专题23.6 解直角三角形章末九大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（原卷版）.docx

1、专题23.6 解直角三角形章末九大题型总结（拔尖篇）【沪科版】【题型1 构建直角三角形求锐角三角函数值】1【题型2 用等角转换法求锐角三角函数值】2【题型3 锐角三角函数与相似三角形的综合应用】3【题型4 锐角三角函数与圆的综合应用】4【题型5 解非直角三角形】6【题型6 巧设辅助未知数解直角三角形】7【题型7 构造直角三角形进行线段或角的计算】8【题型8 解直角三角形与圆的综合应用】9【题型9 构造直角三角形解决实际问题】10【题型1 构建直角三角形求锐角三角函数值】【例1】（2023春安徽九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，B=60，C=90，E为边BC上的点，ADE为等边三角形，B

2、E=8，CE=2，则tanAEB的值为（）A375B275C335D435【变式1-1】（2023春湖北襄阳九年级统考期中）如图，在ABD中，A=90，若BE=mAC，CD=mAB，连接BC、DE交于点F，则cosBFE的值为 【变式1-2】（2023四川成都统考中考真题）如图，在RtABC中，ABC=90，CD平分ACB交AB于点D，过D作DEBC交AC于点E，将DEC沿DE折叠得到DEF，DF交AC于点G若AGGE=73，则tanA= 【变式1-3】（2023春江苏常州九年级校考期末）如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=4，AD是BC边上的高，将ABC绕点C旋转到EFC（点E、F分别与

3、点A、B对应），点F落在线段AD上，连接AE，则cosEAF= 【题型2 用等角转换法求锐角三角函数值】【例2】（2023秋江苏常州九年级统考期末）已知点P在ABC内，连接PA、PB、PC，在PAB、PBC、PAC中，如果存在一个三角形与ABC相似，那么就称点P为ABC的自相似点，如图，在直角ABC中，ACB=90，AC=12，BC=5，如果点P为直角ABC的自相似点，那么tanACP= 【变式2-1】（2023春吉林长春九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，连结AC，延长BC到点E，使CE=AC，过点E作AC的平行线与AD的延长线交于点F(1)求证：四边形ACEF是菱形；(2)连结AE，若

4、tanACB=158，则tanAEF的值为_【变式2-2】（2023秋上海黄浦九年级统考期末）如图，平面上七个点A、B、C、D、E、F、G，图中所有的连线长均相等，则cosBAF= 【变式2-3】（2023春山东菏泽九年级统考期中）如图，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O点M是BC边的中点，连接AM、OM，作CFAM已知OC平分BCF，OB平分AOM，若BD=32，则sinBAM的值为 【题型3 锐角三角函数与相似三角形的综合应用】【例3】（2023春九年级课时练习）如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB一点，将ADE沿DE折叠，点A落在矩形ABCD内的点F处，连接BF，且BE=EF，B

5、EF的正弦值为2425，则ADAB的值为（）A23B45C35D2425【变式3-1】（2023福建模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点M、N分别在边AB、AD上（不与端点重合），且DMCN于点P若APD=135，则cosMNP= 【变式3-2】（2023春浙江杭州九年级专题练习）如图，在RtABC中，C=90，cosB=35，将ABC绕顶点C旋转得到ABC，且使得B恰好落在AB边上，AB与AC交于点D，则BDCD的值为（）A25B720C310D920【变式3-3】（2023全国九年级专题练习）如图，在ABC中，ABC90，tanBAC12，AD2，BD4，连接CD，则C

6、D长的最大值是（）A25+34B25+1C25+32D252【题型4 锐角三角函数与圆的综合应用】【例4】（2023广东惠州校考模拟预测）如图，AB是O的直径，点E为弧AC的中点，AC、BE交于点D，过A的切线交BE的延长线于F(1)求证：AD=AF；(2)若AOAF=23，求tanOAD的值【变式4-1】（2023湖北武汉校考三模）如图，AB是O的直径，PA是O的切线，PB交O于D，点C是弧BD上一点，PC=PA(1)求证：PC是O的切线；(2)若CDAB，求sinPCD的值【变式4-2】（2023浙江杭州校考三模）如图1，三角形ABC内接于圆O，点D在圆O上，连接AD和CD，CD交AB于点

7、E，ADE+CAB=90(1)求证：AB是直径；(2)如图2，点F在线段BE上，AC=AF，DCF=45求证：DE=DA；若AB=kAD，用含k的表达式表示cosB【变式4-3】（2023广东湛江统考二模）如图CD是O直径，A是O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且BAC=ADB(1)求证：直线AB是O的切线；(2)若BC=2OC，求tanADB的值；(3)在（2）的条件下，作CAD的平分线AP交O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB=26，求AEAP的值【题型5 解非直角三角形】【例5】（2023天津河北统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=23，

8、连接AC，点E在AC上，DEF=90,EC平分DEF,AE= 【变式5-1】（2023春九年级单元测试）在ABC中，AB=2，AC=3，cosACB=223，则ABC的大小为 度【变式5-2】（2023春江苏苏州九年级苏州市景范中学校校考期末）已知：在ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为255（即cosC=255），则AC边上的中线长是 【变式5-3】（2023安徽合肥合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知：在ABC中，BA=BC，sinCAB=45，点E是AC的中点，F是直线BC上一点，连接EF，将EFC沿着EF折叠，点C的对应点为D，连接AD

