专题24.6 圆周角、圆内接四边形【十大题型】（举一反三）（沪科版）（原卷版）.docx

1、专题 24.6圆周角、圆内接四边形【十大题型】【沪科版】【题型 1 圆周角的运用】.2【题型 2 圆内接四边形的运用】.3【题型 3 利用圆的有关性质求值】.4【题型 4 利用圆的有关性质进行证明】.5【题型 5 翻折中的圆的有关性质的运用】.7【题型 6 利用圆的有关性质求最值】.9【题型 7 利用圆的有关性质求取值范围】.10【题型 8 利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】.11【题型 9 利用圆的有关性质判断多结论问题】.13【题型 10 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】.14【知识点 1 圆周角定理及其推论】圆周角定理定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半AO

2、B是 AB 所对的圆心角，C是 AB 所对的圆周角，12CAOB推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等C和D都是 AB 所对的圆周角CD 推论 2：直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径AB 是O 的直径C是 AB 所对的圆周角90CC是 AB 所对的圆周角90C AB 是O 的直径CBAODCBAOCBAO【题型 1 圆周角的运用】【例 1】（2023 春山东泰安九年级东平县实验中学校考期末）如图，的直径是，=45，圆的半径是 4，则弦的长是（）A43B42C23D22【变式 1-1】（2023 春广西玉林九年级统考期末）如图，在 中，为 的直径，已知=4，=1，=55，=65，则

3、=【变式 1-2】（2023 春江西九江九年级校考期中）如图，内接于，=，连接，若=52，则的度数为【变式 1-3】（2023 春湖北省直辖县级单位九年级统考期末）如图，为半圆的直径，=10，点到弦的距离为 4，点从出发沿方向向点以每秒 1 个单位长度的速度运动，连接，当 为等腰三角形时，点运动的时间是()A145 或 4B145 或 5C4 或 5D145，4 或 5【知识点 2 圆内接四边形】【题型 2 圆内接四边形的运用】【例 2】（2023 春浙江衢州九年级校联考期中）如图，在 中，=是 的外接圆，为弧的中点，为延长线上一点(1)求证：=2；(2)若=35，求的度数【变式 2-1】（2

4、023 春陕西西安九年级高新一中校考期中）如图，四边形是 的内接四边形，是 的直径，连接，若=2，若连接，则的度数是（）A30B35C45D60【变式 2-2】（2023 春浙江九年级期中）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点 E、F，若=，=，且 ，则=（用含有、的代数式表示）圆的内接四边形对角互补四边形 ABCD 是O 的内接四边形180BD 180BADCCDAE EDCBA【变式 2-3】（2023 春辽宁大连九年级统考期末）如图，以 的边为直径作 交于且 ，交于点(1)求证：=；(2)若=12，=4，求的长度【题型 3 利用圆的有关性质求值】【例 3】（2023 春四川德阳九

5、年级四川省德阳中学校校考期中）如图，在 中，=90，过，两点的 交于点，交于点，连接并延长交 于点连接，若=135，=2，=4，则的值为（）A10B22C23D3【变式 3-1】（2023 春湖南长沙九年级统考期末）如图，中，=50，则的度数为（）A20B50C40D25【变式 3-2】（2023 春山东滨州九年级统考期中）如图，为 的外接圆，垂足为点 D，直径平分，交于点 F，连接(1)求证：=；(2)若=10，=5，求:的值【变式 3-3】（2023 春广东汕头九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图 1，四边形内接于，E为延长线上一点，平分.(1)求证：=；(2)若 为等边三角形，则=度；

6、（直接写答案）(3)如图 2，若为直径，过 A 点作 于 E，且=2，求 的半径.【题型 4 利用圆的有关性质进行证明】【例 4】（2023 春广东广州九年级广东广雅中学校考期末）如图，是 的外角的角平分线，与 的外接圆 交于点 D，=120(1)求所对圆心角的度数；(2)连，求证：=；(3)探究线段，之间的数量关系，并证明你的结论【变式 4-1】（2023 春浙江金华九年级校考期中）如图，已知圆的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且 证明：是的中点【变式 4-2】（2023 春山西长治九年级统考期末）阅读材料，解答问题：关于圆的引理古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有 10

