z的方程ZZ=W有下面四个结论：1.Z=W+W1-|2是这个方程的解；.这个方程只有一个解；.这个方程有两个解；.这个方程有无穷多解.则( )A只有I和是正确的B只有和是正确的C只有I和是正确的D以上A，B，C都不正确【答案】A【解析】由题中给出的四个结论，可知本题需要根据解方程的情况作出选择，于是考虑在方程Z-Z=W的两端同取共轭，得Z-Z=W，以乘两端，得Z-|2Z=W，与原方程两端分别相加，得Z1-|2=W+W.两端再取共轭，得Z1-|2=W+W.因为|21，所以Z=W+W1-|2.9【1984高中数学联赛(第01试)】集合S=Z2|argZ=,为常数在复平面的

8、图形是( )A射线argZ=2aB射线argZ=2aC射线argz=aD上述答案都不对【答案】B或D【解析】根据一对共轭复数的模相等，辐角的终边关于x轴对称，和复数的平方是模的平方且辐角乘以2，可以确定集合S在复平面上的图形.只要argZ=(为常数)能成立，图形就是一条射线但是，由于本题记号argZ的含义不明确，于是可以有两种不同的答案.若argZ表示复数Z的一个辐角，则答案为B若argZ表示复数Z的辐角主值，则答案是D10【2020高中数学联赛A卷(第01试)】设z为复数.若z-2z-i为实数(i为虚数单位),则|z+3|的最小值为.【答案】5【解析】解法1:设z=a+bi(a,bR),由条

9、件知Im(z-2z-i)=Im(a-2)+bia+(b-1)i)=-(a-2)(b-1)+aba2+(b-1)2=a+2b-2a2+(b-1)2=0,故a+2b=2.从而5|z+3|=(12+22)(a+3)2+b2)|(a+3)+2b|=5,即|z+3|5.当a=-2,b=2时, |z+3|取到最小值5.解法2:由z-2z-iR及复数除法的几何意义,可知复平面中z所对应的点在2与i所对应的点的连线上(i所对应的点除外),故|z3|的最小值即为平面直角坐标系xOy中的点(-3,0)到直线x+2y-2=0的距离,即|-3-2|12+22=5.11【2020高中数学联赛B卷(第01试)】设9元集合

10、A=a+bi|a,b1,2,3,i是虚数单位. =(z1,z2,z9)是A中所有元素的一个排列,满足|z1|z2|z9|,则这样的排列的个数为 .【答案】8【解析】由于|1+i|2+i|=|1+2i|2+2i|3+i|=|1+3i|3+2i|=|2+3i|3+3i|,故z1=1+i, z2,z3=2+i,1+2i,z4=2+2i,z5,z6=3+i,1+3i,z7,z8=3+2i,2+3i,|z9|=3+3i.由乘法原理知,满足条件的排列的个数为23=8.12【2018高中数学联赛A卷(第01试)】设复数满足|z|=1，使得关于x的方程2x2+2zx+2=0有实根，则这样的复数z的和为 .【答

11、案】-32【解析】设=a+bi(a，bR，a2+b2=1).将原方程改为(a+bi)x2+2(a-bi)x+2=0，分离实部与虚部后等价于ax2+2ax+2=0 bx2-2bx=0 若b=0，则a2=1，但当a=1时，无实数解，从而a=1，此时存在实数x=-13满足、，故z=-1满足条件.若b0，则由知x0，2，但显然x=0不满足，故只能是x=2，代入解得a=-14，进而b=154，相应有z=-115i4.综上，满足条件的所有复数z之和为-1+-1+15i4+-1-15i4=-32.13【2018高中数学联赛B卷(第01试)】已知复数z1,z2,z3满足z1=z2=z3=1,z1+z2+z3=

12、r，其中r是给定实数，则z1z2+z2z3+z3z1的实数是 (用含有r的式子表示).【答案】r2-32【解析】记w=z1z2+z2z3+z3z1.由复数模的性质可知z1=1z1,z2=1z2,z3=1z3，因此w=z1z2+z2z3+z3z1.于是r2=z1+z2+z3(z1+z2+z3)=z12+z22+z32+w+w=3+2Rew，解得Rew=r2-32.14【2017高中数学联赛B卷(第01试)】设复数z满足z+9=10z+22i，则|z|的值为 .【答案】5【解析】设x=a+bi，a，bR.由条件得(a+9)+bi=10a+(-10b+22)i.比较两边实虚部可得a+9=10ab=-

13、10b+22，解得a=1，b=2，故z=1+2i，进而|z|=5.15【2016高中数学联赛(第01试)】设复数z、w满足|z|=3,(z+w)(z-w)=7+4i，其中i是虚数单位，z,w分别表示z、w的共轭复数，则(z+2w)(z-2w)的模为 .【答案】65【解析】由运算性质，7+4i=(z+w)(z-w)=|z|2-|w|2-(zw-zw)，因为|z|2与|w|2为实数，Re(zw-zw)=0，故|z|2-|w|2=7,zw-zw=-4i，又|z|=3，所以|w|2=2.从而(z+2w)(z-2w)=|z|2-4|w|2-2(zw-zw)=9-8+8i=1+8i，因此，(z+2w)(z