9、(1)如图1，若点D在线段AB上，求证：EFAD；(2)如图2，DF与AB交于点M，连接AF，若DAF=EAF，求证：点M是AB的中点；(3)如图3，点F在CB延长线上，DF与AB交于点M，EF交AB于点N，若DE=EN=3，求MFMA【题型6 巧设辅助未知数解直角三角形】【例6】（2023辽宁沈阳统考二模）如图，在平行四边形ABCD中，sinA=1213,BC=13,CD=24，点E在边CD上，将BCE沿直线BE翻折，点C落在点F处，且AF=BF，则CE的长为 【变式6-1】（2023上海九年级期末）如图，在RtABC，C=90，AC=6，BC=8，D是BC的中点，点E在边AB上，将BDE沿

10、直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B处，线段BD交边AB于点F，联结AB，当ABF是直角三角形时，BE的长为 【变式6-2】（2023春浙江九年级期末）如图，四边形ABCD，CEFG均为菱形，A=F，连结BE，EG，EG/BC，EBBC，若sinEGD=13，菱形ABCD的周长为12，则菱形CEFG的周长为 【变式6-3】（2023秋福建泉州九年级校考期中）如图，ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ABD=ACB，G是线段OD上一点，且DGC-DCG=90，当ACBD时，OGGD的值为 ，当tanCDB=24时，OGGD的值为 【题型7 构造直角三角形进行线段或角的计算】【例7】（2

11、023江苏无锡校联考一模）如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=8，点E在BC上且CE=AE，则CE= ；若点F为平面内一点，且AFC=90，连接EF，当tanCEF=2时，EF的值为 【变式7-1】（2023黑龙江哈尔滨统考一模）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，ADC=ABC，tanADC=43，延长AB、DC交于点P，若CD=114，PB=3CD，则线段AD的长为 【变式7-2】（2023春江苏常州九年级校考期末）如图，在ABC中，AB=AC=10，点D、E分别是边AB、边BC上的点，连接CD，CDE=B，F是DE延长线上一点，连接FC，FCE=ACD(1)判断CDF的形状

12、，并说明理由；(2)若AD=4，求EFDE的值；(3)若sinB=35，BD=BE求BDDE的值；求FC的长【变式7-3】（2023春安徽九年级专题练习）如图1，ABC的内角ABC和外角ACP的平分线相交于点D，AE平分BAC并交BD于点E(1)求证：BAC=2D；(2)若BC=AC，且cosBAC=35，求BEDE，(3)如图2，过点D作DFBC，垂足为F,BFDF=3，其中BEDE=12，连接AD、EC，求ABBC【题型8 解直角三角形与圆的综合应用】【例8】（2023黑龙江绥化校考三模）如图，在RtABC中，C=90，AD平分BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交A

13、B，AC于点E，F，连接EF(1)求证：BC是圆O的切线；(2)求证：AD2=AFAB；(3)若BE=16，sinB=513，求AD的长【变式8-1】（2023湖北武汉校联考模拟预测）点D在以AB为直径的O上，分别以AB，AD为边作平行四边形ABCD(1)如图（1），若C=45，求证：CD与O相切；(2)如图（2），CD与O交于点E，若cosA=35，求DECE的值【变式8-2】（2023广东深圳统考模拟预测）如图，已知AB为O的直径，C为O上的一点，连接AC、BC，D为BC延长线上一点，连接AD，DAC=B(1)求证：AD为O的切线；(2)若E为弧AB的中点，连接AE、CE，tanAEC=2

14、3，CE=10，求O的半径【变式8-3】（2023湖南长沙校考一模）如图1，在RtABC中，ABC=90，AB是O的直径，O交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，PD是O的切线(1)求证：BE=CE；(2)若BP=3，P=PDB，求图中阴影部分的周长；(3)如图2，AM=BM，连接DM，交AB于点N，若tanDMB=12，求MN:MD的值【题型9 构造直角三角形解决实际问题】【例9】（2023浙江温州校联考二模）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久图1是某款长嘴壶模型放置在水平桌面l上的抽象示意图，已知壶身AB=AD=BC=120cm，

15、CD=40cm，壶嘴EF=150cm，且CDAB，EFBC，DE=3AE，则sinFED= ，如图2，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，FDl，则此时出水口F到桌面的距离为 cm【变式9-1】（2023春浙江九年级专题练习）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB=3m，BAC=53，DOC=37(1)求BO的长(2)消防人员

16、在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3m，求云梯OD旋转了多少度（参考数据：sin3735，tan3734，sin5345，tan5343，sin640.90，cos640.44）【变式9-2】（2023浙江温州统考二模）如图1是一款便携式拉杆车，其侧面示意图如图2所示，前轮O的直径为12cm，拖盘OE与后轮O相切于点N，手柄OFOE侧面为矩形ABCD的货物置于拖盘上，AB=20cm，BC=52cm如图3所示，倾斜一定角度拉车时，货物绕点B旋转，点C落在OF上，若tanABE=15，则OC的长为 cm，同一时刻，点

17、C离地面高度h=56cm，则点A离地面高度为 cm【变式9-3】（2023江西九江统考三模）如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打孔机处于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄OA=5cm，BE是底座，OA与BE所成的夹角为36.8，O点是把柄转轴所在的位咒，且O点到底座BE的距离OC=2cmOD与一根套管相连，OD可绕O点转动，此时，ODBE，套管内含打孔针MN，打孔针的顶端M触及到OA，但与OA不相连，MN始终与BE垂直，且OM=1cm，MN=2cm(1)打孔针MN的针尖N离底座BE的距离是多少厘米?(2)压下把柄OA，直到A点与B点重合，如图3，此时，MD两点重合，把柄OA将压下打孔针MN并将它锲入放在底座BE上的纸张与底座之内，从而完成纸张打孔，问：打孔针MN锲入底座BE有多少厘米？（参考数据：sin36.835，cos36.845，tan36.834）