7、余种，下面是阿基米德全集的引理集中记载的一个命题：如图 1，是 的弦，点在 上，于点，在弦上取点，使=，点是 上的一点，且=，连接，则=小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：证明：如图 2，连接，于点，=，=，=（依据1），=四边形内接于，+=180（依据2）(1)上述证明过程中的依据 1 为 ，依据 2 为 ；(2)将上述证明过程补充完整【变式 4-3】（2023 春江苏泰州九年级校考期末）已知 为 的外接圆，=(1)如图 1，延长至点 B，使=，连接求证：为直角三角形；若 的半径为 4，=5，求的值；(2)如图2，若=90，E为 上的一点，且点D，E位于AC两侧，作 关于

8、对称的图形，连接，试猜想,三者之间的数量关系并给予证明【题型 5 翻折中的圆的有关性质的运用】【例5】（2023春江苏无锡九年级统考期中）如图，将O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交 BC 于点 E，连接 DE 若 AD2OD，则的值为（）A36B63C33D66【变式 5-1】（2023 春湖北恩施九年级期末）如图，AB 为O 的一条弦，C 为O 上一点，OCAB将劣弧 AB 沿弦 AB 翻折，交翻折后的弧 AB 交 AC 于点 D若 D 为翻折后弧 AB 的中点，则ABC（）A110B112.5C115D117.5【变式 5-2】（2023 春浙江宁波九年级校考期中）如图，

9、在 中，为直径，C 为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点 D，连接，若点 D 与圆心 O 不重合，=25，则=【变式 5-3】（2023 春浙江金华九年级浙江省义乌市稠江中学校考期中）在 中，为直径，点 C 为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点 D，连接(1)如图 1，若点 D 与圆心 O 重合，=3，求 的半径 r；(2)如图 2，若点 D 与圆心 O 不重合，=20，请求出的度数(3)如图 2，如果=6，=2，求的长【题型 6 利用圆的有关性质求最值】【例 6】（2023 春浙江衢州九年级校联考期中）如图，中，=23，=75，=60，是线段上的一个动点，以为直径画，分别交，于，连接，则=；的最小

10、值为【变式 6-1】（2023 春北京密云九年级统考期末）如图，的弦长为 2，是 的直径，=30,=15 的半径长为P 是上的动点，则+的最小值是【变式 6-2】（2023 春湖南湘西九年级统考期末）如图，在正方形中，=4，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设=，=，则2+2的最小值是（）A23 1B4 23C25 1D25 2【变式6-3】（2023春辽宁沈阳九年级沈阳市第七中学校考期末）如图，已知以为直径的，为弧中点，为弧上任意一点，交于，连若=6，则的最小值为【题型 7 利用圆的有关性质求取值范围】【例 7】（2023 春湖北武汉九年级校考期末）如图，的两个顶点、在 上，的半

11、径为 2，=90，=，若动点在 上运动，=，则的取值范围是【变式 7-1】（2023 春新疆乌鲁木齐九年级校考期中）如图，弧 BE 是半径为 6 的圆 D 的14圆周，C 点是上的任意一点，ABD 是等边三角形，则四边形 ABCD 的周长 P 的取值范围是（）A12P18B18P24C18P1862D12P1262【变式 7-2】（2023 春福建福州九年级校考期中）如图，O 的直径为 10，A、B、C、D 是O 上的四个动点，且 AB6，CD8，若点 E、F 分别是弦 AB、CD 的中点，则线段 EF 长度的取值范围是（）A1EF7B2EF5C1EF7D1EF6【变式 7-3】（2023 春

12、江苏南京九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的半径是 1过 上一点 P 作等边三角形，使点 D，E 分别落在 x 轴、y 轴上，则的取值范围是【题型 8 利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】【例 8】（2023河北石家庄统考一模）如图，是半圆 O 的直径，C、D、E 三点依次在半圆 O 上，若=，=，则与之间的关系是（）A+=270B+=180C=+90D=12 +90【变式 8-1】（2023湖北襄阳九年级校考阶段练习）如图，等边 ABC 内接于O，P 是上任意一点（不与点 A、B 重合），连 AP、BP，过点 C 作 CM/BP 交 PA 的延长线于点 M.（1）求APC 和BPC