14、-2w)的模为12+82=65.16【2015高中数学联赛(第01试)】已知复数数列zn满足z1=1,zn+1=zn+1+ni(n=1,2,)，其中i为虚数单位，zn表示zn的共轭复数，则z2015的值为 .【答案】2015+1007i【解析】由已知得，对一切正整数n，有zn+2=zn+1+1+(n+1)i=zn+1+ni+1+(n+1)i=zn+2+i，于是z2015=z1+1007(2+i)=2015+1007i17【2002高中数学联赛(第01试)】已知复数Z1Z2满足Z1=2,Z2=3，若它们所对应向量的夹角为60，则Z1+Z2Z1-Z2= .【答案】1337【解析】如图，由余弦定理可

15、得Z1+Z2=19，Z1-Z2=7，所以Z1+Z2Z1-Z2=197=1337.18【2001高中数学联赛(第01试)】若复数z1,z2满足z1=2,z2=3,3z1-2z2=2-i，则z1z2= .【答案】-3013+7213i【解析】令z1=2(cos+isin),z2=3(cos+isin)，则由3z1-2z2=32-i及复数相等的充要条件，得6(cos-cos)=326(sin-sin)=-1，-12sin+2sin-2=3212cos+2sin-2=-1，二式相除，得tan+2=32，由万能公式，得sin(+)=1213,cos(+)=-513，故z1z2=6cos(+)+isin(

16、+)=-3013+7213i.优质模拟题强化训练1若复数z满足|z|22A2-B0sinAsin(2-B)=cosB,cosAcos(2-B)=sinB,即cosB-sinA0,因此点位于第二象限，选B.3已知z满足|z+5-12i|=3.则|z|的最大值是( )A3B10C20D16【答案】D【解析】|z+5-12i|=3z对应的点在以(-5,12)为圆心，3为半径的圆上，因此|z|max=52+122+3=16.故答案为：D4方程ax2+b|x|+c=0(a,b,cR,a0)在复数集内不同的根的个数为().A2或4个B至多4个C至多6个D可能为8个【答案】C【解析】由题设知x为实数或纯虚数

17、，方程至多有4个实数根、2个纯虚数根，故至多6个根.当a=1,b=-3,c=2时，x=1,2,-3+172i,3-172i共6个根.故答案为C5设复数z满足|z|=1，i是虚数单位，则|(z+1)+i(7-z)|的值不可能是( ).A42B43C52D53【答案】D【解析】注意 (z+1)+i(7-z)=(1-i)z+(1+7i) =(1-i)(z-3+4i)我们有|(z+1)+i(7-z)|=|1-i|z-3+4i| =2|z-(3-4i)|.也就是说，它表示点z到3-4i的距离的2倍.由于z在单位圆上，易知上式的取值范围是42,62.故答案为：D6已知复数z满足z2005+z2004i-z

18、-i=0其中为实常数且满足21则|z|=( )A22B|+1-1|C1D1+2【答案】C【解析】由己知有z2004=z+iz+i令z=a+bi当(a2+b2-1)(2-1)0时，有2(a2+b2)+2b+1a2+b2+2b+2，即(a2+b2-1)(2-1)0但a2+b21，故21，矛盾当a2+b21.整理得a2+b21，则式左边=|z|51，而右边1，故式不成立；若a2+b21，则式左边=|z|5z2Bz1=z2Cz1z2D不能比较大小【答案】B【解析】设z=cos+isin，则zz=1有z1=zzzz+z+11+z=z1+z+11+z=1z2=zzz+z+z1+z=11+z+z1+z=1因

19、此z1=z2=1选B.18复数z满足z+1zR且|z-2|=2则这样的复数有( )个A1个B2个C3个D4个【答案】D【解析】设z=x+yi,(x,yR),z+1z=x+yi+x-yix2+y2=x+xx2+y2+(y-yx2+y2)i，因为z+1zR，所以y-yx2+y2=0且x0,y0.所以x2+y2=1且x0,y0.满足z+1zR的复数z对应的点在x轴(不含原点)上或在单位圆上满足|z-2|=2的点在以(2,0)为圆心，2为半径的圆上后者与前者明显地交于4个点(同单位圆交于两点，与x轴交于两点)故答案为：D19设a,b,c均为非零复数，且ab=bc=ca，则a+b-ca-b+c的值为(

20、)(其中=-12+32i)A1.B.C1，2.D1，-，-2.【答案】C【解析】因为ab=bc=ca=t,所以a=at3t=1,21+2=0，因此a+b-ca-b+c=1+t2-t1-t2+t=1t=1,2，选C.20若a是一个复数，且(a2-a)2=1，则a3-2a2能取到( )个不同的值.A2B3C4D6【答案】B【解析】由题设得a4-2a3+a2=1，所以，a3-2a2=1-a2a(显然a0).当a2-a=1时，1-a2=-a，则a3-2a2=-1；当a2-a=-1时，a2=a-1,a=1+3i2，则a3-2a2=1-(a-1)a=-1+2a.于是，a3-2a2可以取到两个不同的虚数值，即a3-2a2=3i.综上可知，a3-2a2一共取到3个复数值.