专题24 正方形存在性问题（知识精讲）-冲刺2021年中考几何专项复习.docx

1、正方形存在性问题知识精讲一、关于正方形的基础知识1.正方形的定义四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形；2.正方形的性质（正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质）边：四边相等，邻边垂直，对边平行；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形是轴对称图形，有4条对称轴；正方形是中心对称图形，两条对角线的交点就是对称中心.3.正方形的判定四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.4.特殊四边形之间的关系如图所示：二、正方

2、形存在性问题解决策略1.从未知量的角度来看，正方形可以有4个未知量，所以它的坐标应满足4个等量关系，互相平分2个，垂直（1个）且相等（1个）.已知平面内2个定点，可以在平面内确定2个点使得它们构成正方形，但是，如果要在某条直线上确定点，很有可能会出现不存在的情况（未知量小于方程个数，无解）.解决正方形存在性问题一般不用代数法，因为要列四元一次方程组，比较麻烦！2.解决正方形存在性问题常用方法从正方形判定入手若已知菱形，则证明一个角是直角或者对角线相等；若已知矩形，则证明一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件即可.构造三垂直全等若条件并未给出关于四边形对角

3、线的特殊性，一般任取3个顶点必然是等腰直角三角形，如果已经知道了两个定点，则可以通过构造三垂直全等来求出第3个点，然后再进一步求出第4个点.若题目中给了4个动点，则先要判断此时的四边形是否为特殊的四边形，在特殊四边形基础上，再添加某些条件，使得其构成一个正方形.例1：如图，在矩形ABCD中，AB16cm，AD6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动，问：（1）P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？（2）是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请

4、说明理由【解答】（1）P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm；（2）不存在【解析】（1）过点P作PHCD于点H，如图所示：HQ165t，PQ2PH2+HQ2，即102（165t）2+62，解得，答：P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm；（2）四边形PBCQ是正方形，BPCQ，即163t2t，解得，不成立例2：如图，已知抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A（6，0），点C（0，4），AB5OB，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，

5、并写出自变量x的取值范围；（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？（4）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【解答】（1）yax2+bx+c，顶点坐标为；（2）S=4x2+28x24（1x6）；（3）不是菱形；（4）不存在【解析】（1）点A（6，0），AB5OB，点B（1，0），设所求抛物线的解析式为yax2+bx+c，则由题意可得：，解得，所求抛物线的解析式为，所求抛物线的顶点坐标为；（2）点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，y0，即y0，y表示点E到OA的距离OA是平行四边形OEAF的

6、对角线，S2SOAE2OA|y|6y6（x2x+4）4x2+28x24，自变量x的取值范围为：1x6；（3）根据题意得：4x2+28x2424，解之，得x13，x24，所求的点E有两个，分别为E1（3，4），E2（4，4），点E1（3，4），OE5，OEAE，平行四边形OEAF是菱形，点E2（4，4），OE，不满足OEAE，平行四边形OEAF不是菱形；（4）当OAEF，且OAEF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E坐标只能（3，3），而坐标为（3，3）点不在抛物线上，不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形例3：如图，直线y3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线ya（x2）2+

7、k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）点M为抛物线上任意一点，点N为对称轴上任意一点，是否存在点M，N使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出求此正方形的边长若不存在，请说明理由【解答】（1）a，k的值分别为1，1；（2）Q（2，2）；（3）存在，边长为.【解析】（1）直线y3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，A（1，0），B（0，3）又抛物线ya（x2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），解得，故a，k的值分别为1，1；（2）如图，设Q点的坐标为（2，m），对称轴x2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x2于点E在RtAQF中，AQ2AF2+QF21+m2，在RtBQE中，BQ2BE2+EQ24+（3m）2，AQBQ，1+m24+（3m）2，m2，Q点的坐标为（2，2）；（3）如图，当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线对称轴x2是AC的中垂线，M点与顶点P（2，1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）此时，MFNFAFCF1，且ACMN，四边形AMCN为正方形在RtAFN中，即正方形的边长为