13、 的度数（2）探究 PA、PB、PM 之间的关系（3）若 PA=1，PB=2，求四边形 PBCM 的面积【变式 8-2】（2023 春安徽九年级专题练习）如图，四边形内接于，是 的直径，=，延长到点 E，使得=(1)若平分，求证：=；(2)试探究线段，与之间的数量关系【变式 8-3】（2023江苏九年级假期作业）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题如图 1，在 中，C 是劣弧的中点，直线 于点E，则=请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦如图 2，组成 的一条折弦C 是劣弧的中点，直

14、线 于点 E，则=+可以通过延长、相交于点 F，再连接证明结论成立请写出证明过程；(3)如图 3，组成 的一条折弦C 是优弧的中点，直线 于点 E，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明【题型 9 利用圆的有关性质判断多结论问题】【例 9】（2023 春江苏镇江九年级统考期中）如图，点、是 上的点，且=90，=6，=8，的平分线交 于，下列 4 个判断：的半径为 5；的长为72；在弦所在直线上存在 3 个不同的点，使得 是等腰三角形；在弦所在直线上存在 2 个不同的点，使得 是直角三角形；正确判断的个数有（）A1B2C3D4【变式 9-1】（2023 春广东湛江九年级统考期末）如图所

15、示，MN 是O 的直径，作 ABMN，垂足为点 D，连接 AM，AN，点 C 为上一点，且=，连接 CM，交 AB 于点 E，交 AN 于点 F，现给出以下结论：AD=BD；MAN=90；=；ACM+ANM=MOB；AE=12MF其中正确结论的个数是（）A2B3C4D5【变式 9-2】（2023 春全国九年级统考期末）已知如图，点 O 为 ABD 的外心，点 C 为直径 BD 下方弧BCD 上一点，且不与点 B，D 重合，ACB=ABD=45，则下列对 AC，BC，CD 之间的数量关系判断正确的是（）AAC=BC+CD B2 AC=BC+CD C3 AC=BC+CD D2AC=BC+CD【变式

16、 9-3】（2023 春浙江九年级期末）在一次探究活动中，方方完成了如下的尺规画图过程：第一步：在半径为 1 的 上任取一点 A，连续以 1 为半径在 上截取=；第二步：分别以 A、D 为圆心 A 到 C 的距离为半径画弧，两弧交于 E，以 A 为圆心 O 到 E 的距离为半径画弧，交 于 F画图后，他得出两个结论：的长为2；的面积为3+34，则（）A正确，正确B正确，错误C错误，正确D错误，错误【题型 10 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】【例 10】（2023 春安徽六安九年级校考期末）如图，在 中，=6，=4，是 内部的一个动点，连接，且满足=，过点作 于点，则=；当线段最短

17、时，的面积为【变式 10-1】（2023 春福建厦门九年级厦门市第五中学校考期中）在 中，=90，=2，把 绕点 B 顺时针旋转得到（点 A 与 D 对应）(1)如图，若点 E 落在边上，连接，求的长；(2)如图，若旋转角度为60，连接求的长；(3)如图，若旋转角度为(45 90)，连接，垂足为 F求证：C，E，F 三点在同一直线上【变式 10-2】（2023 春重庆开州九年级统考期末）如图，以直角三角形的斜边为边在三角形的同侧作正方形，正方形的对角线，相交于点，连接，如果=1，=22，则正方形的面积为（）A20B22C24D26【变式 10-3】（2023 春吉林长春九年级校考期末）如图，菱形的边长为 8，=60，E 是中点，动点P从点A出发，沿折线 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，连结，作A关于直线的对称点，连结、设 P 的运动时间为 t 秒(1)点 D 到的距离是(2)直接写出的最小值(3)当落在菱形的边上时，求 的面积(4)当垂直于菱形的一边时，直接写出 t 的值